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构造法在数学竞赛中的应用


构造法在数学竞赛中的应用
李芝金
(广西北流市特殊教育学校,广西北流537400) 摘要:构造法是数学学习中重要的思想方法之一,也是训练学生发散思维,培养学生创造意识和创新思维的手段之 一。在数学竞赛中有着广泛的应用,纵观每届数学竞赛都存在不同类型的数学问题应用构造的思想方法来解答及证明。 本文通过构造函数、构造方程、构造图形、构造数列等思想方法举例说明构造法的应用。旨在探讨培养学生的解题思想 方法,训练学生的思维,增强学生的思维的灵活性,开拓性和创造性。 关键词:构造法;数学竞赛;应用



构造法的涵义 构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察,深入

例2:若X,y,z满足z+y+z=l且为非负数,证明: o玉xy+.vz+口一2xy.zs≤;。 (第25届IMO) 分析:已知条件较为含糊,要证明的问题较为复杂, 并且要分情况讨论,若用一个参数u代替xy+yz+zx一2xyz, 即要证明O<-u<三27就可以了。

的思考,构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构 造法的内涵十分丰富,没有完全同定的模式可以套用,它 是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对 具体问题的特点而采取相应的解决办法,基本的方法是: 借用一类问题的性质,来研究另一类问题的思维方法。在 解题过程中,若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难 时,可以启发学生根据题目特点,展开丰富的联想拓宽自 己思维范围,运用构造法来解题也是培养学生创造意识和 创新思维的手段之一,同时对提高学生的解题能力也有所 帮助,下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生 发散思维,谋求最佧的解题途径,达到思想的创新。


证明:令佃;(引(;一刁(引,u=xy+yz+zx-2xyz,

则,”=:,(;)+iI=zl,(匀+i1 l,当x,,,:均不超过三1时,
y,i中只可能有一个大于;,,[割一,”?i1?万7,另一方

也刊学卜,。≤j!?t舶;寺,碱x,L.J
r3

]3.

构造法在数学竞赛中的应用 有些问题生疏隐晦,按其本来面目无从入手。这时,

薯’,f舅:喜:≯2;墨乒:{’B一,1’B—l均不超过;’故恒
函数在我们整个中学数学是占有相当的内容,学生对 于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘 手问题,同时也达到了训练学生的思维,增强学生的思维 灵活性,开拓性和创造性。 2.2构造方程 有些数学问题,经过观察可以构造一个方程,从而得 到巧妙简捷的解答。

解题者应对问题提炼抽象纯化,并根据对应同构原理,对 其进行恰当赋义,构造出一个全新的数学模型,利用获得 新的数学机理,找到有效的解题途径。 2.1构造函数 例l:设x,y为实数,且满足: l(r—1)’+1997(x—1)=-1 I(y—1)3+1997(y-1)=1

则x+),=——。

(高中联赛,1997)

例3:已知P、q∈R,且P’+9’=2。求证:0<p+q≤2。 分析:如果从不等式的观点出发,必须分情况证明: (1)o.‘p+q;(2)p+q≤2。其证明过程不是一个简单的 过程。 现在我们思考能否构造出以P、q为根的一元二次方 程?这样的方程又有什么性质?构造一个一元二次方程, 使P,q作为其各项的系数(或常数项),即可利用As2得 到关于P,q的不等式。 由P3+93=2可以推出(p+可)3—3pq(p+q)=2,设(P+g)

分析:该方程具有一定的对称性,我们可用换元法构 造一个幂函数用解答。 解:把原方程变形为: l(x—1)3+1997(x—1)=一1 I(1一y)3+1997(1一y)=-1

根据方程组的特点,可构造函数坤)=t3+1997t,则由
方程组得,(x-1)=,(1一),)

因为f(t)在(一,佃)上为增函数,所以,X--I=I—y即
x+y=2。

=七,则朋:芝≠,从而p、q是方程xz—h+笔罟:o的两

做完此题,构造函数来解有关方程的问题,方程巧妙 简捷,我们不能不为此方法的妙用而感到惊叹! 收稿日期:2009—06-22修回日期:2009—07一侣 作者简介:李芝金(1976一),男.广西北流籍.小学一级教师.研究方向为特殊教育。

个实数根。因此△:t:一兰≤≯≥o解此不等式可得o<P+

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万方数据

中国西部科技

2009年7月(下旬)第08卷第21期总第182期

整理得:相+6c+叫<k2,从而命题得到了证明。(注: 上述过程是巧妙构造一元二次方程。利用其判别式得 此例的一种特殊情形(k=l时)即为第15届全俄竞赛题:若 工,y,:∈(o,I)贝Ⅱ《l一,,)+州l—z)+zO—x)‘l。

例4:已知实数口,b,c满足a+b+c=圭+÷+二=1,求证:
a,b,c中至少有一个是l。

数形结合法是~种极富有数学特点的信息转换方法, 数学卜总是利用数量的抽象性质来说明形象的事实,同时 又用图形的性质来说明数最的抽象关系。著名数学家、数 学教育家华罗庚先生曾经指出:“数缺形时少直观,形少 数时难入微”,“数彤结合百般好,割裂分家万分休。” 例6:已知a,13为锐角,且3sin2 0‘+2sin213:1,3sin2a+ 2sin2p=0。求证:Q+2p={。 分析:此题若仅限于三角式的变形,则将陷入歧途,

分析:可由题目已知条件改写为口+6+弘—abi+brc+ca=l,
fa+6+c=1, {口6+6c+c口=tn, Iabc=m(m≠O).

经整理,已知条件又可改写为

由韦达定理的逆定理可知口,6,C是方程矿一x2+懈一州
:0的三个根,而x=l显然是其中一个根,故知口,b,c中至 少有一个是l。 本题的解法妙处在于从题同的己知条件出发,经过变 换已知条件,利用韦达定理的逆定理构造出一个方程。 2.3构造图形 在解答某些数学问题过程中,常常可以根据题目特 征,联想有关定理或命题,适当地构造几何图形,巧妙地 运用几何知识或方法,化抽象为形象,借助直观启发思 维,达到另辟蹊径,难题巧解的目的。我们不妨把这种方 法称为“构造图形法”。 采用构造图形法对一些不涉及图形的问题,若能根据 题目的结构,联想、挖掘出它的几何背景,构造几何模 型,把代数问题转化为几何问题,往往能峰凹路转。解法 来得直观、形象、清晰。 例5:正数口,b,C,A,B,C满足条件a+A=6+B=C+C=k. 分析:可将题目中的条件赋予“形”的解释(赋予构 造图形),则可构造反映题目要求的几何模型。 证明:以k为边长构造一个正三角形,如图1。

仔细观察,发现已知第_个式町变形为孟云2孟丢,这类
似于正弦定理,如果能构造出一个AdBC,使“=2a.ZB =2B,AC=3,BC=2,则只需证明AB=AC,就有Bc边上的高平

分“,问题获证。
为能构造出AdBC,首先证缸,2p为锐角。
因为3sin20f.+2sin2 B=l,所以cos213=1—2sin2 B=
3sin2a卜0,COS2a=l一2sin20r,=sin2 0c+2sin2

B卜0,故20c,

2p均为锐角,可构造出如图2的AABC,其中AC=3,BC=2,

ZBAC=2a,皿=2p,过点C作CE上AB于点E,则/_B=2p。
AB=AE+BE=3cos2a+2cos213=3(1—2sin2a)+2(1—2sin2 13) =5-2(3sin2if,+2sin


13)=5…2



AC,所以AABC为等腰三

角形,作BC上的高AD,-在RtAADC中,易证0【+2p=三?




么∑




圈2



结论 由以上例解可见,构造图形法解题的思想是非常巧妙

的,使学生掌握这种技巧,无论对提高学生的解题技能, 还是培养学牛的创造性思维能力都是大有裨益的。


利用构造思想方法,小是直接解决原问题,而是构造 一个与原问题有关或等价的新I’日J题,新问题得到解决的时

令正三角形ABc的面积为s,则(由正弦定理得):
S。IBC k2 sin00。

候原问题亦获解。构造思想是一种很活跃的创造性思想方 法,它能沟通数学各个不同分支,甚至还能沟通数学与其 他学科,实现跨度极大的问题转化。
参考文献: [1]陈传理。张同君.竞赛数学[M].北京:高等教育出版社,2005,4. [2]汤服成.中学数学解题思想方法[M].桂林:广西师范大学出版 社,2005,1.

s=圭相sin60。、是=j1 6csin60。、s=三利sin60。
S+S2+S<SJ”

即三aBsin∞。+三acsin印。+;叫stn∞。<三t%n60。
(上接第65页)划,集中力量从根本上解决高校的共同面 对的发展问题。 2.6韶山日益改善的基础设施和发展环境是韶山毛泽东大 学城建设的重要环境保障 近年来,在中央和省、市的高度重视下,特别是通过

白bc‘‘ltll,’ooooc【ti●l簟,'oaooc【tl●,’’oaooc‘tl●t,'3aooo仪tl■l,'ooooo‘tt纛暮|!;曼苎垄垒旦篓!墨薹蔓曼,'哩堕蔓葛'
“一号工程”的实施,韶山的城市交通、水利、电网和市 政基础设施有了明显的改善,发展环境得到了进一步优 化,韶山高速的开通,把韶山到长沙的通行时间缩短为 45分钟,使韶山具备了建设毛泽东大学城的基本条件。
参考文献:(略)

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构造法在数学竞赛中的应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 李芝金 广西北流市特殊教育学校,广西,北流,537400 中国西部科技 SCIENCE AND TECHNOLOGY OF WEST CHINA 2009,8(21) 0次

参考文献(2条) 1.陈传理.张同君 竞赛数学 2005 2.汤服成 中学数学解题思想方法 2005

相似文献(10条) 1.期刊论文 彭培年 浅谈构造法在数学竞赛中的应用 -科技信息(科学·教研)2007,""(31)
解决数学问题的方法很多,构造法是其中一种十分重要的基本方法.本文简明地指出了构造法的关键以及利用构造法解决数学问题应具有的观察问题 、分析问题、联想、转化等能力.并将引入特殊例题来介绍构造法的妙用,为中学数学教学中渗透构造法提供一点参考.

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3.期刊论文 何念如.陈艳.HE Nian-ru.CHEN Yan 构造法在解数学竞赛题中的运用(一) -中等数学2005,""(8)
解题通常是指,在问题给定的系统里由题设推出结论.但对某些问题,直接推理有时不能顺利进行,因而,不得不寻求某种中介工具沟通条件与结论的联 系.解题的中介工具往往隐含在题设条件之中,需要我们去发现、去解释、去构造.这种通过构造题目本身所没有的解题中介来解题的方法,就是构造法 [1].

4.期刊论文 刘树军 数学竞赛中最值问题的构造法 -内蒙古科技与经济2001,""(3)
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5.期刊论文 蔡小雄 构造法解数学竞赛中的三角问题 -中学数学月刊2001,""(2)
思维的创造性主要表现在合理地运用逻辑思维、形象思维和直觉思维等多种思维方式,使有关信息有序化并达到积极的效果.思维创造性在解题中主 要表现为能够运用题设条件,构造出新颖独特、突破常规与灵活变通的等价命题.因此,构造法正是以创造性思维为依托,以数学关系为"支架"的一种独特 的解题方法.

6.期刊论文 张加臻 利用构造法解数学竞赛题 -教育实践与研究2002,""(8)
通过构造熟知的数学模型,化繁为简,化难为易,使得问题通俗化、简单化.

7.期刊论文 费振鹏 数学竞赛中的计数问题 -中等数学2004,""(3)
组合数学中的计数问题是数学竞赛题中的熟面孔,看似不足为奇,但在具体解题时,常会使同学们无所适从.对于这类问题,往往要先通过构造法描绘出 对象的简单数学模型,再借助在计数问题中常用的一些数学原理方可得出所求对象的总数或其范围.

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9.期刊论文 王桂青 初中数学竞赛中的构造法分析 -考试周刊2007,""(Z1)
什么是构造法?构造法是运用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得到解决.构造法的内涵十分丰富,没 有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法.

10.期刊论文 朱华伟 构造法在数学竞赛中的应用 -中等数学2010,""(4)
(本讲适合初中) 解答数学问题时,常规的思考方法是由已知到结论的顺向思考,或由结论到已知的逆向思考.但无论是顺向思考还是逆向思考,在解题思路上都不能保证一 帆风顺,有时会遇到一些障碍.此时,同学们可以通过构造适当的辅助量(如图形、方程、等式、函数等)来帮助解决困难,使问题中原来隐晦不清的关系和 性质在新的构造过程中清晰地展现出来,从而简捷地解决问题.

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