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偏微分方程数值解法试题与答案


一.填空( 3 ? 5 ? 15 分) 1.若步长趋于零时,差分方程的截断误差 Rlm 程的解 ulm . 此结论_______(错或对) ; 2.一阶 Sobolev 空间 H 关于内积 ( f , g )1
1

? 0 ,则差分方程的解 U lm 趋近于微分方

(? ) ? f ( x , y ) f , f x? , f y? ? L2 (? )

?

?

? _____________________是 Hilbert 空间;

3.对非线性(变系数)差分格式,常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性; 4. 写出 y ? x 3 在区间 [1 , 2] 上的两个一阶广义导数: _________________________________, ________________________________________; 5.隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______(错或对) 。

二. 分)设有椭圆型方程边值问题 (13

?? 2u ? 2u 0 ? x ? 0.3 , 0 ? y ? 0.2 ? 2 ? 2 ? x? y ?y ? ?x ? ? u x ? 0 ? u x ? 0.3 ? 2 y ? 1 ? ? ?u ? ?u ? ?1 , ? ? u ? ? 2x ? y ?0 ? ?n ? y ? 0.2 ?
用 h ? 0.1 作正方形网格剖分 。 (1)用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化; (2)用截断误差为 O(h ) 的差分法将第三边界条件离散化; (3)整理后的差分方程组为
2

B A

D C

? ? ? ? ? ? ?
三. (12)给定初值问题

?? U A ? ? ? ? ?? ?? U B ? ? ?? U ? ? ? ?? C ? ? ?? U ? ? ?? D ? ?

? ? ? ? ? ? ?

?u ?u ? ?t ?x



u? x,0? ? x ? 1

取时间步长 ? ? 0.1 ,空间步长 h ? 0.2 。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式), 并以此格式求出解函数 u( x, t ) 在 x ? ?0.2 , t ? 0.2 处的近似值。

1.所选用的差分格式是: 2.计算所求近似值:

四. (12 分)试讨论差分方程

ulk??11

a? h ? ulk ? r ?ulk?1 ? ulk ?1 ? , r ? a? 1? h 1?

逼近微分方程

?u ?u ?a ? 0 的截断误差阶 R 。 ?t ?x

思路一:将 r 带入到原式,展开后可得格式是在点(l+1/2,k+1/2)展开的。 思路二:差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点,可由此构造中心点的差分格 式。 五. (12 分)对抛物型方程

?u ? 2 u ,考虑 Du Fort-Frankel 格式 ? ?t ?x 2

U lk ?1 ? U lk ?1 1 ? 2 (U lk?1 ? (U lk ?1 ? U lk ?1 ) ? U lk?1 ) 2? h
试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件? 六. (12 分) (1)由 Green 第一公式推导 Green 第二公式:

?? (? u)vdxdy ? ?? ?u ? ?vdxdy ? ? [v
2 G G ?

? ( ?u) ?v ? ?u ]ds ?n ?n

(2) 对双调和方程边值问题

? ? ?2 u ? f ( x , y ) ( x, y) ? G ? ?u ? ?u ? ? ? ? g1 ( x , y ) , ? ? g 2 ( x, y) ?n ? ? ?u ?[?u ? ? ]? ? ? ( x , y ) , ? ? 0 ?n ?
1 2 1 2

, ?1

? ?2 ? ?G

选择函数集合(空间)为: 推导相应的双线性泛函和线性泛函:

A( u, v ) ?
相应的虚功问题为: 极小位能问题为 七. (12 分)设有常微分方程边值问题

F (v ) ?

? ? y ?? ? y ? f ( x ) , a ? x ? b ? ? y ??a ? ? ?1 , y?b? ? 1

将区间 [a , b] 作剖分:

a ? x0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? b
1.若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数,试写出基函数所应满足的插值条 件: 2.画出基函数在 [a , b] 上的图形:
* 3.将有限元解 y h 用基函数的形式表示出来:

八. (12 分)设有常微分方程边值问题

? ? y ?? ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1 ? ? y(0) ? 0, y(1) ? 1
1. 转化为相应的变分问题 选择函数集合(空间)为: 推导相应的双线性性泛函和线性泛函:

A( y, z ) ?

F (z ) ?

2. 将[ 0 , 1 ]二等分,采用线性元的有限元方法,导出有限元方程并求解。

参考解答
?1 ? h 2 (U 01 ? U c ? U 10 ? U B ? 4U A ) ? 0 ? ? 4u A ? uB ? uC ? 1.8 ? 二. (1) ? 即 ? ? u A ? 4uC ? u D ? 1.801 ? 1 (U ? U ? U ? U ? 4U ) ? 0.1 A 31 20 D C ? h2 ?
(2) ?

? 2U A ? 4.2U B ? U D ? 0.599 ?? 4U A ? 3.2U B ? 1.04 或 ? ?? 4U C ? 3.2U D ? 1.08 ?U B ? 2U C ? 4.2U D ? 0.52

1 1 0 ?? u A ? ? 1.8 ? ??4 ? ?? ? ? ? 0 ?4 1 ?? uB ? ? 1.801 ? ? 1 (3) ? 或 ? 2 ? 4.2 0 1 ?? uC ? ? 0.599? ? ?? ? ? ? ? 0 1 2 ? 4.2 ?? uD ? ? 0.52 ? ? ?? ? ? ?

1 0 ?? u A ? ? 1.8 ? ??4 1 ? ?? ? ? ? 0 ? 4 1 ?? uB ? ? 1.801? ? 1 ? ? ? 4 3.2 0 0 ?? uC ? ? 1.04 ? ? ?? ? ? ? ? 0 0 ? 4 3.2 ?? uD ? ? 1.08 ? ? ?? ? ? ?
三.
0 ? 0.25U ?1 ? 0.5U 00 ? 0.25U 10 ? 1.1

1.801 ? 1 ? 2h ? h 3 1.04 ? 1 ? 4h 2 1.08 ? 1 ? 8h 2

2 1 1 0 0 u?1 ? (1 ? r )u?1 ? ru 0 ) ? (1 ? r ) 2 u?1 ? 2r (1 ? r )u0 ? r 2 u10

四.Box 格式,二阶 五.练习题。总满足。 六.1.在 Green 第一公式 ?? ?? ?u ?vd? ?
G

?? ?u x v x ? u y v y ?d? ? ?
G

?u vds 中 ? ?n

①将 u与 v 位置对换,并进一步换 u ? ? ?u ②在原 Green 公式中换 u ? ? ?u 2.取 H F ? ?u u ? H , u
2 2

? ? ? ?

?1 ? ?2

? g1 ,

? ?u ? ? g2 ? ?n ? ? ?
1

? ? ?u ? ? H 02 ? ?u u ? H 2 , u ? ? ? ? 0 , ? 0? ?n ? ? ? ? ?
1 2 1

?v ? H 02 ,由 Green 第二公式有 ??2 u, v ? ? ? f , v ? ?

??u ? ?v ?d? ? ? ? ?u ?v ds ? ?? f vd? ? ? ??
G ?2

?n ?n

G

?v ?ds ?n

A( u, v ) ? ?? ??u ? ?v ?d? ? ? ?
G
? 2

?2

?u ?v ds , ?n ?n

F (v ) ?

?? f vd? ? ?
G

?v ?ds ?n

虚工问题:求 u ? H F ,使 A u 极小位能:求 u ? H F ,使 I
? 2

?

?

2 , v ? ? F ?v ? ?v ? H0

?u ? ? 1 A?u , u ? ? F ?u ? ? min I ?u?
? ? ? ?

2

2 u?H F

七.1. ? i ( A j ) ? ?

?1 , ?0 ,

j?i , i ? 0,1,2,?, n ? 1 j?i

? i? ( Aj ) ? 0 , i ? 0,1,?, n ? 1

? i(1) ( Aj ) ? 0 , i ? 1,2,?, n
d? i(1) dx
* 2. y h ( x ) ?

Aj

?1 , ?? ?0 ,
* i i

j?i , i ? 1,2,?, n j?i
n (1) i

? y ? ( x) ? ? m ?
i ?0 i ?0 i n ?1 i ?0

n

( x)
n

( ? ? y i*? i ( x ) ? ? n ( x ) ? ? 01) ( x ) ? ? m i ? i(1) ( x ) i ?1

八.1. 取 H E

1

? ?y y ? H 1 , y?0? ? 0, y?1? ? 1?

,

1 H 0 ? ?y y ? H 1 , y?0? ? y?1? ? 0?

1 ?? ? H 0 , 作内积 ?? y ?? ? y,? ? ? ?x 2 ,? ? ,分部积分

? ? y?? ? ? y? ?dx ? ?
1 0

1

0

x 2?dx

A? y,? ? ? F ?? ?

虚工问题:求

1 1 y ? ? H E ,使 A? y ? ,? ? ? F ?? ? ?? ? H 0 1 y ? ? H E ,使 I ? y ? ? ?

极小位能:求

1 A? y ? , y ? ? ? F ? y ? ? ? min I ? y ? y?H 2
1 E

2.

构造分段线性的结点基函数 ? 1 , 并补充 ? 0 则
* y ? ? ? y i*? i ( x ) ? y1 ? 1 ? ? 2 i ?0 2

,? 2

?1 ? ?

0 ? x ? 0.5 ?2 x ? 2 ? 2 x 0.5 ? x ? 1



?2 ? ?

?0 ?2 x ? 1

0 ? x ? 0.5 , 0.5 ? x ? 1

有限元方程为:

* A(?1 ,?1 ) y1 ? F (?1 ) ? A(?1 ,? 2 )

13 * 25 23 131 * y1 ? ? + , y1 ? 0.47236 3 192 12 64 ?2 x 1? x (e ? e ) ? x 2 ? 2 , y(0.5) ? 0.47636 ) (理论解为: y ( x) ? 1? e


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