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高考数学复习学案(第8讲):函数的奇偶性与周期性


高考数学复习学案 8:函数的奇偶性与周期性 高考要求: 了解函数奇偶性的概念, 掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及 图象特征, 并能判断和证明函数的奇偶性, 能利用函数的奇偶性解决问题 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 知识点归纳: 1.函数的奇偶性的定义; 2.奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于轴对称,奇函数的

图象关于原点对称; 3.为偶函数 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 4.若奇函数的定义域包含,则 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 5.判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意 使定义域不受影响; 6.牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; 7.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: ,w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 8.设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 1.判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价 形式:f((x)= (f(x)(f((x) f(x)=0; 2.讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点; 3.若奇函数的定义域包含 0, 则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数” 是"f(0)=0"的非充分非必要条件; 4.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判 断函数的奇偶性 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 5.若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为函数 f(x)的周期,一 般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义 域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称这是函数 具备奇偶性的必要条件稍加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定 义域内的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件, 调动相关知识, 选择恰当 的方法解决问题,是对学生能力的较高要求 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (5)函数的周期性 定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 例: (1)若函数在 R 上是奇函数,且在上是增函数,且 则①关于 对称;②的周期为 ; ③在(1,2)是 函数(增、减) ; ④=,则 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (2)设是定义在上,以 2 为周期的周期函数,且为偶函数,在区间[2,3]上,=, 则= w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 题型讲解:

1.对函数单调性和奇偶性定义的理解 例 4.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶 函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确 命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析: 偶函数的图象关于 y 轴对称, 但不一定相交, 因此③正确, ①错误 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中的(3),故 ④错误,选 Aw.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 2.复合函数的性质 复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的, 因变量 y 通过中间变量 u 与自变量 x 建立 起函数关系,函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律: (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数 y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或[g(n), g(m)])上也是单调函数,那么 若 u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数 y=f[g(x)]为增函数;若 u=g(x),y= f(u)增减性不同, 则 y=f[g(x)]为减函数 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (2)奇偶性规律 若函数 g(x), f(x), f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的, 则 u=g(x), y=f(u)都是奇函数时, y=f[g(x)] 是奇函数; u=g(x), y=f(u)都是偶函数, 或者一奇一偶时, y= f[g(x)]是偶函数 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 例 6.甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h,已知汽车 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)的平 方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 分析:(1)难度不大,抓住关系式:全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间,而全 程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m

故所求函数及其定义域为 但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm/h,所以(2)的解决需要 论函数的增减性来解决 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m

由于 vv>0,v-v>0,并且 又 S>0,所以即

则当 v=c 时,y 取最小值 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m

说明:此题是 1997 年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过 c,因而求最值的方法 也就不完全是常用的方法,再加上字母的抽象性,使难度有所增大 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 例 1.判断下列各函数的奇偶性: (1) ; (2) ; (3)w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 解: (1)由,得定义域为,关于原点不对称,∴为非奇非偶函数 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (2)由得定义域为, ∴, ∵ ∴为偶函数 (3)当时, ,则, 当时, ,则, 综上所述,对任意的,都有,∴为奇函数 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 例 2.已知函数对一切,都有, (1)求证:是奇函数; (2)若,用表示 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 解: (1)显然的定义域是,它关于原点对称在中, 令,得,令,得, ∴,∴,即, ∴是奇函数 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (2)由,及是奇函数, 得 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 例 3.(1)已知是上的奇函数,且当时, , 则的解析式为 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (2) ( 《高考计划》考点 3“智能训练第 4 题” )已知是偶函数, ,当时,为增函数,若, 且,则 ( )

例 4.设为实数,函数,w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (1)讨论的奇偶性; (2)求 的最小值 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 解: (1)当时, ,此时为偶函数; 当时, , , ∴ 此时函数既不是奇函数也不是偶函数 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m (2)①当时,函数, 若,则函数在上单调递减,∴函数在上的最小值为; 若,函数在上的最小值为,且 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m ②当时,函数, 若,则函数在上的最小值为,且; 若,则函数在上单调递增,∴函数在上的最小值 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 综上,当时,函数的最小值是,当时,函数的最小值是,

当,函数的最小值是 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m

例 4.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数又知在上是一次函数,在上是二 次函数,且在时函数取得最小值 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m ①证明: ;②求的解析式;③求在上的解析式 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 解:∵是以为周期的周期函数,∴, 又∵是奇函数,∴, ∴w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m ②当时,由题意可设, 由得,∴, ∴w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m ③∵是奇函数,∴, 又知在上是一次函数,∴可设,而, ∴,∴当时, , 从而当时, ,故时,w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m ∴当时,有,∴w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 当时, ,∴ ∴w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 学生练习 1.函数 f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数,则 b= w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 2.函数 F(x)=(1+2/(2x(1))f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x) ( A ) (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数,又是偶函数 (D)非奇非偶函数 3.已知函数 f(x)=x2+lg(x+),若 f(a)=M,则 f((a)等于 ( A ) (A)2a2(M (B)M(2a2 (C)2M(a2 (D)a2(2M 5.若对正常数 m 和任意实数 x,等式成立,则下列说法正确的是 ( ) A. 函数是周期函数,最小正周期为 2m B. 函数是奇函数,但不是周期函数 C. 函数是周期函数,最小正周期为 4 m D. 函数是偶函数,但不是周期函数 (利用周期函数的定义证明答案:C) 4. 已知 f(x) 是奇函数,且当 x((0,1) 时, f(x)=ln(1/(1+x)), 那么当 x(((1,0) 时, f(x)= ln(1(x) w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 5.试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 6.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(1(cosx+sinx)/(1+cosx+sinx) (非奇非偶函数) ;(2)f(x)=x/(ax(1)+x/2 (a>0 且 a≠1)(偶函数) (3)f(x)=(偶函数)说明奇偶性的对称条件和分段函数奇偶性的判别方法 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 7.已知 f(x),g(x)都是奇函数, f(x)>0 的解集是(a2,b),g(x)>0 的解集是(a2/2,b/2),则 f(x)g(x)>0 的解 集是 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 8.定义在区间(((,+()的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+()上的图象与 f(x)的图象重

合,设 a>b>0,给出下列不等式①f(b)(f((a)>g(a)(g((b);②f(b)(f((a)<g(a)(g((b); ③ f(a)(f((b)>g(b)(g((a); ④ f(a)(f((b)<g(b)(g((a) 其 中 正 确 不 等 式 的 序 号 是 w.w.w.j.k.z.y.w.c.o.m 9.(1)已知函数 f(x)的周期为 4,且等式 f(2+x)=f(2(x)对一切 x(R 恒成立,求证 f(x)为偶函数; (2)设奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x+4)=f(x),当 x([4,6]时,f(x)=2x+1,求 f(x)在区间[(2,0]上的表 达式 (((2(x+4+1) ((2(x(0))

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