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数列前n项和的求法


数列前n项和的求法
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Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an

1.用等差数列、等比数列的前n项和公式 (1)直接用公式:单独的等差(或等比)数列
n?a1 ? a n ? n?n ? 1? S ? ? na ? d 等差数列: n 1 2 2
等比数列:

q ?1 ? na1 , ? a1 ? a n q S n ? ? a1 1 ? q n ? ,q ? 1 ? 1? q ? 1? q

?

?

例 1 已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2.求数列{an}的前 n 项和 Sn.
(2)分组求和:等差、等比混合数列求和

例 2 已知数列{an}的通项公式为 an=n+2 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

n

2.倒序相加求和法 若数列 ?an ? 满足: a1 ? an
2 ? 2 ?

? a2 ? an ?1 ? ??? ? an +a1
2 ?

可用 倒序相加 求和,等差数列前n项和公式是用此法证明的。

例 3 求和 sin 1 ?sin 2 ?sin 3 ?????sin 89 .
解 设 S= sin

2 ?

2 ?

1 ? sin 2 2? ? sin 2 3? ????? sin 2 89? ,

S sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ????? sin 2 1? = cos2 1? ? cos2 2? ? cos2 3? ????? cos2 89? 2= ∴ 2S ? (sin 1? ? cos2 1? ) ? (sin2 2? ? cos2 2? ) ? (sin 2 3? ? cos2 3? ) ????? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89 ∴ S=44.5.

3.裂项相消求和法
? 1 ? ? 的数列,且 bn ? an ? t (常数),则 形如 ? ? an ? bn ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? a n ? bn t ? a b n ? ? n

,可用 裂项相消法 求和。

3.裂项相消求和法
1 例 4 已知数列 an ? ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. n (n ? 1)
例 5 已知数列 an ? 例 6 已知数列 an ? 例 7 已知数列 an ?
1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2n (2n ? 2) 1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. (2n ? 1)(2n ? 1)

1 n ? n ?1

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

1 例 4 已知数列 an ? ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. n (n ? 1)

1 例 5 已知数列 an ? ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2n (2n ? 2)

例 6 已知数列 an ?

1 ,求数列{an}的前 (2n ? 1)(2n ? 1)

n 项和 Sn.

例 7 已知数列 an ?

1 n ? n ?1

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

成就谱写一首 启航的歌


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