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贵州省六校联盟2014届高三第一次联考 文科数学 Word版含答案


秘密★考试结束前 【考试时间:2013 年 12 月 13 日

9:00-11:00】

贵州省六校联盟 2014 届高三第一次联考试卷 数学(文)
本试题卷分第 I 卷(选择题)和第 11 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试用时 120 分 钟。. 注意事项: 1.答题时,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场

号在答题卡上填写清楚, 并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目,在规定的位置贴好条形码。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。在本试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题 共60分) 1.选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,集合 A ? ?2,3, 4? , B ? ?2,5? ,则 B ? (CU A) =( (A) ?5? (D) (B) ?1, 2, 5? )

(C) ?1, 2, 3, 4, 5?

?
) (D)-3 )

(2)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,且 (a ? i)i ? b ? 2i ,则 a+b=( (A)1 (B)-1 (C)-2

(3)在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则

a12 ?( a2
3或

(A)

3

(B)

?

(4)已知 l 、m 是两条不同的直线, ? 是个平面,则下列命题正确的是 ( ) (A)若 l // ? , m // ? , 则 l / / m (B) 若 l // ? , m ? ? ,,则 l ? m (C) 若 l ? m , m ? ? ,则 l // ? (D) 若 l ? m , m // ? , 则 l ? ?
2

1 3

(C)

1 3

(D)

?3 或 ?

1 3

(5)已知命题 p1:? x0∈R, x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 ;p2:? x∈[1,2],x2-1≥0.以下命题为真命 题的是( (A) )
?

P1 ∧ ? P2

(B)

P1 ∨ ? P2

(C)

?

P1 ∧ P2

(D)

P1 ∧ P2

(6)两个正数 a, b 的等差中项是

b 9 ,等比中项是 2 5 ,且 a ? b ,则抛物线 y 2 ? ? x 的焦点坐 2 a
1 ( , 0) 5

标( (A)

)

(?

5 , 0) 16

(B)

(C)

1 ( ? , 0) 5

(D)

(?

2 , 0) 5

(7)右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的 高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( ) (A) (B) (C) (D)

(8)右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, p 为该题的最终得 分,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 9.5 时, x3 等于( (A) (B) (C) (D) 10 9 8 7 )

(9)设 x,y 满足

时,则 z=x+y 既有最大值也有最小值,

则实数 a 的取值范围是( (A) ?

) (B)

1 ?a ?1 2
x

a ?1

(C)

0?a ?1

(D)

a?0

(10)函数 f ? x ? ? 3 log 1 x ? 1 的零点个数为(
2

) (D)3 )

(A)2 (11) .若不等式
2

(B)1

(C) 4

t t?2 ? a ? 2 在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是( t ?9 t
1 ? (B ) ? ?6,2 2? 1 4? (C)? ?6,13?

1 ? (A)? ?6,1?

2 ? ( D) ? ?13,1? 的左、右焦点,过点 F2

(12)已知 F1,F2 分别是双曲线 与双曲线的一

条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的 圆外,则双曲线 离心率的取值范围是( (A) ) (B)

( 1,2)

( 2,3) (C) ( 3, 2)

(D) ( 2, ? ?)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13-21题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题: (本大题共4小题,每小题5分,共20分)
(13) 已知向量 a ? ( 2,3) ,b ? (1,2) , 且 a, b 满足 (a ? ? b) ? (a ? b) , 则实数 ? ? _______. (14)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到 圆心的距离大 1 1 于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看书.则 2 4 小波周末不在 家看书的概率为______. (15)已知角 ? , ? , ? 构成公差为

? 2 的等差数列.若 cos ? ? ? , 3 3

则: cos?

? cos? =______.
AC AE .把 ? BC BE

(16) 在平面几何中:ΔABC 的∠C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为

这个结论类比到空间:在三棱锥 A — BCD 中(如图)DEC 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相交于 E ,则得到类比的结论是 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17) (本小题满分12分) 在△ ABC中, 角A、 B、 C所对的边分别为a、 b、 c,q = ( 2a , 1) ,p = ( 2b ? c , cos C ) 且 q ∥ p .求: (Ⅰ)求sin A的值;

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C (18) (本小题满分 12 分)
(Ⅱ)求三角函数式 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点. (Ⅰ)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (Ⅱ) 点 M 在线段 PC 上,PM ?

1 若平面 PAD ? PC , 3

平面 ABCD,且 PA ? PD ? AD ? 2 , 求三棱锥 M - PQB 的体积.

(19)(本小题满分12分) 为了调查某大学学生在周日上网的时间,随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记 名的问卷调查, 得到了如下的统计结果: 表 1:男生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) 人数

?30, 40?
5

?40, 50?
25

?50, 60?
30

?60,70? ?70, 80?
25 15

表 2:女生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) ?30, 40 ? 人数 10

?40, 50? ?50, 60? ?60,70? ?70, 80?
20 40 20 10

(Ⅰ)若该大学共有女生 750 人,试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数; (Ⅱ)完成表 3 的 2 ? 2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“学生周日上网时间与 性 别有关”? (Ⅲ)从表 3 的男生中“上网时间少于 60 分钟”和“上网时间不少于 60 分钟”的人数中 用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,再从中任取两人,求至少有一人上网时 间超过 60 分钟的概率. 表3 : 上网时间少于 60 分钟 男生 女生 合计 上网时间不少于 60 分钟 合计

附: k ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

P ( K 2 ? k0 )
k0

0.50 0.455

(20)(本小题满分12分) 已知点 M 是椭圆 C:

x2 y2 =1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4, ? a 2 b2
4 3 3

∠F1MF2 =60o, ? F1 MF2 的面积为

(I) 求椭圆 C 的方程; (II) 设 N(0,2),过点 p(-1,-2)作直线 l ,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、 NB 的斜率 分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值. (21) (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ( a ? R ). (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号。 (22) (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 如图,已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,连结 AD、BD、OC、OD,且 OD=5。 (Ⅰ)若 sin ∠BAD ?

3 ,求 CD 的长; 5

(Ⅱ)若 ∠ADO :∠EDO=4 :1, 求扇形 OAC(阴影部分)的面积(结果保留 ? ) 。

(23) (本小题满分10分)选修4——4;坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? C : p sin 2 ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,过点 P(-2,-4)的直线 l : ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 于点 M,N 两点 (Ⅰ)求曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值
24(本小题满分10分)选修4——5;不等式选讲 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (Ⅰ)a+b+ab≥8; 1 1 1+a??1+b?≥9. (Ⅱ) ? ? ?? ?

2 t, 2 (t 为参数)与曲线 C 相交 2 t 2

贵州省六校联盟 2014 届高三第一次联考试卷
文科数学参考答案
一、 BDCB CCBA AADD 二、 (13) ?

5 3

(14)

13 16

(15) -2/3 (16)

AE S?ACD ? EB S?BCD

(17) 解: (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c ,根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C , ...........3 分

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ?

?
3

;sinA=

3 2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

(II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos 2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos 2 C ? 2 sin C cos C , sin C 1 ? tan C 1? cos C

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?
∵0 ? C ?

?
4

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 ), 。

2 ? ? 13 2 ? ? sin( 2C ? ) ? 1 , ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? 2 4 4 4 12 3
?
4 ) ? 2 , ∴ f (C ) 的 值 域 是 (?1, 2 ] ...... 。。。。 12 分

∴ ? 1 ? 2 sin( 2C ?

PQ ? AD ? BQ ? AD ? 18( . 1)证明:由题 ? ? AD ? 平面 PQB, PQ ? BQ ? Q? ? 又 ? AD ? 平面 PAD, ? 平面 PQB ? 平面 PAD. ?????? (6分)
(Ⅱ)过M作MH⊥QC垂足是H,链接MD,则MH= 四棱锥 M --- BCDQ 的体积为:

2 3 2 ,…………8分 PQ = 3 3

V1 ?
而 四

1 1 1 2 3 S BCDQ HM ? ? (1 ? 2) ? 3 ? ?1 3 3 2 3
棱 锥

P

---

BCDQ









V2 ?

1 1 1 3 SBCDQ PQ ? ? (1 ? 2) ? 3 ? 3 ? 3 3 2 2 1 2
…………12 分(正确答案 )
1 3

则三棱锥 M --- PQB 的体积 V ? V2 ? V1 ?

19、 【答案】解:(1)设估计上网时间不少于 60 分钟的人数 x , 依据题意有

x 30 ,解得: x ? 225 , ? 750 100

所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数是 225 人 …………4 分 (2)根据题目所给数据得到如下列联表: 上网时间少于 60 分钟 男生【 女生 合计 60 70 130 上网时间不少于 60 分钟 40 30 70 合计 100 100 200

其中 K ?
2

200(60 ? 30 ? 40 ? 70) 2 200 ? ? 2.198 ? 2.706 100 ? 100 ? 130 ? 70 91

因此,没有 90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关” ………………8 分 (3)因为上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3 : 2 ,所以 5 人中 上网时间少于 60 分钟的有 3 人,记为 A, B , C , 上网时间不少于 60 分钟的有 2 人,记为 的 所 有 基 本 事 件

D, E ,













为:( AB ),( AC ),( AD ),( AE ),( BC ),( BD ),( BE ),( CD ),( CE ),( DE ),共 10 种, 其中“至少有一人上网时间超过 60 分钟”包含了 7 种, ? P ?

7 10

…………12 分

(21) (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? 2 x , f ?( x) ?

2 ,, ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
x x

(Ⅱ) g ( x) ? 2ln x ? x2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e 1 ∴ g ( x) 在 [ ,e] 上的最小值是 g (e) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 e ? g (1) ? m ? 1 ? 0, 1 1 解得 1 ? m ? 2 ? 2 , g ( x) 在 [ ,e] 上有两个零点的条件是 ? 1 1 ? e e ? g ( ) ? m ? 2 ? 2 ? 0,
? e e

1 ∴实数 m 的取值范围是 (1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 2 ? 2 ] .· e 分 22. (1)因为 AB 是⊙O 的直径,OD=5 所以∠ADB=90° ,AB=10

BD AB 3 BD 3 ? , 又 sin ∠BAD ? ,所以 5 10 5 所以 BD ? 6 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分
在 Rt△ ABD 中, sin∠BAD ?

AD ?

AB 2 ? BD 2 ? 10 2 ? 6 2 ? 8

因为∠ADB=90° ,AB⊥CD 所以 DE·AB ? AD·BD,CE ? DE 所以 DE ? 10 ? 8 ? 6 所以 DE ?

24 48 , 所以 CD ? 2 DE ? 5 5

。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分

(2)因为 AB 是⊙O 的直径,AB⊥CD,

所以 CB ? BD , AC ? AD , 所 以 ∠BAD









=∠CDB,∠AOC=∠AOD. 因为 AO=DO,所以∠BAD=∠ADO, 所 以 ∠CDB = ∠ADO。 。 。 。 。 。2 分 设∠ADO=4x,则∠CDB=4x. 由∠ADO :∠EDO=4 :1,则∠EDO=x. 因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90° ,所以 4 x ? 4 x ? x ? 90? , 所以 x=10° 所以∠AOD=180° -(∠OAD+∠ADO)=100° 所以∠AOC=∠AOD=100° ,故 S 扇形OAC ?

100 125 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 ? ? ? 52 ? ?。 360 18

23

24【答案】证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1? 1 1 1 1 1 a+b ∴a+b+ab=a+b+ ab =2? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 ?a+b?。 a+b a+b? ?b a? + =2? ? a + b ?=2?a b?+4

b a a× b+4=8. 1 1 1 ∴a+b+ab≥8. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 1?? 1? 1 1 1 (2)∵? ?1+a??1+b?=a+b+ab+1, 1 1 1 由(1)知 + + ≥8. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 a b ab 1?? 1? ∴? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 ?1+a??1+b?≥9.。 ≥4


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