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1.高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)


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高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)

一、选择题(本大题共 25 小题,第 1~15 题每小题 2 分,第 16~25 题每 小题 3 分,共 60 分.每小题中只有一个选项是符合题意的,不选、多选、错 选均不得分) 1. 已知集合 P={0,1},Q={0,1,2},则 P∩Q=( A. {0} B. {1} C. {0,1} 2. 直线 x=1 的倾斜角为( D. {0,1,2} ) )

A. 0° B. 45° C. 90° D. 不存在 3. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的几何体是 ( )

(第 3 题) A. 圆锥 B. 正方体 C. 正三棱柱 ) 1 D. y=(2)x ) D. 球 4. 下列函数中,为奇函数的是( 1 A. y=x+1 B. y=x 1 A. y=x 为( ) C. y=log3x

5. 下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( B. y=x2 C. y=2x D. y=x3

6. 若直线 l 的方程为 2x+y+2=0,则直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距分别

A. -1,2

B. 1,-2

C. -1,-2

D. 1,2 )

7. 已知平面向量 a=(1,2),b=(-3,x).若 a∥b,则 x 等于( A. 2 B. -3 C. 6 D. -6 8. 已知实数 a,b,满足 ab>0,且 a>b,则( A. ac2>bc2 B. a2>b2 C. a2<b2 1 1 D. a<b ) )

9. 求值:sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=( 3 A. - 2 1 B. -2 1 C. 2 3 D. 2

?? ? 10. 设 M=2a(a-2)+7,N=? ?a-2??a-3?,则有(

)

A. M>N B. M≥N 11.

C. M<N D. M≤N )

3 已知 sinα=5,且角的终边在第二象限,则 cosα=( 3 B. -4 4 C. 5 3 D. 4

4 A. -5

12. 已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则 a5+a7=( A. 16 B. 18 C. 22 D. 28 13. 下列有关命题的说法正确的个数是( 位角不相等”; )

)

①命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为“两直线不平行,同 ②“若实数 x,y 满足 x+y=3,则 x=1 且 y=2”的否命题为真命题; ③若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④对于命题 p:?x0∈R,x02+2x0+2≤0, 则 p:?x∈R,x2+2x+2>0 . A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

2 2 x y ? 14. 已知? ?3,2?在椭圆 2+ 2=1 上,则( a b

)

? A. 点? ?-3,-2?不在椭圆上 ? B. 点? ?3,-2?不在椭圆上 ? C. 点? ?-3,2?在椭圆上 ? ? ? ? ? D. 无法判断点? ?-3,-2?,?3,-2?,?-3,2?是否在椭圆上

15. 设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2:x+(a+1)y +4=0 平行”的( C. 充分必要条件 16. 下列各式: ①(log23)2=2log23; 其中正确的有( A. 1 个 A. y=x-1 B. 2 个 ) C. 3 个 D. 4 个 ) D. y=lg x ) ②log232=2log23; ④log26-log23=log23. ③log26+log23=log218; ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 A. 充分不必要条件

17. 下列函数中只有一个零点的是( B. y=x2-1 C. y=2x 3 18. 下列各式中,值为 2 的是( A. sin215°+cos215° C. cos215°-sin215° 积为( )

B. 2sin15° cos15° D. 2sin215°-1

→ ·AC → =2 3,且∠BAC=30°,则△ABC 的面 19. 在△ABC 中,已知AB

A. 1 a3 的值为( A. 5

B. 2 C. 3 ) B. 4 C. -4
? π ? θ∈?0, 2 ?

D. 4

20. 已知实数 a1,a2,a3,a4,a5 构成等比数列,其中 a1=2,a5=8,则 D. ± 4 y=xsin θ +1 的倾斜角的取值范围是( )

21. 已知

? ? 则直线 ?, ?

π A. [0, 2 ]

π B. [0, 6 ]

π π C. [0, 3 ] D. [0, 4 ]

(第 22 题) 22. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 的中点,那么异面直线 OE 与 AD1 所成角的余弦值等于( 6 6 A. 2 B. 3 3 2 C. 3 D. 2 23. 若直线 ax+by-3=0 与圆 x2+y2+4x-1=0 切于点 P(-1,2),则 ab 积的值为( A. 3 A. a∥b ) B. 2 C. -3 D. -2 ) B. a⊥b C. |a|=|b| D. a+b=a-b )

24. 已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确(

25. 已知平面 α 内有两定点 A,B,|AB|=3,M,N 在 α 的同侧且 MA⊥α, NB⊥α ,|MA|=1,|NB|=2.在 α 上的动点 P 满足 PM,PN 与平面 α 所成的角 相等,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于( A. 9π B. 8π C. 4π D. π )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) → -CD → +CD → |=________. 26. 若菱形 ABCD 的边长为 2,则|AB 1 27. 函数 y=x+x(x>0)的值域是________.
? 28. 若直线 2 ? ?a+3? x + ay - 2 = 0 与直线 ax + 2y + 2 = 0 平行,则 a =

________. 29. 若双曲线 mx2 + y2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为 ________. 30. 已知数列{an}是非零等差数列,且 a1,a3,a9 组成一个等比数列的前 a1+a3+a9 三项,则 的值是________. a2+a4+a10 三、解答题(本大题共 4 小题,第 31,32 题每题 7 分,第 33,34 题每题 8 分,共 30 分) 3 3π 31. (本题 7 分)已知 cos α =5, 2 <α <2π , ,求 cos 2α ,sin 2α 的值.

32. (本题 7 分,有 A、B 两题,任选其中一题完成,两题都做,以 A 题 计分)

[第 32 题(A)] (A)如图所示 ,四棱锥 P-ABCD 的底面为一直角梯形,BA⊥AD, CD⊥ AD,CD=2AB,PA ⊥ 底面 ABCD,E 为 PC 的中点. (1)求证:EB∥平面 PAD ; (2)若 PA =AD,证明:BE⊥平面 PDC. (B)如图,正△ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B.

[第 32 题(B)]

(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E-DF-C 的余弦值.

33. (本题 8 分)已知抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+m 所得弦长 AB=3 5. (1)求 m 的值; (2)设 P 是 x 轴上的一点,且△ABP 的面积为 9,求点 P 的坐标.

34. (本题 8 分)定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对任意的 x∈D,存在
? 常数 M>0,都有? ?f(x)?≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为 ?1?x ?1?x ? ? ? 函数 f(x)的上界.已知函数 f(x)=1+a?2? +? ?4? . ? ? ? ?

(1)当 a=1 时, 求函数 f(x)在(-∞,0)上的值域, 并判断函数 f(x)在(-∞, 0)上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在[0,+∞)上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值 范围.

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2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)

1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 6. C 7. D 8. D 9. D 10. A 11. A 12. C 13. C 14. C 15. A 16. B 17. D 18. C 19. A 20. B 21. D 22. B 23. B 24. B 25. C [提示:由题意知△AMP∽△BNP,所以|PB|=2|PA|,不妨以 AB 32 2 所在直线为 x 轴,中点为原点建立直角坐标系,设 P(x,y),则(x-2) +y =

32 2 52 2 4[(x+2) +y ]?(x+2) +y =4,所以 P 的轨迹是半径为 2 的圆,因此面积为 4π .] 26. 2 27. [2,+∞) 28. 6 1 1 1 29. -4 [提示:因为是双曲线,所以 m<0,-m=4,得 m=-4.] 13 30. 1 或16 [提示:设公差为 d,则 a1·(a1+8d)=(a1+2d)2?a1d=d2, a1+a3+a9 a1+a3+a9 13 ∴若 d=0, =1;若 d≠0,则 a1=d,∴ = .] a2+a4+a10 a2+a4+a10 16 3π 7 4 2 31. 解:cos 2α =2cos α -1=-25,∵ 2 <α <2π ,∴sin α =-5,∴ 12 sin 2α =2sin α cos α =-25. 32. (A)证明:(1)取 PD 的中点 Q,连接 EQ,AQ,则 QE∥CD,CD∥AB, 1 ∴QE∥AB.又∵QE=2CD=AB,∴四边形 ABEQ 是平行四边形,∴BE∥AQ. 又∵AQ?平面 PAD,∴BE∥平面 PAD. (2)PA⊥底面 ABCD,∴CD⊥PA.又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,∴AQ ⊥CD.若 PA=AD, ∴Q 为 PD 中点, ∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面 PCD.∵BE∥AQ, ∴BE⊥平面 PCD.

(第 32 题) (B)(1)如图:在△ABC 中,由 E,F 分别是 AC,BC 的中点,得 EF//AB, 又 AB?平面 DEF,EF?平面 DEF,所以 AB//平面 DEF. (2)以点 D 为坐标原 点,直线 DB,DC 为 x 轴,y 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,2),B(2, → 0,0),C(0,2 3,0),E(0, 3,1),F(1, 3,0).平面 CDF 的法向量为DA

→· ? n=0, ?x+ 3y=0, ?DF ? =(0, 0, 2), 设平面 EDF 的法向量为 n=(x, y, z), 即? → ? ?DE·n=0, ? 3y+z=0, → ·n DA 21 → 取 n=(3,- 3,3),cos〈DA,n〉= = 7 ,所以二面角 E-DF-C → ||n| |DA 21 的余弦值为 7 . 2 ?y =4x, 33. 解:(1)由? 得 4x2+4(m-1)x+m2=0,由根与系数的关系 ?y=2x+m, m2 得 x1+x2=1-m,x1·x2= 4 ,|AB|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2,= 1+22 m2 2 (1-m) -4· 即 5(1-2m)=3 5?m 4 = 5(1-2m).由|AB|=3 5, =-4.

(第 33 题) |2a-0-4| 2|a-2| (2)设 P(a,0),P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= 2 = , 5 2 +(-1)2 2·S△ABP 2|a-2| 2×9 1 又 S△ABP=2|AB|·d,则 d= |AB| , = ?|a-2|=3?a=5 或 a= 5 3 5 -1,故点 P 的坐标为(5,0)和(-1,0). ?1?x ?1?x ? ? ? 34. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=1+?2? +? ?4? ,因为 f(x)在(-∞,0)上递减, ? ? ? ? 所以 f(x)>f(0)=3,即 f(x)在(-∞,0)的值域为(3,+∞),故不存在常数 M>0, 使得|f(x)|≤M 成立.所以函数 f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (2)由题意

?1?x ?1?x ? ? ? 知,|f(x)|≤3 在[1,+∞)上恒成立,即-3≤f(x)≤3,-4-?4? ≤a·? ?2? ≤2- ? ? ? ? ?1?x ?1?x ?1?x ? ?1?x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x 所以-4· 2 -?2? ≤a≤2· 2 -?2? 在[0, +∞)上恒成立.?-4· 2 -? ?4? , ?2? ?max≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1?x? 1 1 ? ? ? x x a≤?2· 2 -? ,设 2 = t , g ( t ) =- 4 t - , h ( t ) = 2 t - ?2? ?min t t ,由 x∈[0,+∞)得 ? ? ? ?

t≥1,所以 g(t)在[1,+∞)上递减,h(t)在[1,+∞)上递增,g(t)max=g(1)=- 5,h(t)min=h(1)=1,所以 a∈[-5,1].


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