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必修1课件1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)


§1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)

问题提出

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到 了以下一些数据:
时间间 隔 t 记忆量y (百分比) 8-9 1天 刚记忆 20分 60分 完毕 钟后 钟后 小时后 后 100 58.2 44.2 35.8 2天 后 6天 一

个 后 月后

33.7 27.8 25.4 21.1

以上数据表明,记忆量y是时间 100 80 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 60 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 40 20 o 斯遗忘曲线”,如图.

y

1

2

3

t

y
100 80

60 40
20

o

1

2

3

t

思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数 值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后 如何对待刚学过的知识? 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下 降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?

知识探究(一)

考察下列两个函数:

(1) f ( x) ? x
y

(2) f ( x) ? x 2 ( x ? 0)
y

o

x o x

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征? 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升, 那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y 的变化情况如何?

⒉ 引入:从函数y=x2的图象看到:图象在y轴的 右侧部分是上升的,也就是说,当在区间[0,+ ? ) 上取值时,随着x的增大,相应的y值也随着增大, 即如果取x1,x2∈[0,+ ? ),得到y1=f(x1),y2=f(x2), 那么当x1<x2时,有f(x1)<f(x2).这时我们就说函数 y=f(x)=x2在[0,+ ? )上是增函数.
y

y ? x2

f(x1) o

f(x2)

x

1

x x
2

y

f (x )

f ( x1 ) x1
图3

f ( x2 ) x2

x

思考3:如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上 的图象,对于该区间上任意两个自变量x1和x2, 当x1<x2时,f(x1) 与f(x2)的大小关系如何? 思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数, 那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”?

1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定 义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 ,x 2 , 当x1 <x 2时,都有f(x1 )<f(x2 ),那么就说f(x)在区间 D上是增函数(increasing function).
y
y

f (x )

f (x )

f ( x1 ) x1
图3

f ( x2 ) x2

f ( x1 ) x1

f ( x2 ) x2
x

x

图4

思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

1.增函数与减函数 定义:对于函数y=f(x)的定义域I内某个区间上的任 意两个自变量的值x1,x2, ⑴若当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则说在这个区间上 是增函数; ⑵若当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则说在这个区间上 是减函数. y y
y = f (x)
f(x2) O

y = f (x)

f(x1) f(x2)
f(x1)

a x1

x b
2

x

a x

1

O x2

b

x

⒉ 单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则 就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一 区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x) 是这一区间上的单调函数. 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函 数的图象是下降的.

说明: ⑴函数的单调区间是其定义域的子集; ⑵ x1 , x 2应是该区间内任意的两

个实数,忽略需要任意取值这
个条件,就不能保证函数是增 函数(或减函数),例如,图5 中,x1 , x 2 在那样的特定位置 上,虽然使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 但显然此图象表示的函数不是 一个单调函数;

y

f (x )

f ( x1 ) x1
图5

f ( x2 ) x2
x

⑶除了严格单调函数外,还有不严格单调函数,它的 定义类似上述的定义,只要将上述定义中的 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 改为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即可; ⑷定义的内涵与外延: 内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况.
外延:

①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单 调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递 减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象 上升,则为增函数,图象下降则为减函数.

例1.如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一 单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数. 解:函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,

在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.

y

-5

-2

O

1

3

5 x

说明:
函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的 一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有 增减变化,所以不存在单调性问题;另外,中学阶段 研究的主要是连续函数或分段连续函数,对于闭区间 上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区 间上也就单调,因此,在考虑它的单调区间时,包括 不包括端点都可以;还要注意,对于在某些点上不连 续的函数,单调区间不包括不连续点.

k 例2.物理学中的玻意耳定律 p ? (k为正常数 )告诉我 V

们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p 将增大。试用函数的单调性证明之。 证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 取值 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则

V2 ? V1 k k p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ? k V1 V2 VV2 1

作差

变形

由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0 定号

? p(V2 ) ? p(V1 )

就是说,当体积V减少时,压强p将增大.

k 所以,函数 p ? V , V ? (0,?? )是减函数.也 结论

例3 证明函数 f ( x) ? 3x ? 2 在R上是增函数. 证明:设 x1 x1 ,2是R上的任意两个实数,且 x1 ? 设?, x x2 ? (??, ??)且x1 ? x2,则:

x2 则:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (3x1 ? 2) ? (3x2 ? 2)

? x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f f(( x)? 33x? 22 在R上是增函数. ? x) ? x ? 在(-?,+?)上是增函数

? x1 ? x2

? 3( x1 ? x2 )

(1991年全国) 求证:函数f (x) = -x3 + 1在(-∞, + ∞ )上是减函数. 证明: 设x1 ,x2∈R 且 x1 < x2 则 f (x2)-f (x1) =(-x23 + 1) - (-x13 + 1) = x13- x23 = (x1 -x2)(x12 + x1x2 + x22)

1 3 2 2 ? ( x1 ? x2 )[( x1 ? x2 ) ? x2 ] 2 4
∵ x1 <x2 ∴ x1 -x2< 0

1 3 2 2 而( x1 ? x2 ) ? x2 ? 0 2 4

∴f(x1) > f (x2)

∴f(x) = -x3 + 1在(-∞, + ∞)上是减函数.

课堂小结:
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的 单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性, 必须先确定函数的定义域; ⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是: ⑴设

x1 , x 2 是给定区间内的任意两个值,且 x1 ? x2

⑵作差 f ( x1 ) ? f ( x2 )并将此差式变形(要注意变形的程度) ⑶判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负(要注意说理的充分性) ⑷根据 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号确定其增减性.

课堂练习 <<教材>> P.32 书面作业 <<教材>> P.24 习题1.2A组9.10 练习1.2.3.4

例1.证明函数f ( x) ? x ? 1 ? x在其定义域内
2

是减函数.
证明: ∵函数f (x)的定义域为R.
解:∴设x1,x2∈ (-∞,+ ∞) 且x1< x2则:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ? 1 ? x ? 1 ? ( x2 ? x1 )
2 2 2 1

?

x ?x
2 2 2 1

2 1 2 2

x ?1 ? x ?1

? ( x2 ? x1 )

分子有理化是高中数学中的一种常用方法

? ( x2 ? x1 )
? ( x2 ? x1 )

x1 ? x2 ? x ? 1 ? x ? 1
2 1 2 2

x ?1 ? x ?1
2 1 2 2
2 ( x1 ? x12 ? 1) ? ( x2 ? x2 ? 1)

x ?1 ? x ?1
2 1 2 2

? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? 0且 x ? 1 ? x ? 1 ? 0
2 1 2 2

又? x ? 1 ? x ?| x |? x
2 2

? x ? 1 ? x即x ? x ? 1 ? 0
2 2
2 ? x1 ? x12 ? 1 ? 0, x2 ? x2 ? 1 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0,即f ( x2 ) ? f ( x1 )
?函数f ( x) ? x ? 1 ? x在(-?,+?)内单调递减.
2

例2.讨论函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性.

解:∵ f ( x) ?
对称轴 x

x ? 2ax ? 3 ? ( x - a) ? 3 ? a
2 2

2

?a

x?a?a x?a x
y
-2 O 2 x

例2.讨论函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性.

解:∵ f ( x) ?
对称轴 x

x ? 2ax ? 3 ? ( x - a) ? 3 ? a
2 2

2

?a

∴若 a ? ?2 ,则 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内是增函数

f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在(-2,a)内是减函数, 若? 2 ? a ? 2 则
在[a,2)内是增函数. ∴若 a ? 2 ,则 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内是减函数

复合函数单调性的判断
对于函数y=f(u)和u=g(x),如果u=g(x)在区间 u (a,b)上是具有单调性,当 x ? (a, b) 时, ? (m, n), 且y=f(u)在区间(m,n)上也具有单调性,则复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)具有单调性的规律见下表:

y ? f (u )

增↗ 增↗ 减↘ 减↘

减↘ 增↗ 减↘ 减↘ 增↗

u ? g (x)

增↗ y ? f ( g ( x))

以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减” 或“同增异减”

证明:①设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ∵u

? x2

? g (x) 在

( a, b) 上是增函数,

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是增函数, ∴ f [ g( x1 )] ? f [ g( x2 )] 所以复合函数 y

? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b)

上是增函数

证明:②设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ∵u

? x2

? g (x) 在

( a, b) 上是增函数,

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是减函数, ∴ f ( g ( x1 )) ? f ( g ( x2 )) 所以复合函数 y 上是减函数

? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b)

证明:③设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ∵u

? x2

? g (x) 在

( a, b) 上是减函数,

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是增函数, ∴ f ( g ( x1 )) ? f ( g ( x2 )) 所以复合函数 y 上是减函数

? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b)

证明:④设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ∵u

? x2

? g (x) 在

( a, b) 上是减函数,

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上是减函数, ∴ f ( g ( x1 )) ? f ( g ( x2 )) 所以复合函数 y 上是增函数

? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b)

例3.求函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 的值域, 并写出其单调区间 y ? 8 ? 2u ? u 2 和 u ? 2 ? x 2 复合而 解:题设函数由 成的复合函数, 函数 u ? 2 ? x
2

的值域是 (??,2]

在 (??,2] 上 y ? 8 ? 2u ? u 2 ? 9 ? (u ?1)2

的值域是 (??,9]
故函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 的值域是 (??,9]
2

) ? (2 ? x )

2 2

对于函数的单调性,不难知二次函数 y ? 8 ? 2u ? u 2 在区间 (??,1)上是增函数,在区间 [1,??) 上是减函数 二次函数 u ? 2 ? x 2 区间 (??,0) 上是增函数,在区



[0,??)

上是减函数

u ? (??,1) 时, ? x 2 ? (??,1) , 2 当
即 2 ? x 2 ? 1 , ? ?1或x x

?1

u ? [1,??) 时,2 ? x 2 ? [1,??) 当


2 ? x ?1 , ?1 ? x ? 1
2

u u=2- x2

y
y =8+2u- u2

y

y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2
x

x

u

因此,本题应在四个区间 (??,?1) ,[?1,0)

[0,1)

,[1,??) 上考虑

① 当 x ? (??,?1) 时, u ? 2 ? x

2

? (??,1)

而 u ? 2 ? x 2 在 (??,?1)上是增函数,

y ? 8 ? 2u ? u

2

在(??,?1) 上是增函数,

所以,函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 在区间 (??,?1) 上是增函数.

② 当 x ? [?1,0) 时, ? 2 ? x 2 ? [1,??) u
而 u ? 2 ? x 2 在 [?1,0) 上是增函数,

y ? 8 ? 2u ? u
在区间

2

在 [1,??) 上是减函数,

所以,函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2

[?1,0)

上是减函数.

③ 当 x ? [0,1) 时, u
而u ? 2 ? x2 在

? 2 ? x ? (1,??)
2

[0,1) 上是减函数,
( 在 1,??) 上是减函数,

y ? 8 ? 2u ? u
在区间

2

所以,函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2

[0,1) 上是增函数.

x ? [1,??) 时, ? 2 ? x 2 ? (??,1] u ④ 当
而 u ? 2 ? x 2 在 [1,??) 上是增函数,

y ? 8 ? 2u ? u

2



(??,1] 上是减函数,

所以,函数 y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2

在区间 [1,??) 上是减函数.

y ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 综上所述,函数

1 在区间 (??,?1) 、 [0, ) 上是增函数;
在区间 [?1,0) 、

(??,1]

上是减函数.

课堂小结:
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的 单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性, 必须先确定函数的定义域; ⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是: ⑴设

x1 , x 2 是给定区间内的任意两个值,且 x1 ? x2

⑵作差 f ( x1 ) ? f ( x2 )并将此差式变形(要注意变形的程度) ⑶判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负(要注意说理的充分性) ⑷根据 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号确定其增减性.

( x ? 2) 2 4.判断函数y ? 2 在(1, ??)上的单调性. x ? 4x

解法一: 设x1 , x2 ? (1,??)且x1 ? x2
( x2 ? 2)2 ( x1 ? 2)2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? 2 x2 ? 4 x2 x1 ? 4 x1 2 ( x12 ? 4 x1 )( x2 ? 2)2 ? ( x2 ? 4 x2 )( x1 ? 2)2 ? 2 ( x2 ? 4 x2 )( x12 ? 4 x1 ) [(x1 ? 2) 2 ? 4](x2 ? 2) 2 ? [(x2 ? 2) 2 ? 4](x1 ? 2) 2 ? 2 ( x2 ? 4 x2 )(x12 ? 4 x1 )

4[( x1 ? 2)2 ? ( x2 ? 2)2 ] ? 2 ( x2 ? 4 x2 )( x12 ? 4 x1 )

? x1 , x 2 ? (1,??), x1 ? x 2
2 ?( x2 ? 4x2 )(x12 ? 4x1 ) ? 0, ( x1 ? 2)2 ? ( x 2 ? 2)2 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? f ( x1 ).

?原函数在 1,??)为减函数 ( .

( x ? 2) 2 4.判断函数y ? 2 在(1, ??)上的单调性. x ? 4x
解法二: y ? 1 ? 4 , 2 ( x ? 2) ? 4
2

而当x ? 1时, u ? ( x ? 2) ? 4为增函数 .
4 ? 递减, 2 ( x ? 2) ? 4

故原函数在1,??)上为减函数 (

ax 5.讨论函数f ( x ) ? 2 ( ?1 ? x ? 1)的单调性. x ?1

解 : 设 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1, 则 ax1 ax2 a( x1 x2 ? 1)(x2 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)(x2 ? 1)

? x1 x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0, x ?1 ? 0, x ?1 ? 0
2 1 2 2

?当a ? 0时, f ( x)在(?1,1)上为减函数 . ?当a ? 0时,f ( x)在(?1,1)上为为增函数,
当a ? 0时,f ( x)为常数函数,无单调性可言。


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