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向量减法运算及其几何意义


2.2.2《向量减法运算 及其几何意义》

温故知新
1、向量加法的三角形法则

A
a a a a a a a a a a b b b

a+b

b b

B

注意:

b

b

b

b O

“首尾相连”(位移)

2、向量加法的平行四边形法则
a a a a a a a a a a

D
a+b b

b a

C

注意:

b

b

b

b

A

B

各向量“同一起点”(力的合成)

3.向量加法满足交换律及结合律

一架飞机由北京飞往香港,然后再由 香港返回北京,我们把北京记作A点,香港 记作B点,那么这辆飞机的位移是多少?怎样用向 量来表示呢?
北京A

香港

B

像上面例子一样,我们把与a长度相同, 方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记 作 – a。

其中a 和 – a 互为相反向量。

做一做
1、若 a , b 互为相反向量,那么

– b b =____, – a a + b =____ 0 a =____, a 2 、– ( – a)=______ –(a + b) a + b 的相反向量是_______
说明:
? ? b 1、与 b 长度相等、方向相反的向量叫做 的相反向量。
2、零向量的相反向量仍是零向量。 3、任一向量和它相反向量的和是零向量。

探究

同学们,我们前面已经学习了向量的加法运 算,又学习了相反向量。类比减去一个数等于 加上这个数的相反数,你能给出向量减法的定 义吗?

向量减法定义 减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量.
B

a ? b ? a ? (?b)

? b

? ?b
D

A

? a

? ? ? AB ? b AC ? a AD ? -b

? ?C a ?b
E

还有没有其他的做法?

向量减法的三角形法则

B

? b
A

? ? a ?b

? a

C

a

b

O
b

a

A

a ?b

B

特点:1.共起点,连终点,箭头给被减
Remember me

2.减法化加法

探究
? ? 若a, b 为共线向量,怎样作出 a ? b ?
1.共线同向
a

2.共线反向
a

A

C

B

C

? ? ? ? 如图,已知向量 a, b , c , d ,求作向 ? ? ? ? 量 a ? b, c ? d 。
B

学案例题1

D

? a

? b

? d ? c

A

b

d c

? ? ? c?d
C

a
O

练习1
? ? b ,求作 a ? b . 如图,已知 a 、
a

(1) a
b b

(2)
b a
? ? a ?b

a

? ? a ?b

b

例2.化简下列各式
1、

AB ? AC ? CB
AB ? CB ? AC ? AB ? BC ? CA ?0

2、

练习2:选择题
D

C

例3.
? ? AB ? a ,AD ? b , 如图,平行四边形ABCD中, ? ? (1)用a ,b 表示AC 、 DB。
D

C

解:(1)由作向量加法的平行 ? b 四边形法则得: AC=a+b 由向量减法法则: DB=AB-AD=a-b
A

? a

B

D
? ? O (2)若 a ? b ? 8 , ?DAB ? 60, b 8 60° 8 求 a ? b ,a ? b 。 ? a A

C

B

解:

四边形ABCD是菱形
a ? b ? DB ? 8

在RtΔABO中, AO ? 4 3
a ? b ? 2 AO ? 8 3

练习3.解答题

? ? 如图,已知 AB ? a ,AD ? b , ?DAB ? 120? ,

? ? ? ? ? ? 且 a ? b ? 4 ,求a ? b 和 a ? b 。
b 为邻边作 解:以 a , ABCD ? ? 因为 a ? b ? 4 D ? 则四边形ABCD是菱形 b AC ⊥DB 在RtΔABO中,
?OAB ? 60? OA ? 2 OB ? 2 3
C
O

120o A

`

? a

B

a ? b ? AC ? 4

a ? b ? DB ? 4 3

小结
1、向量减法的定义及运算 不共线 2、向量减法的作图 共线

同向
不同向

七、课堂练习
课本Page87,T2,T3.

八、作业布置
课本习题2.2A组第6、7、8题。


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