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2016高三数学一轮复习专题—— 集合与常用逻辑用语


第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)集合的基本概念: 确定性 、_______ 无序性 、_______. 互异性 ①集合元素的性质:_______ ②元素与集合的关系: ∈ ? ⅰ属于,记为___;ⅱ不属于

,记为__.

③常见集合的符号: 集合 符号 自然数集 正整数集 整数集 N __
*或N N ______ +

有理数集 实数集 Q __ R __

复数集 C __

Z __

列举法 、_______ 描述法 、_______. 图示法 ④集合的表示方法:_______

(2)集合间的基本关系:
表示 关系 文字语言 符号语言







相同 集合A与集合B中的所有元素_____
A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素, 且B中至少有一个元素不是 A中的元素 任何集合 的子集,是_____ 任何 空集是_________ 非空集合 的真子集 _________

A?B 且_____ B?A ?A=B _____ A?B或B?A ___________ A? ? B 或B A ___________ ??A ??B(B≠?)

真子集





(3)集合的基本运算:

并集

交集

补集

图形

符号

A∪B= {x|x∈A或x∈B} _______________

A∩B= {x|x∈A ________ 且x∈B} ________

?U A=
{x|x∈U ________ 且x?A} _______

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)对于有限集合A,若card(A)=n,则集合A的子集个数为2n,真子集

2n-1 非空真子集个数为____. 2n-2 个数为____,
(2)A∪B=A?B?A,

A∩B=A?A?B.
(3)一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)

-card(A∩B).

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:进行集合运算的数轴图示法.

(2)数学思想:分类讨论,数形结合.
(3)记忆口诀:

集合概念不定义,属性相同来相聚.内含子交并补集,高中数学的基础.
集合元素三特征,互异无序确定性.集合元素尽相同,两个集合才相等.

书写采用符号化,表示列举描述法.元素集合多属于,集合之间谈包含.
0和空集不相同,正确区分才成功.运算如果有难处,Venn图儿来相助.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
)

(1)集合{x2+x,0}中实数x可取任意值.( (2)任何集合都至少有两个子集.( (3)集合{x|y=
x ? 1 }与集合{y|y=

)
x ? 1 }是同一个集合.(

)

(4)若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A?B.(

)

【解析】(1)错误.由元素的互异性知x2+x≠0,即x≠0且x≠-1. (2)错误.?只有一个子集. (3)错误.{x|y=
x ? 1 }={x|x≥1},

{y|y= x ? 1 }={y|y≥0}. (4)错误.集合A是数集,集合B是点集. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修1P12A组T5(2)改编)若集合A={x∈N|x≤ 10 },a= 2 2 , 则下面结论中正确的是( A.{a}?A B.a?A ) C.{a}∈A D.a?A

【解析】选D.因为 2 2 不是整数,所以a?A.

(2)(必修1P12B组T1改编)已知集合A={0,1,2},集合B满足A∪B=
{0,1,2},则集合B有 个.

【解析】由题意知B?A,则集合B有8个.
答案:8

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0}, 则M∩N=( A.{1} ) B.{2} C.{0,1} D.{1,2}

【解析】选D.由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0,解得1≤x≤2,故 N={x|1≤x≤2},所以M∩N={1,2}.

(2)(2014·广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2}, 则M∪N=( A.{0,1} C.{-1,0,1,2} ) B.{-1,0,2} D.{-1,0,1}

【解析】选C.结合Venn图,可知M∪N={-1,0,1,2}.

(3)(2014·湖北高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6}, 则?UA=( ) B.{2,3,7} D.{2,5,7}

A.{1,3,5,6} C.{2,4,7}

【解析】选C.因为全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6}, 所以?UA={2,4,7}.

考点1

集合的基本概念

【典例1】(1)(2015·青岛模拟)已知集合A={0,1,2},则集合B= {x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 ) D.9

(2)(2015·银川模拟)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元 素,则a=( A. 9
2

) B. 9
8

C.0

D.0或 9
8

【解题提示】(1)用列举法把集合B中的元素列举出来,注意元素的互 异性. (2)分a=0和a≠0两种情况讨论.

【规范解答】(1)选C.当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2, 当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1, 当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2.共5个. (2)选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或 有两个相等实根. 当a=0时,x= 2 ,符合题意, 当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a= 9 ,所以a的值为0或 9 .
8 8 3

【互动探究】本例题(1)中,集合A不变,试确定集合

B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}中元素的个数.
【解析】当x=0时,y=0,当x=1时,y=0,1,

当x=2时,y=0,1,2.因此集合B中有6个元素.

【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.

(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意

检验集合是否满足元素的互异性.

【变式训练】已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则实数a的

取值集合为

.

【解析】若a+2=1,则a=-1,此时,a2+3a+3=1,不合题意.若(a+1)2=1,则

a=0或a=-2,经验证a=0符合题意,a=-2不合题意.
若a2+3a+3=1,则a=-2或a=-1,均不合题意,综上知,实数a的取值集合为 {0}. 答案:{0}

【加固训练】1.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1?A,则实数a的取值范 围是( ) B.(-∞,1] D.[0,+∞)

A.(-∞,0] C.[1,+∞)

【解析】选B.若1∈A,则1-2+a>0,解得a>1. 因为1?A,所以a≤1.故选B.

2.数集{x2+x,2x}中,x的取值范围是( A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

)

【解析】选D.根据题意,由集合中元素的互异性, 可得集合{x2+x,2x}中,x2+x≠2x, 即x≠0,x≠1, 则x的取值范围是(-≦,0)∪(0,1)∪(1,+≦), 故选D.

考点2

集合间的基本关系
a

【典例2】(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, b ,b},则b-a=

.

(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,则实数m的

取值范围是

.

【解题提示】(1)从a能否为0入手,根据集合相等的性质求解.

(2)分B=?与B≠?两种情况讨论求解.

【规范解答】(1)由题意知a≠0,则a+b=0,从而 b =-1,b=1,a=-1,
a

故b-a=1-(-1)=2. 答案:2

(2)当B=?时,满足B?A,此时有 m+1≥2m-1,即m≤2, 当B≠?时,要使B?A,则有
?m ? 1 ? ?2, ? ?2m ? 1 ? 7, 解得2<m≤4. ?m ? 2, ?

综上知m≤4. 答案:(-≦,4]

【易错警示】解答本例题(2)有两点容易出错:

(1)忽视B=?的情况导致解析不完整.
(2)当B≠?列不等式组时忽视等号成立的情况导致错解.

【规律方法】 1.根据集合的关系求参数的关键点及注意点 (1)根据两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间 的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数 轴、Venn图帮助分析,而且常要对参数进行讨论. (2)注意点:注意区间端点的取舍.

2.解决集合相等问题的一般思路 若两个集合相等,首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪

一个元素相等,有几种情况,然后列方程(组)求解.
提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.

【变式训练】(2015·临沂模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0}, 若A?B,则a的取值构成的集合是( A.{-1} C.{-1,1} B.{1} D.{-1,0,1} )

【解析】选D.由题意,得B={-1,1},

因为A?B,所以当A=?时,a=0;
当A={-1}时,a=-1;当A={1}时,a=1.

又A中至多有一个元素,
所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}.

【加固训练】1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N}, 则满足条件A?C?B的集合C的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

【解析】选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x∈N} ={1,2,3,4},由A?C?B, 方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的 个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个. 方法二:C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4} 共4个.

2.设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若A=B,则实数对(x,y)的取值集 合是 .

【解析】由A=B,且0∈B,故集合B中的元素x2≠0,xy≠0,故x≠0,y≠0, 那么集合A中只能是x+y=0,此时就是在条件x+y=0下,{x,y}={x2,xy},
? x ? y ? 0, ? x ? y ? 0, ? x ? 1, ? 2 2 即 ? 或 解得 ? ? x ? x, ? x ? y, ? y ? ?1, ? xy ? y, ? xy ? x. ? ?
x ? ?1, 或 ? ? ? y ? 1.

答案:{(1,-1),(-1,1)}

考点3

集合的基本运算

知·考情
集合的基本运算是历年高考的热点,常与函数、方程、不等式等 知识综合,主要以选择题的形式出现.

明·角度 命题角度1:求交集 【典例3】(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0}, B={x|-2≤x<2},则A∩B=( A.[-2,-1] C.[-1,1] ) B.[-1,2) D.[1,2)

【解题提示】先简化集合A,再求交集.

【规范解答】选A.由已知得A={x|x≤-1或x≥3},
故A∩B={x|-2≤x≤-1}.

命题角度2:求并集 【典例4】(2015·南阳模拟)设全集U=R,集合A={x|2x-x2>0}, B={y|y=ex+1},则A∪B等于( A.{x|x<2} C.{x|x>1} ) B.{x|1<x<2} D.{x|x>0}

【解题提示】先求出集合A,B,再求并集. 【规范解答】选D.由2x-x2>0得0<x<2,故A={x|0<x<2}, 由y=ex+1得y>1,故B={y|y>1}, 所以A∪B={x|x>0},故选D.

命题角度3:交、并、补的混合运算

【典例5】(2014·江西高考)设全集为R,集合A={x|x2-9<0},
B={x|-1<x≤5},则A∩(?RB)=( )

A.(-3,0)

B.(-3,-1)

C.(-3,-1]

D.(-3,3)

【解题提示】先求集合A及?RB,再求A∩(?RB). 【规范解答】选C.A=(-3,3),?RB=(-≦,-1]∪(5,+≦), 所以A∩(?RB)=(-3,-1].

悟·技法

集合基本运算的求解策略
(1)求解思路:一般是先化简集合,再由交、并、补的定义求解. (2)求解原则:一般是先算括号里面的,然后再按运算顺序求解. (3)求解思想:注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.

通·一类

1.(2014·四川高考)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则
A∩B=( ) B.{-2,-1,0,1} D.{-1,0}

A.{-1,0,1,2} C.{0,1}

【解析】选A.由于集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},而集合B为整 数集,在-1≤x≤2范围中的整数有-1,0,1,2,故A∩B={-1,0,1,2}.

2.(2014·辽宁高考)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合

?U(A∪B)=(
A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1}

)
B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

【解析】选D.由于A∪B={x|x≤0,或x≥1},结合数轴,?U(A∪B)= {x|0<x<1}.

3.(2013·湖北高考)已知全集为R,集合A={x|(

1x ) ≤1},B= 2

{x|x2-6x+8≤0},则A∩(?RB)=(
A.{x|x≤0} C.{x|0≤x<2或x>4}

)

B.{x|2≤x≤4} D.{x|0<x≤2或x≥4}

【解析】选C.A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},

?RB={x|x<2或x>4},A∩(?RB)={x|0≤x<2或x>4}.

4.(2015·开封模拟)设集合U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则

图中阴影部分表示的集合为(
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}

)

【解析】选B.由2x(x-2)<1得x(x-2)<0,

所以0<x<2,故A={x|0<x<2}.
由1-x>0得,x<1,故B={x|x<1}. 则?UB={x|x≥1}.阴影部分表示的集合为A∩(?UB)={x|1≤x<2}.

创新体验1

以集合为载体的创新问题

【创新点拨】 1.高考考情:以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点, 这类试题以集合为依托,考查学生理解问题、解决创新问题的能力. 2.命题形式:常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.

【新题快递】

1.(2015·东莞模拟)对任意实数x,y,定义运算x?y=ax+by+cxy,其中
a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知 1?2=3,2?3=4,并且有一个非零常数m,使得?x∈R,都有x?m=x,则3?4的 值是( A.-4 ) B.4 C.-3 D.3

【解析】选D.?x∈R,都有x?m=x,则x?m=ax+bm+cmx=(a+cm)x+bm=x,由 于m为非零常数,则bm=0?b=0,因此1?2=a+2c=3,2?3=2a+6c=4,解得 a=5,c=-1,因此3?4=3a+12c=3×5+12×(-1)=3,故选D.

2.(2014·福建高考)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的 有序数组(a,b,c,d)的个数是 .

【解析】若只有①对,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合元素互

异性矛盾,不符合题意;
若只有②对,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4); 若只有③对,则有序数组为(3,1,2,4); 若只有④对,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2). 答案:6

3.(2015·淮安模拟)设集合Sn={1,2,3,…,n},若X?Sn,把X的所有元素
的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容

量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)
子集.则S4的所有奇子集的容量之和为 .

【解析】因为S4={1,2,3,4},所以X=?,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},

{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,
2,3,4}.其中是奇子集的为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所 以S4的所有奇子集的容量之和为7. 答案:7

【备考指导】

1.准确转化:解决集合创新问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣
题目所给条件,结合题目要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相 混淆. 2.方法选取:对于集合创新问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻 辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解,同时注意培养学生领悟新 信息、运用新信息的能力.

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

【知识梳理】

1.必会知识
(1)命题:

教材回扣

填一填

判断真假 的陈述句叫做命题.其中 用语言、符号或式子表达的,可以_________ 判断为真 的语句叫做真命题,_________ 判断为假 的语句叫做假命题. _________

(2)四种命题及其相互关系:

若q,则p

若?p,则?q

若?q,则?p

(3)充要条件:

充分 条件,q是p的_____ 必要 条件 若p?q,则p是q的_____
充分不必要 条件 p是q的___________

p?q且q ? ? p
p? ? q且q?p

必要不充分 条件 p是q的___________
充要 条件 p是q的_____ 既不充分也不必要 条件 p是q的_________________

p?q
p? ? q 且q ? ? p

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)四种命题中的等价关系:
逆否命题 否命题等价于_______, 逆命题 在四种形式的命题 原命题等价于_________, 中真命题的个数只能是0或2或4. (2)等价转化法判断充分条件、必要条件: 充分不必要 条件.其他 p是q的充分不必要条件,等价于﹁q是﹁p的___________ 情况依次类推.

(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件: p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A?B _____ B?A _____

p是q的必要条件
p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件

A? B ______
B ? A ______

A=B ____

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等

价转化法.
(2)数学思想:化归与转化思想.

(3)记忆口诀:真假能判是命题,条件结论很清楚.
命题形式有四种,分成两双同真假.

若p则q真命题,p是q充分条件,
q是p必要条件,原逆皆真称充要.

【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判 ) )

(1)语句x2-3x+2=0是命题.(

(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.(

(3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成 立”.( )

(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的 意义相同.( )

【解析】(1)错误.无法判断真假,故不是命题. (2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题 ,它们的真假性 相同. (3)正确.一个命题与其逆否命题等价. (4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“p?q且q ? ? p”,“p的充 分不必要条件是q”即为“q?p且p ? ? q”. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(选修2-1P8T2(1)改编)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的 逆否命题为 .

【解析】“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数,”“a+b是偶 数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则 a,b不都是偶数”. 答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数

(2)(选修2-1P10T3(2)改编)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 条件. 【解析】x=a?(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b) =0”是“x=a”的必要不充分条件. 答案:必要不充分

3.真题小试

感悟考题

试一试 )

(1)(2014·北京高考)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解题提示】验证充分性与必要性.
【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”,

例如,2>-3,但4<9;
“a2>b2”也推不出“a>b”,

例如,9>4,但-3<2.

(2)(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形 ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”?“AC⊥BD”,“AC⊥BD”推不 出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD” 的充分不必要条件.

(3)(2015·焦作模拟)已知命题α :如果x<3,那么x<5;命题β :如果x≥3, 那么x≥5;命题γ :如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系. 下列三种说法正确的是( )

①命题α 是命题β 的否命题,且命题γ 是命题β 的逆命题; ②命题α 是命题β 的逆命题,且命题γ 是命题β 的否命题; ③命题β 是命题α 的否命题,且命题γ 是命题α 的逆否命题. A.①③ B.② C.②③ D.①②③

【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件
和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定 ,逆否命题是

把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,
③正确,选A.

考点1

四种命题及其真假判断

【典例1】(1)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是( )

A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真 命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假

命题

C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是
真命题

D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”
是真命题

(2)(2014·陕西高考)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=
|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确

的是(

)
B.假,假,真

A.真,假,真

C.真,真,假

D.假,假,假

【解题提示】(1)先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确,再判断

其真假.
(2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.

【规范解答】(1)选D.f′(x)=ex-m,由f(x)在(0,+≦)上是增函数知
f′(x)≥0,即m≤ex在x∈(0,+≦)上恒成立,又ex>1,从而m≤1,则原命

题是真命题.对于A,否命题写错,故A错;对于B,逆命题写对,但逆命题
是真命题,故B错;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对,

且为真命题,故选D.
(2)选B.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真; 而它的逆命题为假,所以它的否命题亦为假,故选B.

【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错: (1)根据f(x)是增函数求错m的取值范围. (2)把“f(x)是增函数”的否定错误地认为是“f(x)是减函数”.

【规律方法】 1.书写否命题和逆否命题的关注点 (1)一些常见词语及其否定表示: 词语 否定 是 不是 都是 不都是 都不是 至少一个是 等于 不等于 大于 不大于

(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点: ①方法:首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚. ②注意点:注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中 “都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是. 2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.

【变式训练】命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题 是( )

A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数

【解析】选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是
“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则

f(-x)不是奇函数”.

【加固训练】1.命题“若α = ? ,则tanα =1”的逆否命题是(
? ,则tanα ≠1 4 C.若tanα ≠1,则α ≠ ? 4 4

)

A.若α ≠

? ,则tanα ≠1 4 D.若tanα ≠1,则α = ? 4

B.若α =

【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠

? ”, 4

故选C.

2.关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}

≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是
( )

A.都真
C.否命题真

B.都假
D.逆否命题真

【解析】选D.原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.

考点2

充分条件、必要条件的判断
知·考情

充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形
式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的

各个方面,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体
几何等知识.

明·角度 命题角度1:定义法判断充分条件、必要条件 【典例2】(2014·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使 得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要的条件

【解题提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断 . 【规范解答】选C.依题意,若A?C,则?UC??UA,当B??UC,可得A∩B=?; 若A∩B=?,不妨令C=A,显然满足A?C,B??UC,故满足条件的集合C是存 在的.

命题角度2:集合法判断充分条件、必要条件 【典例3】(2014·安徽高考)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解题提示】分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解析】选B.由ln(x+1)<0,得0<x+1<1,即-1<x<0, 由于{x|-1<x<0} ? {x|x<0}, 故“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.

命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件

【典例4】(2013·山东高考)给定两个命题p,q.若﹁p是q的必要而不充
分条件,则p是﹁q的( )

A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件

C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

【解题提示】借助原命题与逆否命题等价判断. 【规范解答】选A.因为﹁p是q的必要不充分条件,则q?﹁p但﹁p ? ? q,其逆否命题为p?﹁q但﹁q ? ? p,所以p是﹁q的充分不必要条件.

悟·技法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题 转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问 题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断 “x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.

通·一类

1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在,若
p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( )

A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

【解析】选C.因为若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点, 所以命题p不是q的充分条件; 因为若x0是极值点,则f′(x0)=0,所以命题p是q的必要条件.

2.(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的(

)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为集合(1,2)是集合(-≦,2)的真子集,所以“1<x<2” 是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.

3.(2013·上海高考)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思

是:“不便宜”是“好货”的(
A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件

)

【解析】选B.“便宜?没好货”等价于“好货?不便宜”,故选B.

考点3

充分条件、必要条件的应用

?log 2 x, x ? 0, 【典例5】(1)函数f(x)= ? 有且只有一个零点的充分不 x ??2 ? a, x ? 0

必要条件是( A.a<0 C. 1 <a<1
2

)

B.0<a<

1 2

D.a≤0或a>1

(2)设条件p:2x2-3x+1≤0;条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是 ﹁q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .

【解题提示】(1)先找出充要条件,再根据集合之间的关系确定答案. (2)先解不等式把条件p,q具体化,再由互为逆否命题的等价性确定 p,q之间的关系,最后根据集合间的关系列不等式组求解.

【规范解答】(1)选A.因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只
有一个零点?函数y=-2x+a(x≤0)没有零点?函数y=2x(x≤0)与直线 y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1. 观察选项,根据集合间关系{a|a<0} ? {a|a≤0或a>1},故选A.

(2)由2x2-3x+1≤0得 ≤x≤1,

1 2

由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1.
由﹁p是﹁q的必要不充分条件知,p是q的充分不必要条件,则有
1 ≤x≤1} ? {x|a≤x≤a+1}, 2 1 ? 1 a? , 所以 ? 解得0≤a≤ . 2 ? 2 ? ?a ? 1 ? 1, 答案:[0, 1 ] 2

{x|

【规律方法】

1.与充要条件有关的参数问题的求解方法
解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此 列出关于参数的不等式(组)求解. 提醒:求解时要注意区间端点值的检验.

2.充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是 分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.这类试题一般有两种 设置格式. (1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是A?B,必要性是B?A. (2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是B?A,必要 性是A?B.

提醒:在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清命题的条
件是什么,结论是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证 明,即用等价转化法进行推理证明.

【变式训练】已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的取值 范围. (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的取值 范围.

【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10}, (1)因为x∈P是x∈S的充要条件,所以P=S, 所以 ?
?m ? 3, ?1 ? m ? ?2, 所以 ? 这样的m不存在. ?m ? 9, ?1 ? m ? 10,

(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件,则S?P,
?1 ? m ? ?2, 当S=?时,1-m>1+m,解得m<0,当S≠?时,由题意可得 ? ?1 ? m ? 10,

所以m≤3. 综上,可知m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.

【加固训练】1.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最
大值为 .

【解析】由x2>1得x>1或x<-1. 由题意知{x|x<a} ? {x|x>1或x<-1}, 所以a≤-1,从而a的最大值为-1. 答案:-1

2.已知ab≠0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 【证明】先证充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0, 则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

所以(a+b-1) [(a ? b ) 2 ? 3 b 2 ] =0,由ab≠0得
2 4

a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.

再证必要性:若a+b=1,则由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证.

综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

自我纠错1

充分条件、必要条件的判断

【典例】(2015·天津模拟)设a,b∈R,且a≠0,则“(a-b)a2<0”是 “a<b”的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:(1)忽略a≠0这一条件. (2)只考虑了a<b?(a-b)a2<0是否成立,忽略了反推.

【规避策略】

1.判断思路:判断充分条件、必要条件必须从正、反两个方面进行推
理论证,缺一不可,最后根据充分条件、必要条件的定义进行判断. 2.关注大前提:进行正、反两个方面推理时,大前提都要利用好,是推 理的条件.

【自我矫正】选C.因为a≠0,所以a2>0.

由(a-b)a2<0知,a-b<0,即a<b.
所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分条件. 反之,因为a,b∈R,且a≠0,所以a2>0. 因为a<b,即a-b<0,所以(a-b)a2<0. 所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的必要条件. 综上,应选C.

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)命题p∧q,p∨q, ﹁p的真假判断: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 ___ 假 ___ 假 ___ 假 ___ p∨q 真 ___ 真 ___ 真 ___ 假 ___ ﹁p 假 ___ 假 ___ 真 ___ 真 ___

(2)全称量词和存在量词: 量词名称 全称量词 存在量词 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在一个、至少一个、有些、某些等 符号表示 ? ___ ? ___

(3)全称命题和特称命题: 名称 形式 结构 简记 否定

全称命题
对M中的任意一个x,

特称命题
存在M中的一个x0,

有p(x)成立 ?x∈M,p(x) ____________ ?x0∈M _______,﹁p(x0)

使p(x0)成立 ?x0∈M,p(x0) _____________ ?x∈M _______,﹁p(x)

2.必备结论

教材提炼

记一记

含逻辑联结词命题真假判断:
(1)p∧q中一假则假,全真才真. (2)p∨q中一真则真,全假才假. (3)p与﹁p真假性相反

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:含有逻辑联结词命题真假的判断方法;含一个量词的命

题的否定方法.
(2)数学思想:转化与化归.

(3)记忆口诀:
逻辑联词或且非,或命题一真就真,且命题全真才真,非命题真假交换.

量词一般有两个,全称量词所有的,存在量词有一个,若要否定变形式.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(

)
)

(2)若命题p∧q为真,则p为真或q为真.(

(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(

)

(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相

等”.(

)

【解析】(1)错误.命题p∨q中,p或q有一真则p∨q为真.

(2)错误.p∧q为真,则p,q同时为真.(3)错误.命题“长方形的对角线
相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”,是全称命题.(4)错 误.“菱形的对角线相等”是全称命题,其否定为“有的菱形的对角线 不相等”. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(选修2-1P18T1(3)改编)若p:2是偶数,q:3不是素数,则命题p∨q 是 命题,p∧q是 命题.(填“真”“假”)

【解析】命题p是真命题,q是假命题,则p∨q是真命题,p∧q是假命题. 答案:真 假

(2)(选修2-1P27T3(2)改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数 字都是0”的否定为 .

【解析】全称命题的否定为特称命题,其否定为“有些可以被5整除的 整数,末位数字不是0”. 答案:“有些可以被5整除的整数,末位数字不是0”

3.真题小试

感悟考题

试一试 )

(1)(2014·湖南高考)设命题p:?x∈R,x2+1>0,则﹁p为( A.?x0∈R, x02+1>0 C.?x0∈R, x02+1<0 B.?x0∈R, x02+1≤0 D.?x∈R,x2+1≤0

【解析】选B. ﹁p:?x0∈R, x02+1≤0.

(2)(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设
命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题

“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(
A.( ﹁p)∨(﹁q) B.p∨(﹁q)

)

C.( ﹁p)∧(﹁q)

D.p∨q

【解析】选A.因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范

围”,则﹁p是“甲没有降落在指定范围”, ﹁q是“乙没有降落在指
定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示

为(﹁p)∨(﹁q).

(3)(2014·重庆高考)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方 程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( A.p∧﹁q B. ﹁p∧q ) D.p∧q

C. ﹁p∧﹁q

【解析】选A.易知命题p为真命题,q为假命题,故p∧﹁q为真命题, ﹁p∧q为假命题,﹁p∧﹁q为假命题,p∧q为假命题.

考点1

含有逻辑联结词命题真假的判断

【典例1】(1)(2014·湖南高考)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若 x>y,则x2>y2.在命题 ①p∧q;②p∨q;③p∧(﹁q);④(﹁p)∨q中,真命题是( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ )

(2)若命题“p∧q”为假命题,且“﹁p”为假命题,则(

)

A.“p或q”为假
C.q真

B.q假
D.p假

【解题提示】(1)先判断命题p,q的真假,再根据真值表求解. (2)根据真值表判断. 【规范解答】(1)选C.由不等式的性质,得p真,q假.由“或、且、非” 的真假判断得到①假,②真,③真,④假. (2)选B.由“﹁p”为假,知“p”为真,又“p∧q”为假命题,从而q为 假命题.

【规律方法】 1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 (1)先判断简单命题p,q的真假. (2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.

2.含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真?p,q至少一个真?(﹁p)∧(﹁q)假. (2)p∨q假?p,q均假?(﹁p)∧(﹁q)真. (3)p∧q真?p,q均真?(﹁p)∨(﹁q)假. (4)p∧q假?p,q至少一个假?(﹁p)∨(﹁q)真. (5) ﹁p真?p假; ﹁p假?p真.

【变式训练】(2015·长春模拟)已知命题p:函数y=2-ax+1(a>0且a≠1) 恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线 x=1对称,则下列命题为真命题的是( A.p∨q B.p∧q ) D.p∨﹁q

C. ﹁p∧q

【解析】选D.函数y=2-ax+1恒过定点(-1,1),故命题p是假命题, ﹁p 是真命题;函数f(x)的图象是由函数f(x-1)的图象向左平移一个单位 得到的,所以函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,因此q为假命题, ﹁q为真命题,从而p∨﹁q为真命题,故选D.

【加固训练】1.命题p:函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,命 题q:函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为π ,则下列命题为真命题的是 ( A.p∧q C.p∨q B.(﹁p)∨q D.(﹁p)∧(﹁q) )

【解析】选C.由f′(x)=3x2-3<0,解得-1<x<1,故函数f(x)=x3-3x在区 间(-1,1)内单调递减,即命题p为真命题;函数y=sin2x的最小正周期 为π,则函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为 ? ,即命题q为假命题.由
2

于p真、q假,故p∧q为假命题,p∨q为真命题;由于﹁p假、q假,故 (﹁p)∨q为假命题;由于﹁p假, ﹁q真,故(﹁p)∧(﹁q)为假命题.

2.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列结论: ①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q” 是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是( A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ )

【解析】选A.“非p或非q”是假命题,则“p且q”为真命题,“p或q” 为真命题,从而①③正确.

考点2

全称命题、特称命题 知·考情

全称命题、特称命题的真假及其否定以其独特的形式成为高考命 题的亮点,常和其他数学知识相结合,以选择题、填空题的形式出现.

明·角度
命题角度1:全称命题、特称命题的真假判断

【典例2】(2015·潍坊模拟)下列命题中的假命题是(
A.?x∈R,ex>0 B.?x∈N,x2>0

)

C.?x0∈R,ln x0<1

D.?x0∈N*,sin ? x0=1
2

【解题提示】联系二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的性质
解答.

【规范解答】选B.对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.

命题角度2:全称命题、特称命题的否定
【典例3】(1)(2014·福建高考)命题“?x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定

是(

)

A.?x∈(-∞,0),x3+x<0

B.?x∈(-∞,0),x3+x≥0
C.?x0∈[0,+∞), x03+x0<0 D.?x0∈[0,+∞), x03+x0≥0

(2)(2015·武汉模拟)命题“?x0∈?RQ,x03∈Q”的否定是(

)

A.?x0??RQ,x03∈Q
C.?x??RQ,x3∈Q

B.?x0∈?RQ,x03?Q
D.?x∈?RQ,x3?Q

【解题提示】(1)全称命题的否定为特称命题. (2)从改量词,否定结论两个方面着手. 【规范解答】(1)选C.命题“?x∈[0,+≦),x3+x≥0”的否定是 “?x0∈[0,+≦),x03+x0<0”. (2)选D.“?x0∈?RQ”的否定为“?x∈?RQ”,根据条件“x03∈Q”的

否定改写为“x3?Q”.

悟·技法 1.全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 真 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假

全称命题
假 真 特称命题



所有对象使命题假

否定为真

提醒:不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可
先判断其否定的真假.

2.全称命题与特称命题的否定

(1)否定量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含
义加上量词,再对量词进行否定.

(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.

通·一类
1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p:?x∈R,2x<3x;命题q:?x0∈R,

x03=1-x02,则下列命题中为真命题的是(
A.p∧q C.p∧﹁q B. ﹁p∧q D. ﹁p∧﹁q

)

【解析】选B.对于命题p:取x=-1,可知为假命题, ﹁p为真命题;对于

命题q:令f(x)=x3+x2-1,则f(0)f(1)<0,故f(x)有零点,即方程x3+x21=0有解,所以q:?x0∈R, x03=1-x02为真命题, ﹁q为假命题,从而

﹁p∧q为真命题.

2.(2013·四川高考)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题

p:?x∈A,2x∈B,则(
A. ﹁p:?x∈A,2x?B

)
B. ﹁p:?x?A,2x?B

C. ﹁p:?x0?A,2x0∈B

D. ﹁p:?x0∈A,2x0?B

【解析】选D.命题p:?x∈A,2x∈B的否定是﹁p:?x0∈A,2x0?B.

3.(2015·偃师模拟)已知命题p:?x0∈R,log2(3x0+1)≤0,则(

)

A.p是假命题,﹁p:?x∈R,log2(3x+1)≤0
B.p是假命题,﹁p:?x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;﹁p:?x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;﹁p:?x∈R,log2(3x+1)>0 【解析】选B.因为3x+1>1,所以log2(3x+1)>0恒成立,则命题p是假命 题;又﹁p:?x∈R,log2(3x+1)>0,故选B.

考点3

根据命题的真假求参数的取值范围

【典例4】(1)(2015·太原模拟)已知命题p:?x0∈R,ex0-mx0=0, q:?x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(﹁q)为假命题,则实数m的取值范围 是( ) B.[0,2]

A.(-∞,0)∪(2,+∞)

C.R

D.?

(2)已知c>0,且c≠1,设p:函数y=cx在R上单调递减;q:函数f(x)=x22cx+1在( 1 ,+∞)上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实
2

数c的取值范围.

【解题提示】(1)根据p∨(﹁q)为假命题确定p,q的真假,再根据p,q 的真假求m的取值范围. (2)先求p,q为真时c的取值范围,再根据p,q的真假求实数c的范围.

【规范解答】(1)选B.由p∨(﹁q)为假命题知p假q真.由p假知命题

“?x∈R,ex-mx≠0”为真命题,即函数y=ex与y=mx的图象无交点.设
直线y=mx与曲线y=ex相切的切点为(x′0,y′0),则切线方程为y- e x ?
0 0

= e x ? (x-x′0),又切线过原点,则可求得x′0=1,y′0=e,从而m=e,所以 命题p为假时有0≤m<e.命题q为真时有Δ=m2-4≤0.即-2≤m≤2.综上 知,m的取值范围是0≤m≤2.

(2)因为函数y=cx在R上单调递减,所以0<c<1. 即p:0<c<1,因为c>0且c≠1,所以﹁p:c>1.

又因为f(x)=x2-2cx+1在(
所以c≤

1 . 2 即q:0<c≤ 1 ,因为c>0且c≠1, 2 所以﹁q:c> 1 ,且c≠1. 2

1 ,+≦)上为增函数, 2

又因为“p或q”为真,“p且q”为假,
所以p真q假或p假q真.

①当p真,q假时, {c|0<c<1}∩{c|c> 且c≠1}={c| 1 <c<1}. ②当p假,q真时,{c|c>1}∩{c|0<c≤ 1 }=?. 综上所述,实数c的取值范围是{c| 1 <c<1}.
2 2 2 1 2

【易错警示】解答本例题(2)有三点容易出错:

(1)求﹁p时,忽略c≠1导致c的范围出错.
(2)判断p,q的真假时不全面,漏掉一种情况. (3)漏掉最后的总结,导致解析不完整.

【互动探究】若本例(1)中,命题p,q不变,当p∨(﹁q)为真命题时,求

m的取值范围.
【解析】由本例(1)知p∨(﹁q)为假时有0≤m≤2,则p∨(﹁q)为真时 有m>2或m<0.

【规律方法】根据命题的真假求参数取值范围的求解策略

(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命
题的真假,求出此时命题成立的参数的取值范围,再求出含逻辑联结词 的命题成立的参数的取值范围. (2)全称命题可转化为恒成立问题.

【变式训练】命题“?x0∈R,2x02-3ax0+9<0”为假命题,则实数a的

取值范围为

.

【解析】因题中的命题为假命题,则它的否定“?x∈R,2x2-3ax+9 ≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,因此只需Δ=9a24×2×9≤0,即-2 2 ≤a≤2 2 . 答案:[-2 2 ,2 2 ]

【加固训练】1.已知命题p:“?x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“?x0∈R,

使得x02+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围
是 .

【解析】若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由 ?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由?x0∈R,使x02+4x0+a=0,知Δ=164a≥0,a≤4,因此e≤a≤4. 答案:[e,4]

2.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成

立.若命题q∨(p∧q)真、﹁p真,则实数m的取值范围是

.

【解析】由于﹁p真,所以p假,则p∧q假,又q∨(p∧q)真,故q真,即命 题p假、q真.当命题p假时,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解 得-2<m<2;当命题q真时,4-4m<0,解得m>1.所以所求的m的取值范围是 1<m<2. 答案:(1,2)

自我纠错2

全称命题、特称命题的否定

【典例】(2014·天津高考)已知命题p:?x>0,总有(x+1)ex>1,则﹁p为
( )

A.?x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1
B.?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1

C.?x>0,总有(x+1)ex≤1
D.?x≤0,总有(x+1)ex≤1

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:对于方法一,“?x>0”否定错误;对于方法二,只否定了结论,没 有否定量词;对于方法三,“?x>0”否定错误.

【规避策略】(1)分清命题形式:弄清楚是全称命题还是特称命题,尤

其是省略了量词的命题.
(2)掌握含量词命题的否定方法:全(特)称命题的否定应从两个方面着 手:一是量词变化,“?”与“?”互换;二是否定命题的结论,但不能 否定命题的条件.

【自我矫正】选B.“?x>0”的否定为“?x0>0”,“(x+1)ex>1”的否 定为“(x+1)ex≤1”,故命题的否定为“?x0>0,使得(x0+1)ex0 ≤1”,故选B.


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