当前位置:首页 >> 数学 >>

平面向量中的三角形四心问题


平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念, 是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在 给出结论及证明结论的过程中, 可以体现数学的对称性与推论的 相互关系。

一、重心(barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。 重心到顶点的距离与 重心到对边中点的距离之比为 2:1。在重心确定

上,有著名的 帕普斯定理。

结论 1:

若G为?ABC所在平面内一点,则 GA ? GB ? GC ? 0 ? G是三角形的重心
证明:设BC中点为D,则2GD ? GB ? GC GA ? GB ? GC ? 0 ? ?GA ? GB ? GC ? ?GA ? 2GD, 这表明,G在中线AD上 同理可得G在中线BE, CF上 故G为?ABC的重心

1

结论 2:
1 若P为?ABC所在平面内一点,则 PG ? ( PA ? PB ? PC) 3 ? G是?ABC的重心 1 证明: PG ? ( PA ? PB ? PC) ? ( PG ? PA) ? ( PG ? PB) ? ( PG ? PC) ? 0 3 ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G是?ABC的重心

二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论 3:

若H为?ABC所在平面内一点,则 HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ? H是?ABC的垂心

证明: HA ? HB ? HB ? HC ? HB ? ( HA ? HC) ? 0 ? HB ? AC ? 0 ? HB ? AC 同理,有HA ? CB, HC ? AB 故H为三角形垂心

2

结论 4:
若H为?ABC所在平面内一点,则 HA ? BC ? HB ? AC ? HC ? AB ? H是?ABC的垂心 证明:由HA ? BC ? HB ? CA 得, HA ? ( HB ? HC ) 2 ? HB ? ( HC ? HA) 2 ? HB ? HC ? HC ? HA 同理可证得, HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA 由结论3可知命题成立
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。

结论 5:
若O是?ABC所在平面内一点,则 OA ? OB ? OC ? O是?ABC的外心 证明:由外心定义可知 命题成立

结论 6:

若O是?ABC所在平面内一点,则 (OA ? OB) ? BA ? (OB ? OC) ? CB ? (OC ? OA) ? AC ? O是?ABC的外心

3

证明: ? (OA ? OB) ? BA ? (OA ? OB)(OA ? OB) ? OA ? OB ? (OB ? OC) ? CB ? OB ? OC (OC ? OA) ? AC ? OC ? OA
2 2 2 2 2 2 2

2

2

故 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? OA ? OB ? OC 故O为?ABC的外心

2

2

2

四、内心(incenter) 三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的 圆心。

结论 7:
若P为?ABC所在平面内一点,则 ? ? ? ? ? ? ? AB AC ? ? BA BC ? ? CA CB ? OP ? OA ? ?1 ? ? ? ? ? ? OB ? ? 2 ? ? ? OC ? ?3 ? ? ( ? ? 0) ? AB AC ? ? BA BC ? ? CA CB ? ? ? ? ? ? ? ? P是?ABC的内心

4

证明:记AB, AC方向上的单位向量分别 为e1 , e2 ? ? ? AB AC ? OP ? OA ? ?1 ? ? ? ? AP ? ?1 (e1 ? e2 ) ? AB AC ? ? ? 由平行四边形法则知, (e1 ? e2 )在AB, AC边夹角平分线上 即P在?A平分线上 同理可得,P在?B, ?C的平分线上 故P为?ABC的内心

结论 8:

若P是?ABC所在平面内一点,则 a PA ? b PB ? c PC ? 0 ? P是?ABC的内心
证明:不妨设PD ? ? PC a PA ? b PB ? c PC ? 0 ? a( PD ? DA) ? b( PD ? DB) ? c PC ? 0 ? (?a ? ?b ? c) PC ? (a DA ? b DB) ? 0 由于PC与DA, DB不共线,则

?a ? ?b ? c ? 0, a DA ? b DB ? 0
即 DA DB ? b a

由角平分线定理, CD是?ACB的平分线 同理可得其他的两条也 是平分线 故P是?ABC的内心

5


相关文章:
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念, 是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在 给出结论及证明...
平面向量四心问题(最全)
,由向量模的 点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合 三角形的“四心”与平面向量 向量向量本身是一个几何概念,具有代数形式和...
平面向量与三角形“四心”的应用问题
平面向量三角形"四心"的应用问题 平面向量三角形"四心"的应用问题三角形湖南省箴言中学 刘光明 三角形的外心,内心,重心及垂心,在高考中的考查是比较棘手...
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档平面向量中的三角形四心问题_数学_自然科学_专业资料。 ...
高考专题:平面向量中的三角形“四心”问题题型总结
高考专题:平面向量中的三角形四心问题题型总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题:平面向量中三角形“四心问题题型总结在三角形中, “四心”是一组...
平面向量与三角形“四心”的应用问题
平面向量与三角形四心”的应用问题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量中向量与三角形中的四心结合问题的应用,或许关心这方面的同志及朋友有些用平面...
数学(文)平面向量中的三角形“四心”问题
数学(文)平面向量中的三角形四心问题_数学_高中教育_教育专区。平面向量中的三角形四心问题 在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表达形式...
阅读材料平面向量中的三角形“四心”问题
阅读材料平面向量中的三角形四心问题_英语_小学教育_教育专区。平面向量中的三角形四心问题阅读材料:平面向量中的三角形四心问题在三角形中,“四心...
平面向量三角形四心(有详解)
平面向量三角形四心(有详解)_数学_高中教育_教育专区。平面向量与三角形“四心”的应用问题三角形的外心,内心,重心及垂心,在高考中的考查是比较棘手的问题,先课...
数学(理)专家讲坛 平面向量中的三角形“四心”问题
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 数学(理)专家讲坛 平面向量中的三角形四心问题 高三,高考,数学高三...
更多相关标签:
平面向量与三角形四心 | 平面向量与解三角形 | 平面向量三角形法则 | 平面向量与三角形五心 | 平面向量三角形几心 | 平面向量的三角形法则 | 平面向量最值问题 | 平面向量四心问题 |