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24.7(2)向量的线性运算wjy


什么叫做向量的线性运算? 向量加法、减法、实数与向量相乘以 及它们的混合运算叫做向量的线性运算

什么叫做向量的线性组 合?

如 果a、 b是 两 个 不 平 行 的 向 量 x , 、y是 实 数 , 那 么x a ? y b 叫 做a、b 的 线 性 组 合

例 : 如 图 , 已 知 平 行 四 边 AB 形 C D, 点E、F在 边AB上 AE ? EF ? FB , 点P是 边AD的 中 点 ; 直 线EG 、FH 都 与AD平 行 , 分 别 交 DC于 点G、H; 直 线PQ与AB平 行 分别交 EG 、FH 、BC于 点O、M、Q。 设O M ? a、 O G ? b, 试 用a、 b的 线 性 组 合 表 示 向 量 OC、 OD 、 OA 、 OB 、 OQ

D P O A E

G

H



M B

Q

F

想一想:在图中任取点 一Z, 作 向 量 OZ , 能 用a、 b的 线 性 组 合 表 示 向 量 OZ 吗?

D P O A E

G

H



M B

Q

F

根 据 向 量 加 法 的 几 何义 意, a ? b所 得 的 和 向 量 是向量 a和b的 合 成 。 如 果 a和b是 两 个 不 平 行 的 向量, c ? m a ? nb?m、n是 实 数? ,那么向量 c就 是向量 m a和nb的 合 成 。 用 向 量 a和b 的 线 性 组 合 表示向量 c, 也 可 以 说 是 对 向 量 c 的分解,此时 向 量m a和nb是 向 量 c分别在向量 a和b方 向 上 的 分向量, m a ? nb是 向 量 c关 于 向 量 a和b 的 分 解 式

问题: 给定两个不平行的向a 量 、 b , 对 于 平 面 内 任 意 一 个量 向c, 都 可 以确定它关于向量 a、 b的分解式吗?

平面上任意一个向量都可以在给定 的两个不平行向量的方向上分解。

例 如图,已知向量 OA 、 OB 和 p、 q ,求作:

( 1 ) 向 量p分 别 在 向 量 OA 、 OB 方向上的分向量

( 2 )向量 q分 别 在 向 量 OA 、 OB 方向上的分向量

B

p q
O A

例 : 如 图 , 已 知 平 行 四 边 AB 形 C D, 点M、N是 边DC、 BC的 中 点 , 射 线 AM与BC相 交 于 点 E. 设 AB ? a、 AD ? b, 分 别 求 向 量 AM、 AN、 AE关 于a、 b的 分 解 式

E

D

M N







教学巩固

1.如图五,已知平行四边形ABCD,点 M、N是边DC、BC 的中点,设 AB ? a AD ? b 分别求向量

MN、BN

关于

a 、b
C N B

的分解式.

D

M

A
图五

2.如图六,已知平行四边形ABCD的对角线AC 与BD相交于点 O,设 OA ? a, OB ? b ,分别求向量
、 、 、

OC

OD

AB

BC

关于

a b


的分解式.

D O A
图六

C

B

课堂小结 : 今天我们有哪些收获呢? 作业布置:练习24.7(2)

再见!


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