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含绝对值不等式的解法


成都龙泉 刘杰名师工作室 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为 不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用 x ? a 与 x ? a 的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义: x 是指数轴上点 x 到原点的距离; x1 ? x2 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离.。 2、 x ? a 与 x ? a 型的不等式的解法。 当 a ? 0 时,不等式 x ? 的解集是 x x ? a, 或x ? ? a ? 当 a ? 0 时,不等式 x ? a 的解集是 ?x x ? R? 不等式 x ? a 的解集是 ? ; ? 不等式 x ? a 的解集是 x ? a ? x ? a ; ? ? 3. ax ? b ? c 与 ax ? b ? c 型的不等式的解法。 把 ax ? b 看作一个整体时,可化为 x ? a 与 x ? a 型的不等式来求解。 ? 不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ? c ? ax ? b ? c?; 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x x ? R? 不等式 a ? bx ? c 的解集是 ? ; 例 1 解不等式 x ? 2 ? 3 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 x ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c ? 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“ x ? 2 ” 看着一个整体。答案为 x ? 1 ? x ? 5 。(解略) ? a ( a ? 0), ? (二)、定义法:即利用 a ? ?0( a ? 0), 去掉绝对值再解。 ? ? a ( a ? 0). ? ? ? 例 2。解不等式 x x 。 ? x?2 x?2 分析:由绝对值的意义知, a ? a ? a≥0, a ? ?a ? a≤0。 解:原不等式等价于 x <0 ? x(x+2)<0 ? -2<x<0。 x?2 (三)、平方法:解 f ( x) ? g ( x) 型不等式。 例 3、解不等式 x ?1 ? 2x ? 3 。 解:原不等式 ? ( x ?1)2 ? (2 x ? 3)2 ? (2x ? 3)2 ? ( x ?1)2 ? 0 1 成都龙泉 刘杰名师工作室 ? (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 ? (3x-4)(x-2)<0 ? 4 ? x ? 2。 3 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 4 解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 。 分析:由 x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 和 x ? 2 。 ? 2 和1 把实数集合分成三个区间, 即 x ? ?2 , ? 2 ? x ? 1 , x ? 1 ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。 ? x ? ?2 解:当 x<-2 时,得 ? , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ??2 ? x ? 1, 当-2≤x≤1 时,得 ? , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ? x ? 1, 当 x ? 1 时,得 ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5. 解得: ? 3 ? x ? ?2 解得: ? 2 ? x ? 1 解得:1

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