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高中北师大版数学必修三 第一章课时作业7


一、选择题 1.若样本 1+x1,1+x2,1+x3,?,1+xn 的平均数是 10,方差为 2,则对于样本 2+x1,2+ x2,?,2+xn,下列结论正确的是( A.平均数为 10,方差为 2 B.平均数为 11,方差为 3 C.平均数为 11,方差为 2 D.平均数为 12,方差为 4 1 【解析】 由已知n(1+x1+1+x2+?+1+xn)=10, 1 则n(2+x1+2+x2+?+2+xn) 1 =n(1+x1+1+x2+?+1+xn+n) 1 =n(1+x1+1+x2+?+1+xn)+1=10+1=11, 即 2+x1,2+x2,?,2+xn 的平均数是 11. 1 又∵n[(1+x1-10)2+(1+x2-10)2+?+(1+xn-10)2]=2. 1 ∴n[(2+x1-11)2+(2+x2-11)2+?+(2+xn-11)2]=2,即 2+x1,2+x2,?,2+xn 的方差 为 2.故选 C. 【答案】 C 2.甲、乙、丙三位同学分别在 10 次相同的数学测验中,其数学成绩的方差分别是 s 甲= 3.2,s 乙=0.37,s 丙=2.5,则数学成绩最稳定的是( A.甲 C.丙 B.乙 D.不确定 ) )

【解析】 ∵s 乙<s 甲,s 乙<s 丙,∴乙同学的数学成绩最稳定. 【答案】 B 3.(2012· 湖北高考)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表:

分组 频数

[10,20) 2

[20,30) 3

[30,40) 4 )

[40,50) 5

[50,60) 4

[60,70) 2

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( A.0.35 C.0.55

B.0.45 D.0.65

【解析】 由表知[10,40)的频数为 2+3+4=9, 9 所以样本数据落在区间[10,40)的频率为20=0.45. 【答案】 B 4.为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校 100 名高中男生的体重情况,根据 所得数据画出样本的频率分布直方图如图 1-6-3 所示.根据此图,估计该校 2 000 名高中男 生中体重大于 70.5 千克的人数为( )

图 1-6-3 A.300 C.420 B.360 D.450

【解析】 由图得 100 名高中男生体重大于 70.5 千克的频率是(0.04+0.034+0.016)×2= 0.18. 故该校 2 000 名男生中体重大于 70.5 千克的频率是 0.18,人数为 2 000×0.18=360. 【答案】 B 5.对“小康县”的经济评价标准:①年人均收入不小于 7 000 元;②年人均食品支出不 大于收入的 35%.某县有 40 万人口,年人均收入如下表所示,年人均食品支出如图 1-6-4 所 示.则该县( )

年人均 收入(元)

0

2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

16 000

人数 (万人)

6

3

5

5

6

7

5

3

图 1-6-4 A.是小康县 B.达到标准①,未达到标准②,不是小康县 C.达到标准②,未达到标准①,不是小康县 D.两个标准都未达到,不是小康县. 【解析】 由图表可知年人均收入为 (2 000×3 + 4 000×5 + 6 000×5 + 8 000×6 + 10

000×7+12 000×5+16 000×3)÷ 40=7 050(元)>7 000 元,达到了标准①;年人均食品支出为 (1 400×3+2 000×5+2 400×13+3 000×10+3 600×9)÷ 40=2 695(元), 则年人均食品支出占 2 695 收入的7 050×100%≈38.2%>35%,未达到标准②. 所以不是小康县. 【答案】 B 二、填空题 6.(2012· 山东高考)如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样 本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5, 22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于 22.5 ℃的城 市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5 ℃的城市个数为________.

图 1-6-5

【解析】 最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22, 总城市数为 11÷ 0.22=50, 最右面矩形面积为 0.18×1=0.18,50×0.18=9. 【答案】 9 7.某学校高一(5)班,在一次数学测验中,全班数学成绩的平均分为 91 分,其中某生得 分为 140 分,是该班的最高分.若不包括该生的成绩,其他同学在这次测验中的平均分为 90 分,则该班学生的总人数为______. 【解析】 设该班共有学生 n 人,每人的数学成绩分别为 x1,x2,?,xn, 其中 xn=140, x1+x2+?+xn-1+140 由题意知 =91, n x1+x2+?+xn-1 =90, n-1 ∴90(n-1)+140=91n, 解得 n=50. 【答案】 50 8.某医院急救中心关于病人等待急诊的记录如下表:

等待时间 (分钟) 频数 [0,5) 4 [5,10) 8 [10,15) 5 [15,20) 2 [20,25] 1

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 x =________,病人等待时间标准差 的估计值 s=___________________________________________. 【解析】 1 病人平均等待时间的估计值 x = 20 (2.5×4 + 7.5×8 + 12.5×5 + 17.5×2 +

1 22.5×1)=9.5(分钟),s2=20[(2.5-9.5)2×4+(7.5-9.5)2×8+(12.5-9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2 +(22.5-9.5)2×1]=28.5,∴s= 28.5≈5.34(分钟). 【答案】 9.5 分钟 三、解答题 9.(2013· 安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机 抽样,从这两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数 5.34 分钟

据的茎叶图如图.

图 1-6-6 (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计 甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格); (2)设甲、 乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x 1,x 2, 估计 x 1- x 2 的值. 【解】 (1)设甲校高三年级学生总人数为 n. 30 由题意知 n =0.05, 解得 n=600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5,据此估计甲校高三年级这次联考数学 5 5 成绩的及格率为 1-30=6. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为 x′1 , x′2 . 根据样本茎叶图可知 30( x′1 - x′2 )=30 x′1 -30 x′2 =(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+ 2+92=15. 因此 x′1 - x′2 =0.5. 故 x 1- x 2 的估计值为 0.5 分. 10. 某中学举行电脑知识竞赛, 现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图 1-6-7 所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别 是 0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.

图 1-6-7 求:(1)成绩的众数、中位数; (2)平均成绩. 【解】 (1)众数是最高矩形的中间值的横坐标, ∴众数为 65. 中位数是数据的中间值.由直方图知中位数应在 60~70 段内.设其底边为 x,高为 0.04, ∴x· 0.04=0.2, ∴x=5.故中位数应为 60+5=65. (2)平均数为 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67. 11.为了估计一次性木质筷子的用量,2011 年从某县共 600 家高、中、低档饭店中抽取 10 家进行调查,得到这些饭店每天消耗的一次性筷子的数据如下(单位:盒): 0.6,3.7,2.2,1.5,2.8,1.7,1.2,2.1,3.2,1.0. (1)通过对样本数据的计算, 估计该县 2011 年共消耗了多少盒一次性筷子?(每年按 350 个 营业日计算) (2)2012 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式做了抽样调查, 调查结果是 10 家 饭店平均每家每天使用一次性筷子 2.42 盒,求该县 2012 比 2011 年一次性木质筷子用量增加 的百分率; (3)假如让你统计你所在省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量,如何利用统计知识 去做?简要地说明你的做法. 【解】 (1)10 家饭店每天共消耗 20 盒, 则估计 600 家饭店每天共消耗 20×60=1 200(盒), 从而可估计 2011 年(350 天)共可消耗一次性筷子 1 200×350=420 000(盒). (2) 依题意知, 2012 年比 2011 年一次性木筷用量增加值为 (2.42 - 2)×600×350 = 88 200(盒). 88 200 ∴从 2011 年到 2012 年增加的百分率为420 000=21%.

(3)先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样本),再从这些县(市)中采用分层抽样 的方法抽取若干家饭店,统计一次性木质筷子用量的平均数,从而估计总体平均数,再进一步 计算所消耗的木材总量.


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