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1982年第二十三届IMO试题(不含答案)


第二十三届(1982 年) 匈牙利 布达佩斯(Budapest,Hungary)
1. 函数 f(n)定义在所有正整数 n 上,且取值为非负整数。另外,对于所有的 m、 n有 f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或 1,f(2)=0,f(3)>0,以及 f(9999)=3333。判断 f(1982)的值。 (英国) 2. 非等腰三角形 A1A2A3 的边为 a1、 a2、 a3(ai 是 Ai 的对边) 。对于所有的 i=1,2,3, Mi 是边 ai 的中点,Ti 是三角形的内切圆与边 ai 的切点。用 Si 表示 Ti 关于角 Ai 的 角平分线对称的点。求证:直线 M1S1、M2S2、M3S3 共点。 (荷兰) 3. 考虑一个满足下列要求的无限正实数数列{xn}:x0=1,对于所有 i≥0,xi+1≤xi。
2 2 x0 xn x12 a) 证明对于每个这样的数列,都有一个 n≥1 使得 ? ? ? ? ?1 ? 3.999 。 x1 x2 xn
2 x0 x2 x2 ? 1 ? ? ? n ?1 ? 4 对于所有 n 都成立的这种数列。 (苏 x1 x2 xm

b) 找到一个可以使 联)

4. 求证: 如果 n 是一个正整数, 并能够使方程 x3-3xy2+y3=n 有一个整数解 (x, y) , 那么该方程有至少三组整数解。说明当 n=2981 时方程无整数解。 (英国) 5. 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 和 CE 分别被内点 M 和 N 分割,且有

AM CN (荷兰) ? ? r 。如果 B、M、N 共线,求 r 的值。 AC CE 6. 设 S 是边长为 100 的正方形,L 是在 S 内部不自交的系列线段 A0A1, A1A2,
A2A3, ... , An-1An 并且 A0 与 An 不重合。已知对于每一个在 S 边界上的点 P,L 中 存在一个点与 P 之间的距离不大于

1 。求证:L 中存在两点 X、Y,X 与 Y 的距 2

离不大于 1,并且 L 上位于 X 和 Y 之间的部分不少于 198。 (越南)


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