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A018=2.6.1 求数列通项公式


观察法:已知前几项, 类型一 观察法:已知前几项,写通项公式

例1 写出下面数列的一个通项公式, 使 它 的 前 4项 分 别 是 下 列 各 数 : 1 1 1 1 () 1, - , , 2 3 4 0 2 (2 2 , , , 0 )

( ?1) 1 解: () an = n n+1 (2) an = ( ?1) + 1

n+1

类型二、 项和法 已知前n项和 项和, 类型二、前n项和法 已知前 项和,求通项公式
( n = 1) ? S1 an = ? ? S n ? Sn ?1 ( n ≥ 2)
例2: ﹛an﹜的前 项和为 n,且满足 n=n2+2n-1, : 的前n项和为 且满足 项和为S 且满足s 设 的通项公式. 求﹛an﹜的通项公式

解 : Q sn = n + 2 n ? 1
2

∴ 当n = 1时 a1 = s1 = 2 ∴ 当n ≥ 2时 an = sn ? sn ?1 = n + 2n ? 1
2

? [( n ? 1) + 2( n ? 1) ? 1] = 2n + 1
2

?2 n = 1 ∴ an = ? ? 2n + 1 n ≥ 2

类型三、 类型三、累加法 形如 an +1 = an + f (n) 的递推式
已知a 求通项a 在 求通项 例2: ﹛an﹜中,已知 1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项 n. :
解: Q an = an ?1 + n an ? 2 = an ? 3 + n ? 2 ....... a3 = a2 + 3 a2 = a1 + 2 以上各式相加得 a n = a1 + (2 + 3 + 4 + L + n ) (n+2)(n-1) =1+ 2 a n ?1 = a n ? 2 + n ? 1 an ? 3 = an ? 4 + n ? 3

练: 知 {an }中,a1 = 1, an = 3n?1 + an?1 已

3n ? 1 ( n ≥ 2)证明:an = 2

类型四、 类型四、累乘法形如 an +1 = f (n) ? an 的递推式
已 例4: 知 {an } 中,a1 = 2, an+1 = 3 ? an , 求通项an . :
n

an 解: = 3 n ?1 , a n ?1 .......

an ?1 = 3n ? 2 , an ? 2 a3 = 32 , a2

an ? 2 = 3n? 3 , an ? 3

an ? 3 = 3n ? 4 an ? 4

a2 =3 a1

以上各式相乘得an = a1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n? 2 ? 3n?1 = 2 ? 31+ 2+ 3+???+ ( n-1) = 2? 3 an = 2 ? 3
n ( n -1) 2 n ( n -1) 2

练: 知 {a n } 中 , a1 = 2, a n + 1 已

2? ? = ? 2 + ? ? an , 求 通 项 an . n? ?

an = 4n

类型五、 类型五、形如 an +1 = pan + q 的递推式
求 例5:数列{an } 满足a1 = 1, an +1 = 2an + 1 , an . :
分析:配凑法构造辅助数列 分析:配凑法构造辅助数列
解:Q an = 2an?1 + 1 an + 1 ∴ =2 an ?1 + 1 ∴ ∴ an + 1 = 2an ?1 + 1 + 1 = 2(an-1 + 1)

{an + 1} 是以a1 + 1为首项,

以2为公比的等比数列an = ( 1 + 1) 2n?1 = 2n

类型六、 类型六、形如 a n +1
取倒法构造辅助数列 取倒法构造辅助数列 例6: 数列 :

pa n = 的递推式 qa n + p

{an } 满足:a1 = 1, an+1

a n ?1 解: a n = 2a n ? 1 + 1

求 {a n } 通 项 公 式

an , = 2an + 1

1 2an ?1 + 1 1 = = +2 an an ?1 a n ?1

?1? 1 为首项,以2为公差的等差数列 ? ? 是以 a1 ? an ?
1 1 = + ( n ? 1)2 = 2n + 1 an a1 1 ∴ an = 2n + 1

an +1 = Aan + B ? An +1 的递推式 类型七、 类型七、相除法形如

例7: 列 : 数

{an } 满足:a1 = 3, an+1 = 3an + 3 求 {a n } 通 项 公 式 .
n

n+1

,

解: Q an = 3an ?1 + 3

an an ?1 ∴ n = n ?1 + 1 3 3

a1 ? an ? ∴ ? n ? 是以 为首项,以1为公差的等差数列 3 ?3 ? an a1 ( ∴ n = + n - 1) 1 = n × ∴ an = 3 n ? n 3 3

类型八、 类型八、形如 an +1 ? an = pan +1an 的递推式
例8: : 已知a1 = 2, an ≠ 0, 且an +1 ? an = 2an +1an ,求an .
解 : Q a n + 1 ? a n = 2a n + 1 a n 1 1 ∴ ? =2 an an + 1

?1? 1 ∴ ? ? 是以 为首项,以 - 2为公差的等差数列 a1 ? an ? 1 1 5 ?4n + 5 ∴ = + n - 1 (-2) = -2n + = ( ) 2 2 an a1 2 ∴ an = ?4 n + 5

求数列的通项公式
类型 1、已知前几项 、 2、已知前n项和 n 、已知前 项和 项和S 观察法 前n项和法 项和法 方法

3、形如 an +1 = an + f (n)的递推式 累加法 、 4、形如 an+1 = f (n) ? an 的递推式 累乘法 、 5、形如 、
an +1 = pan + q
pa n = qa n + p

的递推式 待定系数法 的递推式 取倒法

构 造 辅 助 数 列

6、形如 a n + 1 、

7、形如an+1 = Aan + B ? An+1的递推式 相除法 、
an +1 ? an = pan +1an

练习
5 ? 1: 数列{an } , a1 = , 若对任意的n ∈ N , n ≥ 2, 二次方程 : 设 6 2 an?1 x ? an x + 1 = 0都有根α、β,且满足3α - αβ + 3β = 1 1? ? (1)求证:an ? ? 是等比数列; ? 2? ? 1 n (2)求通项an; a n = ( 3 ) (3)求前n项和Sn .

1 1 S n = (1 ? n ) 2 3

2: 已知 {a } , a = 3, 2a = S S : n 1 n n n ?1

( n ≥ 2)

1 ? 1 ? d (1)求证: ? 是等差数列,并求公差; =? ? 2 ? Sn ? (2)求 {an } 的通项公式 . 18
an =
3. 在 {an }中,an+ 2 ? 2an+ 1 + an = 4, 且a1 = 1, a2 = 3, 求an .

(5 ? 3n)(8 ? 3n)

an = 2? n ? 4? n +3
2

作业

课本67页 复习参考A组 、 、 、 、(做在书上) 、(做在书上 课本 页 复习参考 组1、2、3、4、(做在书上)

课本67页 复习参考A组 、 、 课本 页 复习参考 组 5、6、7.


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