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高中新课程数学(新课标人教B版)必修一《2.2.3 待定系数法》评估训练


双基达标 ?限时20分钟? 1. 已知二次函数经过(-1,0),(1,0),(2,3)点,则这个函数的解析式为( A.y=x2-1 1 C.y=2x2+1 解析 答案 B.y=1-x2 1 D.y=2x2-1 ).

设 y=a(x-1)(x+1),把(2,3)代入得 a=1,∴y=x2-1. A

2.已知 f(x)=x2+1,g(x)是

一次函数且是增函数,若 f(g(x))=9x2+6x+2, 则 g(x)为 A.g(x)=3x+2 C.g(x)=-3x+2 解析 B.g(x)=3x+1 D.g(x)=3x-1 ( ).

设 g(x)=ax+b(a≠0), 则 a>0, ∴f(g(x))=f(ax+b)=(ax+b)2+1=9x2

+6x+2,∴a=3,b=1. 答案 B ( ).

3.已知 2x2+x-3=(x-1)(ax+b),则 a,b 的值分别为 A.2,3 C.-2,3 解析 B.3,2 D.-3,2

(x-1)(ax+b)=ax2+(b-a)x-b, ?a=2, 解得? ?b=3.

a=2, ? 因为(x-1)(ax+b)=2x2+x-3,所以?b-a=1, ?-b=-3, 答案 A

4.如图所示,抛物线 y=-x2+2(m+1)x+m+3 与 x 轴交于 A、B 两点,且 OA=3OB,则 m=________. 解析 设 B(x0,0)(x0 < 0) 则 A( - 3x0,0) , 则 y = - (x - x0)(x + 3x0) 展 开 得

?2?m+1?=-2x0 5 ? 解得 m=0 或 m=-3,由 x0<0 得 m+1>0,∴m>-1,∴m 2 ?m+3=3x0 =0. 答案 0

5.已知 a,b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a- b=________. 解析 f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3

=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3, 又 f(ax+b)=x2+10x+24,

?a =1 ∴?2ab+4a=10 ?b2+4b+3=24
答案 2

2

?a=1 ?a=-1 ,∴? ,或? .∴5a-b=2. ?b=3 ?b=-7

6.某一次函数图象经过(8,-6)和(6,18),且(6,-5)在某个正比例函数图 象上,求这两个函数的解析式. 解 设一次函数解析 式为 y = kx + b(k≠0) ,正比例函数解析式 为 y =

k′x(k′≠0). 把(8,-6),(6,18)分别代入 y=kx+b 得 ?-6=8k+b, ?k=-12, ? 解得? ?18=6k+b, ?b=90. ∴一次函数的解析式为 y=-12x+90. 5 把(6,-5)代入 y=k′x,得-5=6k′,解得 k′=-6. 5 ∴正比例函数的解析式为 y=-6x. 综合提高 ?限时25分钟? 7.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,求 此二次函数的解析式为 A.f(x)=4x2+4x+7 C.f(x)=-4x2-4x+7 B.f(x)=4x2-4x-7 D.f(x)=-4x2+4x+7 ( ).

解析

4a+2b+c=-1 ? ?a-b+c=-1 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则? 4ac+b2 ? ? 4a =8



∴a=-4,b=4,c=7. 答案 D

8.抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为(-1,0)、(3,0),其形状与抛物线 y =-2x2 相同,则 y=ax2+bx+c 的解析式为 A.y=-2x2-x+3 C.y=-2x2+4x+8 解析 B.y=-2x2+4x+5 D.y=-2x2+4x+6 ( ).

抛物线与 x 轴交点为(-1,0),(3,0),则可设为 y=a(x+1)(x-3),又 a

=-2,∴y=-2(x+1)(x-3). 答案 D

9.若一次函数 y=f(x)在区间[-1,3]上的最小值为 1,最大值为 3,则 f(x)的 解析式为________. 解析 设 f(x)=kx+b(k≠0), 1 k = ? ? 2 ,得? 3 b = ? ? 2

?-k+b=1 当 k>0 时,? ?3k+b=3

.

?-k+b=3 当 k<0 时,? ?3k+b=1

1 ? ?k=-2 ,解得? 5 b = ? ? 2

.

答案

1 3 1 5 f(x)=2x+2或 f(x)=-2x+2

10.若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1,则 f(x)的表达式为 ________. 解析 由 f(0)=1 可设 f(x)=ax2+bx+1 (a≠0),

故 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1, 可得 f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x, 所以 2a=2,a+b=0,故 a=1,b=-1,所以 f(x)=x2-x+1. 答案 f(x)=x2-x+1

11.已知二次函数 f(x)同时满足下列条件: (1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为 15;(3)f(x)=0 的两根的立方和等于 17.求 f(x)的解析式. 解 由条件 f(1+x)=f(1-x)知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,又 f(x)的最大

值为 15, 可设 f(x)=a(x-1)2+15, 其中 a<0,由条件(3)可设 f(x)=0 的两根为 x1,
3 x2,则有 x3 1+x2=17,

又 f(x)=ax2-2ax+a+15, 15 所以 x1+x2=2,x1x2=1+ a ,
3 3 所以 x1 +x3 2=(x1+x2) -3x1x2(x1+x2)

15? 90 ? =23-3×2×?1+ a ?=2- a , ? ? 90 所以 2- a =17,则 a=-6, 所以 f(x)=-6x2+12x+9. 12. (创新拓展)设 x=p(p>0)时, 二次函数 f(x)有最大值 5.二次函数 g(x)的最 小值为-2,且 f(x)+g(x)=x2+16x+13,g(p)=25.求 g(x)的解析式和 p 的值. 解 由题设 f(p)=5,g(p)=25,f(p)+g(p)=p2+16p+13,所以 p2+16p+13

=30,解得 p=1 或 p=-17(舍去).由于 f(x)在 x=1 时有最大值 5,故设 f(x)= a(x-1)2+5,a<0. 所以 g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a+8)x+8-a, 4?1-a??8-a?-4?a+8?2 因为二次函数 g(x)的最小值为-2,故 =-2, 4?1-a? 所以 a=-2.从而 g(x)=3x2+12x+10.


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