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1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 2


§1.3 简单的逻辑联结词、

全称量词与存在量词
基础知识
要点梳理
1. 命题中的“___”、“___”、“___”叫做逻辑 或 非 且 联结词.

自主学习

2.用来判断复合命题的真假的真值表:
p q
?

p

?

r />
q p ? q p ? q ? ( p ? q) ? ( p ? q) ? p ? ? q
___ 真 真 ____ 假 ____ 假 _____ 假 真 假 ____ 真 真 _____ 真 ____ 假 真 _____ 真 真

?

p ?? q

真 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 真 真

假 假 假 ____ 真

___ ____ 假 真 ___ 真 假 假 ____ 假

3.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、 “每一个”、“任给”、“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一 个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有

的”等.
(3)全称量词用符号“____”表示;存在量词用符号 ? “____”表示. ? 4.全称命题与存在性命题 (1)_____________的命题叫全称命题. 含有全称量词 (2)____________的命题叫存在性命题. 含有存在量词

5.命题的否定
(1)全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否 定是全称命题. (2)p或q的否定为:非p且非q; p且q的否定为:非p或非q.

基础自测
1.(2009·海南改编)有四个关于三角函数的命题: p1:??x ? R, sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y ?

p3:? x ? [0, π], 1 ? cos2 x ? sinx ? 2 p4: sin x ? cos y ? x ? y ? π 2 其中的假命题是___________.
解析 ∵对任意x∈R,均有 sin 2 ? cos 2 ? 1 而不是 2 2 1 , 故p1为假命题. 2
x x

当x,y,x-y有一个为 2k π (k∈Z)时,
sin x-sin y=sin(x-y)成立,故p2是真命题.

∵cos 2x=1-2sin2x, 1 ? cos 2 x 1 ? 1 ? 2 sin 2 x ? ? ? sin 2 x. 2 2 又∵当x∈[0,π ]时,sin x≥0,∴对任意x∈[0,π ],
1 ? cos 2 x ? sin x, 因此p3是真命题. 2 π π 当sin x=cos y,即sin x ? sin( ? y )时, x ? 2k π ? ? y, 2 2 π 即x ? y ? 2k π? ( k ? Z), 故p4为 假 命 题 . 2 答案 p1,p4

均有

2.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若 ? p是 ? q的 充分条件,则实数a的取值范围是_________. -1≤a≤6 解析
?

p:-4<x-a<4? a-4<x<a+4, ?
?

q:(x-2)(3-x)>0 ? ?2<x<3. 又 p是 q的充分条件, 即 ? p ?? q, 它的等价命题是q? p, ?
?a ? 4 ? 2, 所以 ? 解得-1≤a≤6. ?a ? 4 ? 3,

3.命题p:0不是自然数;命题q: 2 是无理数,则在命题 “p或q”、“p且q”、“非p”、“非q”中,真命
题是________________. “p或q”,“非p” 解析 p假,q真,“p或q”为真,“p且q”为假,“非 p”为真,“非q”为假.

4.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是
__________________. 存在x∈R,x3-x2+1>0 解析 题目中命题的意思是“对任意的x∈R,x3-x2 +1≤0都成立”,要否定它,只要能找到至少一个x, 使得x3-x2+1>0即可,故命题“对任意的x∈R,x3-x2+ 1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1>0”.

典型例题
∧q”、“
?

深度剖析

【例1】分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p p”形式的命题的真假. (1)p:3是9的约数,q:3是18的约数;
(2)p:菱形的对角线相等,q:菱形的对角线互相垂直;

(3)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同, q:方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等; (4)p:π 是有理数,q:π 是无理数. 分析 由含逻辑联结词“或”“且”“非”的命 题的形式及其真值表直接判断.



(1)∵p是真命题,q是真命题,

∴p∨q是真命题,p∧q是真命题, ? p是假命题. (2)∵p是假命题,q是真命题,

∴p∨q是真命题,p∧q是假命题, ? p是真命题.
(3)∵p是假命题,q是假命题, ∴p∨q是假命题,p∧q是假命题, ? p是真命题. (4)∵p是假命题,q是真命题, ∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,
?

p是真命题.

跟踪练习1

(2010·南通模拟)分别指出由下列命题

构成的“p∨q”、 “p∧q”、“ ? p”形式的命 题的真假. (1)p:4∈{2,3},q:2∈{2,3}; (2)p:1是奇数,q:1是质数;
? (3)p:0∈?,q:{x|x2-3x-5<0}?R; ?

(4)p:5≤5,q:27不是质数;

(5)p:不等式x2+2x-8<0的解集是{x|-4<x<2},
q:不等式x2+2x-8<0的解集是{x|x<-4或x>2}.



(1)∵p是假命题,q是真命题,

∴p∨q为真命题,p∧q为假命题, ? p为真命题. (2)∵1是奇数,∴p是真命题, 又∵1不是质数,∴q是假命题, ∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,
?

p为假命题.

(3)∵ 0 ? ? ??,∴p为假命题,
又∵x2-3x-5<0,
3 ? 29 3 ? 29 ∴ ? x? , 2 2 3 ? 29 3 ? 29 2-3x-5<0}= { x | ? x? } ? R成立. ∴{x|x 2 2

∴q为真命题. ∴p∨q为真命题,p∧q为假命题, ? p为真命题.

(4)∵p:5≤5为真命题,q:27不是质数为真命题,
∴p∨q为真命题,p∧q为真命题,
? p为假命题.

(5)∵x2+2x-8<0,
∴(x+4)(x-2)<0,即-4<x<2, ∴x2+2x-8<0的解集为{x|-4<x<2}, ∴命题p为真命题,q为假命题. ∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,
? p为假命题.

【例2】写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:?x∈R,x2-x+ ? (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0; ? (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 分析 这四个命题中,p、q是全称命题,r、s是存在 性命题. 全称命题p:?x∈M,p(x), ? 它的否定 ? p:?x∈M, ? 它的否定 ? q:?x∈M, ?
?

1 ≥0; 4

p(x). q(x).

存在性命题q:?x∈M,q(x), ?
?



4 1 1 这是由于?x∈R,x 2 ? x ? ? ( x ? )2 ? 0 ? 4 2

(1)

? p:?x∈R,x2-x+ 1

?

<0.(假)

(2) ? q:至少存在一个正方形不是矩形.(假)
(3)
?

r:?x∈R,x2+2x+2>0.(真) ?

这是由于?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立. ? (4)
?

s:?x∈R,x3+1≠0.(假) ?

这是由于x=-1时,x3+1=0.

跟踪练习2

(2010·镇江调研)指出下列命题中,哪

些是全称命题,哪些是存在性命题,并判断真假: (1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0; (2)对任意实数x1,x2,若x1<x2,则tan x1<tan x2; (3)?T∈R,使|sin(x+T)|=|sin x|; ? (4)?x∈R,使x2+1<0. ?



(1)(2)是全称命题,(3)(4)是存在性命题.

(1)∵ax>0(a>0,a≠1)恒成立, ∴命题(1)是真命题. (2)存在x1=0,x2=π ,x1<x2,但tan 0=tan π , ∴命题(2)是假命题. (3)y=|sin x|是周期函数,π 就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题.

(4)对任意x∈R,x2+1>0.
∴命题(4)是假命题.

【例3】 (2009·辽宁改编)下列4个命题: p1: ?x ? (0,?? ), ( 1 ) x ? ( 1 ) x ; 2 3 p2: ?x ? (0,1), log 1 x ? log 1 x;
2 3

p3:?x ? (0,??), ( 1 ) x ? log 1 x; 2 2 p4: ?x ? (0, 1 ), ( 1 ) x ? log 1 x. 3 3 2 其中的真命题是______.

解析
当x ?

当x∈(0,+∞)时恒有 ( ) x ? ( ) x , 故p1为假;
1 1 1 时, log1 ? log1 , 故p2为真; 2 2 3 2 2

1 2

1 3

1 1 1 1 故p 为假; 2 当x ? 时, ( ) ? log1 , 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 由 图 象 可 知 当x ? 时, ) ? log1 , , ( 3 3 3 2 1 1 x 所 以 对 x ? (0, ), ( ) ? log1 x , ? 3 2 3

故p4为真.
答案 p2,p4

? 跟踪练习3 已知命题p:?x∈R,使tan x=1,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论:

①命题“p∧q”是真命题;

②命题“p∧ ? q”是假命题;
③命题“ ? p∨q”是真命题; ④命题“ 解析
?

p∨

?

q”是假命题.

①②③④ 其中正确的是_________(填序号).
命题p:?x∈R,使tan x=1为真命题, ? 命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}为真命题. ∴①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧ ④命题“
? ? q”是假命题;

③命题“ ? p∨q”是真命题; p∨ ? q”是假命题.

【例4】(14分)已知两个命题r(x):sin x+cos x>m,
s(x):x2+mx+1>0.如果对?x∈R,r(x)与s(x)有且仅 ? 有一个是真命题.求实数m的取值范围.
? 分析 由已知先求出对?x∈R,r(x),s(x)都是真

命题时m的范围,再由要求分情况讨论出所求m的

范围.
解题示范 解 ∵sin x+cos x= 2 si n (x ? )≥-2,
π 4

[2分]

∴当r(x)是真命题时,m< ? 2 . 又∵对?x∈R,s(x)为真命题, ?

即x2+mx+1>0恒成立,

∴Δ =m2-4<0,∴-2<m<2.
∴当r(x)为真,s(x)为假时,
?m ? ? 2 ? 则?m ? ?2 , 解 得m ? ?2. ?m ? 2 ?

[4分]

[6分]

当r(x)为假,s(x)为真时,
?m ? ? 2 则? 解 得 ? 2 ? m ? 2, ?? 2 ? m ? 2

[10分]

综上,实数m的取值范围是m≤-2或 ? ≤m<2. 2 [14分]

跟踪练习4

已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等

的负实根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若 “p或q”为真,“p且q”为假,求m的取值范围.
?Δ ? m2 ? 4 ? 0 解 p: ? ? m ? 2. ?m ? 0 q:Δ =16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,

因为“p或q”为真,“p且q”为假, ∴p、q中有一真一假.

①若p真q假,
?m ? 2 ?m ? 2 则? 2 ?? ? m ? 3. ?m ? 4m ? 3 ? 0 ?m ? 1或m ? 3 ②若q真p假, ?m 2 ? 4m ? 3 ? 0 ?1 ? m ? 3 则? ?? ? 1 ? m ? 2. ?m ? 2 ?m ? 2 综上所述,满足条件的m的取值范围为1<m≤2或m≥3.

思想方法 感悟提高
高考动态展望
高考中以考查推理能力为重点,一般不会单独命题, 经常与其他知识结合在一起,在知识的交汇点处命题. 全称量词与存在量词作为新增内容,很有可能在填空 题中出现.

方法规律总结
1.常见的全称量词有:“所有的”、“任意一个”、
“一切”、“每一个”、“任给”;常见的存在量 词有:“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、 “有一个”、“某个”、“有的”等. 2.同一个全称命题、存在性命题,由于自然语言的不 同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵 活地选择.

命题

全称命题“?x∈A, ? p(x)” ①对所有的x∈A,p(x) 成立 ②对一切x∈A,p(x) 成立 ③对每一个x∈A,p(x) 成立 ④任选一个x∈A,使p(x) 成立 ⑤凡x∈A,都有p(x) 成立

存在性命题“?x∈A, ? p(x)” ①存在x∈A,使p(x) 成立 ②至少有一个x∈A,使 p(x)成立 ③对有些x∈A,使p(x) 成立 ④对某个x∈A,使p(x) 成立 ⑤有一个x∈A,使p(x) 成立

表述 方法

定时检测
一、填空题 1.(2009·天津改编)命题“存在x0∈R, 2 x0 ≤0”的 否定是_________________. 对任意的x∈R,2x>0

解析

命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”.

2.(2010·镇江模拟)“△ABC中,若∠C=90°,则

∠A,∠B都是锐角”的否命题是________________ △ABC中,若∠C
_____________________________. ≠90°,则∠A、∠B不都是锐角

3.(2009·苏南四市模拟)命题“?x∈R,x≤1或x2>4” ?
的否定是___________________. ?x ? R, x ? 1且x 2 ? 4 解析 命题. 已知命题为存在性命题,故其否定应是全称

4.(2010·石家庄模拟)已知m、n是不同的直线,α 、
β 是不重合的平面. 命题p:若α ∥β ,m?α ,n?β ,则m∥n; ? ? 命题q:若m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则α ∥β .
下面的命题中,①p∨q;②p∧q;③p∨ ? p;④
?

p∧q.

真命题的序号是_____(写出所有真命题的序号). ①④
解析 ∴ ?
?

∵命题p是假命题,命题q是真命题. p是真命题,
?

?

q是假命题,
?

∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p∨ p∧q是真命题.

q是假命题,

5.(2009·济宁模拟)已知命题p:?x∈R,使sin x= ?
5 ;命题q:?x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论: ? 2

①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ? q”是假
命题;③命题“
? ?

p∨q”是真命题;④命题“

?

p∨

q”是假命题.其中正确的是_______. ②③ 因p为假命题,q为真命题, p是真命题,
?

解析 故 ?
? ?

q是假命题;

所以p∧q是假命题,p∧ ? q是假命题,
p∨q是真命题.

6.(2009·潍坊模拟)下列命题中真命题的个数为____. 2 2-x+ 1 ≥0; ①p:?x∈R,x ? 4 ②q:所有的正方形都是矩形;

③r:?x∈R,x2+2x+2≤0; ? ④s:至少有一个实数x,使x2+1=0.
1 1 2 x ? x ? ? ( x ? ) ? 0, 故①是真命题; 4 2 x2+2x+2=(x+1)2+1>0,故③是假命题;易知②是真命

解析

2

题,④是假命题.

7.(2010·江西三校联考)设函数f(x)的定义域为R,有
下列三个命题: ①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M 是函数f(x)的最大值; ②若存在x0∈R,使得对任意的x∈R,且x≠x0,有f(x)

<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值;
③若存在x0∈R,使得对任意的x∈R,有f(x)≤f(x0), 则f(x0)是函数f(x)的最大值. 这些命题中,真命题的个数是___. 2 解析 ②③符合最大值的定义,它们是正确的,而① 是错误的.

8.(2010·苏州模拟)已知命题p:?x∈[1,2],x2-a ?
≥0;命题q:?x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题“p且q” ? 是真命题,则实数a的取值范围为____________. a≤-2或a=1 解析 因为“p且q”是真命题, 所以命题p、q均为真命题,

由于?x∈[1,2],x2-a≥0, ?
所以a≤1;又因为?x∈R,x2+2ax+2-a=0, ? 所以Δ =4a2+4a-8≥0, 即(a-1)(a+2)≥0,所以a≤-2或a≥1, 综上可知:a≤-2或a=1.

9.(2009·姜堰中学高三综合练习)已知实数a满足
1<a<2,命题p:函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函 数,命题q:“|x|<1”是“x<a”的充分不必要条 件,则下面说法正确的是____. ① ①p或q为真命题;②p且q为假命题;③
?

p且q为真

命题;④
解析

?

p或

?

q为真命题.

∵1<a<2,∴y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函 |x|<1,

数,即p为真. 又由1<a<2,可得x<a 又|x|<1? -1<x<1? x<a,即q为真. ? ?

二、解答题
10.(2010·徐州模拟)写出下列命题的否命题及命题 的否定形式,并判断真假: (1)若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根; (2)若x、y都是奇数,则x+y是奇数;

(3)若abc=0,则a、b、c中至少有一个为零.
解 (1)否命题:若m≤0,则关于x的方程x2+x-m=0 无实数根,是假命题. 命题的否定:若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0无实 数根,是假命题.

(2)否命题:若x、y不都是奇数,则x+y不是奇数,是假 命题.

命题的否定:若x、y都是奇数,则x+y不是奇数,是真
命题.
(3)否命题:若abc≠0,则a、b、c全不为0,是真命题.
命题的否定:若abc=0,则a、b、c全不为0,是假命题.

11.(2009·江苏盐城模拟)已知命题p:“?x∈[1, ?
1 2 2], x -ln x-a≥0”与命题q:“?x∈R,x2+2ax-8? 2

6a=0”都是真命题,求实数a的取值范围.
解 ∵?x∈[1,2], 1 x2-ln x-a≥0, ?
2

1 2 ∴a≤ x -ln x,x∈[1,2], 2 1 2 令f(x)= x -ln x,x∈[1,2], 2 1 则f′(x)=x- , x

∵f′(x)=x-

1 >0(x∈[1,2]), x

∴函数f(x)在[1,2]上是增函数.
? f ( x )min ? 1 1 ,? a ? . 2 2

又由命题q是真命题得Δ =4a2+32+24a≥0,

解得a≥-2或a≤-4.
因为命题p与q均为真命题,
1 所以a的取值范围为(-∞,-4]∪[-2, ]. 2

12.(2010·镇江调研)已知命题p:lg(x2-2x-2)≥0,
命题q:|1解 x的取值范围.
x |<1.若p是真命题,q是假命题,求实数 2

由lg(x2-2x-2)≥0,得x2-2x-2≥1,

∴x≥3或x≤-1; ∴0<x<4.
x x 由 | 1 ? |? 1, ? 1 ? 1 ? ? 1, 得 2 2

∵命题q为假,∴x≤0或x≥4. 则{x|x≥3或x≤-1}∩{x|x≤0或x≥4} ={x|x≤-1或x≥4}.
∴满足条件的实数x的取值范围为(-∞,-1]∪[4,+∞).
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