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极坐标系


极坐标系
一、 极坐标系的概念: M(ρ,θ) 在平面内取一个定点 O,叫极点,引一条射线 Ox, 叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常 ρ 取逆时针方向) 。对于平面内任何一点 M,用 表示线 段 OM 的长度,表示从 Ox 到 OM 的角度, 叫做点 θ M 的极径, 叫做点 M 的极角, 对应 (, )就叫点 M 的 x 极坐标,这样建立的坐标系叫

做极坐标系。 极坐标系 二、极坐标与直角坐标的转化: 在直角坐标系中一点0为(0 , 0 )则在以其处直角坐标系的原点为极点的极坐标系
2 2 中其极径0 = √0 + 0 , 极角0 = tan?1(0 ) (极角所在象限由原角而定) , 得0极坐
0



2 2 标为(√0 + 0 , tan?1( 0))。那么得极坐标方程与直角坐标方程的互化公式: 0



{

= √ 2 + 2 =
?1 ( )

= { =

三、极坐标系的运用及简单图像的方程: 1) 极坐标系中两点的距离: 若在极坐标系中存在不同的两点(1 , 1)、(2 , 2 )则 其距离 d 为:
2 2 = √1 + 2 ? 21 2 cos(1 ? 2 )

A(ρ1,θ1 )

B(ρ2,θ2 ) O x

推导过程: 由余弦定理 2 = 2 + 2 ? 2 得:

||2 = ||2 + ||2 ? 2||||∠ 其中有:|| = 1 , || = 2 ∠ = 1 ? 2 则有: 2 2 ||2 = 1 + 2 ? 21 2 cos(1 ? 2 ) 即:
2 2 = √1 + 2 ? 21 2 cos(1 ? 2 )

2)

3)

极坐标系中直线的方程: 若在极坐标系中存在过极点的直线0, 其倾斜角为, 则该直线的的极坐标方程为: = ( ∈ ) 极坐标系中圆的方程: 若在极坐标系中存在一个圆, 圆心在极点上, 半径为 r ,则该圆的的极坐标方程为: = ( ∈ ) 若其圆心在点(1 , 1 )则该圆的的极坐标方程为: 2 2 + 1 ? 21 ( ? 1 ) = 2

4)

极坐标系中圆锥曲线的方程: 圆锥曲线的极坐标方程为

= ± 1?或 = ± 1?
表示准线到焦点的距离。 以椭圆为例,进行推导: 以椭圆的左焦点为 为极点, 向右为正方向, , 设 其离心率为 = ||, 到左准线的距离为|| = (由椭圆的定义可知,若该椭圆的长半轴长为,焦距 为2,结合图像可得 =
2
N M l
||





P F x

? 2.),左准线的垂线的



垂足为交椭圆于点(, ),则有 || = || ? || ? = ? || = ρ 得: = 稍加整理便可得: = 5)
1?

|| = || ?

.


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