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江西省上高县第二中学2016届高三上学期12月(第四次)月考数学(理)试题


上高二中 2016 届高三第四次月考理科数学 一、选择题 1、已知集合 A ? x x2 ? x ? 2 ? 0, x ? R , B ? y y 2 ? 3 y ? 0, y ? Z ,则 A ? B ? ( A. ? B. ?x 0 ? x ? 2? C. ?x 0 ? x ?1? D. ?x 1 ? x ? 2, x ? Z ? )条件

?

?

?

?

) .

2、 “ a ? 1 ”是“函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ”的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要

D.既不充分也不必要

3、在复平面内,复数 z ?

3i 的共轭复数的虚部为( ) . ?1 ? 2i
C.

3 A. i 5
4、定积分 A.

3 B. ? i 5

3 5


D.

?

3 5

?

1

0

x ? 2 ? x ?dx 的值为(
B.

? 4

? 2

C. ?

D. 2?

5.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )

(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向右平移

? 6

个单位后得到函数 g ?x? ? sin??x ? 的图像,则函数 f ( x ) 的图像 ( ) A.关于直线 x ? C.关于点 (

5? 对称 12

B.关于直线 x ? D.关于点 (

? 对称 12

?
12

, 0 ) 对称

5? , 0 ) 对称 12
x

6.如图,点 O 为坐标原点,点 A ?1,1? .若函数 y ? a

? a ? 0且a ? 1? 与

y ? logb x ?b ? 0且b ? 1? 的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好
是线段OA的两个三等分点,则 a? b 满足( ) A. b ? a ? 1 B. b ? a ? 1 C. a ? b ? 1 D. a ? b ? 1 )

7. 已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A. 7 B. 5 C. ?? D.

?

??

8.已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a7 ? 9a3 ,则 (A) 9 (B) 5

S9 ?? S5

?
(D)

(C)

18 5

9 25

9、下列函数既是奇函数,又在区间 [?1,1] 上单调递减的是( A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ln

) . D. f ( x) ?

2? x 2? x

C. f ( x) ? ? | x ? 1|

1 x ?x (e ? e ) 2

? log 1 ( x ? 1), x ? ? 0, 2 ? ? 3 x ? 0 f ( x ) ? 10、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 时, ,则关于 x 的函 ? ? 1 ? x ? 4 , x ? 2, ?? ? ? ?
数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( ) A. 3a ? 1 B. 1 ? 3a C. 3? a ? 1 D. 1 ? 3? a

11、设函数 f ?x? ? e x ? 2 x ? 4 , g ?x? ? ln x ? 2 x 2 ? 5 ,若实数 a ,b 分别是 f ?x ? , g ?x ? 的 零点,则( ) B. f ?b? ? g ?a ? ? 0 C. 0 ? g ?a ? ? f ?b? D. g ?a ? ? 0 ? f ?b? A. f ?b? ? 0 ? g ?a ?

12.已知 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,若 ?x ? R , f ?( x) ? ?2 ,则不等式

f ( x ?1) ? x2 (3 ? 2ln x) ? 3(1 ? 2 x) 的解集是( )
(A) (0,1) 二、填空题 13. 在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且 | BO |? 3| CO |, 当AO ? 时,则 x ? y ? 14、 。 (B) (1, ??) (C) ( , ??)

1 2

(D) ( ,1)

1 2

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ? xAB ? yAC

?2 sin 20? ? cos10?? ? sin 50??1 ?
sin 10?

3 tan10? ? cos20?

?

cos80? 1 ? cos20?

? __________

2 2 15、设 x , y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值是_________.

16、已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,对任意 n ? 2 ,均有

3Sn ? 4? an? 2 ?

3Sn ?1 ? 1 成等差数列,则数列 {an } 的通项公式 an = 2

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a? b? c ,且满足 (1)若 4sin C ? c sin B ,求△ABC 的面积;
2

c a ? 。 sin C 3 cos A

(2)若 AB ? BC ? AB

? ??? ? ??? ? ???? 2

? 4 ,求 a 的最小值.

18、 (本题满分 12 分)

已知等差数列 ?an ? 的前 5 项和为 105, 且a an ? 中不大于 7 0 1 =2 5 a ,对任意 m ? N ,将数列 ?
*

2m



项的个数记为 bm . (1)求数列 ?an ? , ?bm ? 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (2sin x,sin x) , b ? (sin x, 2 3 cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2a cos B ? b cos C ? c cos B , 若对任意满足条件的 A ,不等式 f ( A) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围

?

?

? ?

20. (本小题满分 12 分) 已知由整数组成的数列 ?an ? 各项均不为 0,其前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a, 2Sn ? an an?1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 (Ⅱ)若 n ? 15 时, Sn 取得最小值,求实数 a 的值

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x (a ? R,a ? 0) . 2

⑴求函数 f ( x ) 的单调增区间; ⑵记函数 F ( x) 的图象为曲线 C ,设点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上两个不同点,如果曲 线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) , 使得: ① x0 ? 则称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”. 试问:函数 f ( x ) 是否存在中值相依切线,请说明理由.

x1 ? x2 ; ②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB , 2

22. (本小题满分 10 分) (1)解不等式 x x ?1 ? 2 ? x ? 2 ; (2)已知 x? y? z 均为正数.求证:
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

2016 届上高二中高三第四次月考试卷( 理科数学答案) 1-6 DACABC 7-12 DABBDA 13. -2 14.

2? 3

15.

2 10 5

16. an = ?

?1 n ? 1 ?0 n ? 2

18.

(3) cn ? n ? 49n , 19.

Sn ?

49 49n?1 n ? 49n?1 ? ? 482 482 48

20.解: (Ⅰ)因为 2Sn ? an an?1 , 所以 2Sn ?1 ? an ?1an (n ? 2) ,两式相减,得到

2an ? an (an ?1 ? an ?1 ) ,

因为 an ? 0 ,所以

an ?1 ? an ?1 ? 2 , 所以 {a2 k ?1},{a2 k } 都是公差为 2 的等差数列,
当 n ? 2 k ? 1 时, an ? a1 ? 2(k ? 1) ? n ? a ? 1 , 当 n ? 2k 时,

an ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2k ? n ,

?n ? a ? 1, n为奇数, 所以 an ? ? n为偶数. ?n , ?n ? a ? 1, n为奇数, (Ⅱ)法一:因为 2Sn ? an an?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,

?1 ( n ? a ? 1)( n ? 1), n为奇数, ? ? 所以 Sn ? ? 2 ? 1 n(n ? a ) , n为偶数, ? ?2
注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的,所有偶数项构成的数列是一个单调递增的, 当 n 为偶数时, an ? 0 ,所以此时 Sn ? Sn ?1 ,所以 S15 为最小值等价于 S13 ? S15 , S15 ? S17 , 所以 a14 ? a15 ? 0, a16 ? a17 ? 0 ,所以 14 ? 15 ? a ? 1 ? 0, 16 ? 17 ? a ? 1 ? 0 ,解得
?32 ? a ? ?28 .

因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} .

又因为 an ? 0 ,所以对所

有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 ,所以 a 不能取偶数,所以 a ? ?31, a ? ?29 .

?n ? a ? 1, n为奇数, 法二:因为 2Sn ? an an?1 , 由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,

?1 ( n ? a ? 1)( n ? 1), n为奇数, ? ?2 所以 Sn ? ? ? 1 n(n ? a ) , n为偶数, ? ?2
因为 S15 为最小值,此时 n 为奇数。 根据二次函数的性质知道,有 14 ? ? 当 n为奇数 时, Sn ?

1 (n ? a ? 1)(n ? 1) , 2

a ? 16 ,解得 ?32 ? a ? ?28 , 2

因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 ,所以 a 不能取偶数,所以
a ? ?31, a ? ?29 .

经检验,此时 Sn 为最小值,所以 a ? ?31, a ? ?29 .

21.解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) .

1 a( x ? 1)( x ? ) 1 a . 由已知得, f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x x
ⅰ 当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;? 函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 ⅱ 当 a ? 0 时, ①当 ?

1 1 ? 1 时,即 a ? ?1 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; a a

1 ? 函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增 a
②当 ? ③当 ?

1 ? 1 时,即 a ? ?1 时, 显然,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; a 1 1 ? 1 时,即 ?1 ? a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? a a

1 ? 函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增. a
综上所述: ⑴当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 ⑵当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 ⑷当

1 a

(1, ??) 上单调递增

⑶当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;

1 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增. a
(Ⅱ)假设函数 f ( x ) 存在“中值相依切线”. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 ,

则 y1 ? ln x1 ?

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 . 2 2
1

k AB
.

2 2 y2 ? y1 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 a( x2 ? x1 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) ln x2 ? ln x1 1 ? ? ? ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 2

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率 k ? f ?( x0 ) ? f ?(

x1 ? x2 x ?x 2 )? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2
2( x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1
ln t ? 4 ? 2 ,令 t ?1

化简可得

ln x2 ? ln x1 x 2( x2 ? x1 ) 2 ? , 即 ln 2 = ? x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1



2(t ? 1) 4 x2 ? 2? , ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? t ?1 t ?1 x1

g (t ) ? ln t ?

4 1 4 (t ? 1)2 , g '(t ) ? ? . ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2

因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ??) 上递增,显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x ) 不存在“中值相依切线” . 22. (本小题满分 10 分) 解: (1) ○ 1 当 x ? 2 时,原不等式为 x( x ? 1) ? 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 2. 又 x ? 2 ,? x ?? 2 当 1 ? x ? 2 时,原不等式 x( x ? 1) ? 2 ? 2 ? x ? ?2 ? x ? 2. ○ 3 当 x ? 1 时,原不等式 x(1 ? x) ? 2 ? 2 ? x ? x ? R ○ 综上:原不等式的解集为 x x ? 2 . (2)证明:因为 x,y,z 均为正数.所以 同理可得
y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ , zx xy x xy yz y x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ , yz zx z y x z

又 1 ? x ? 2 ,?1 ? x ? 2;

又 x ? 1 ,? x ? 1;

?

?

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z


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