当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的概念(老师)


课时 6:函数的概念
教学目标
1.理解函数的定义;明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2.会用直接法求函数的定义域、值域,会根据解析式求某一函数值
王新敞
奎屯 新疆

教学重点:理解函数的概念; 教学难点:函数的概念 教学过程:
一、对函数概念的理解。 一般地,设 A,B 是两个非空的数集,如果

按某种对应法则 f,对于集合 A 中的每一个元素 x,在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记为 y=f (x),x ∈A. 其中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y=f (x)的定义域. 函数的近代定义:集合语言、对应的观点. 在掌握函数时,必须把握以下几点: (1)函数是一种特殊的对应: f : A ? B ,集合 A,B 是非空的数的集合. (2)对应法则的方向是从 A 到 B. (3)特别注意“非空” 、 “数集” 、 “每一个” 、 “惟一”这几个关键词. 若 A 是函数 y ? f ( x) 的定义域,则对于 A 中的每一个 x,在集合 B 都 有一个值输出值 y 与之对应.我们将所有的输出值 y 组成的集合称为函数 的值域. 因此我们可以知道:对于函数 f : A ? B 而言,如果如果值域是 C, 那么 C ? B ,因此不能将集合 B 当成是函数的值域. (4)允许多对一,不允许一对多; (5) 对应关系可以有多个 : 分段函数是一类特殊的函数 , 它的特殊性主要体现在对应关系有多个 .
? x 2 ? 4 x, ? x ? ?2?, ? 如, f ( x) ? ? x ? x ? ?2? . ? , ?2
王新敞
奎屯 新疆

A

B
f

x

C
f ( x)

二、求函数的定义域: 1.求具体函数的定义域.一般地,常见函数定义域的确定原则有①分式型函数的分母不为零;②开偶 次方的被开方数大于或等于零;③ a 0 ? 1 中 a ? 0 ,即零的零次幂无意义. 例 1 求下列函数的定义域:(1) f ? x ? ?
3 x?3 0 ; (2) y ? ? ?1 ? x ? . 2x ?1 1? 1? x

解析 : 求具体函数的定义域时 , 要结合以上原则全面考虑各个条件 .(1) 要使原函数有意义 , 须满足
1 ? 2x ?1 ? 0 ,即 x ? ,所以原函数的定义域为 ? x | x ? R且x ? 2 ?
? 1 ? x ? 0, 1? ? ? ;(2)要使原函数有意义,须满足 ?1 ? 1 ? x ? 0, 2? ? ?1 ? x ? 0

解得 x ? 1且x ? 0 ,所以原函数的定义域为 ? ??,0 ?

? 0,1? .

2. 求复合函数的定义域 . 求这类函数定义域的原则为 :①若已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b? , 要求
1

y? f ? ? g ? x ?? ? 的定义域 , 只需求出满足 a ? g ? x ? ? b 的 x 的取值范围即可 ;②若已知 f ? ? g ? x ?? ? 的定义域为

? a, b? ,要求 y ? f ? x ? 的定义域,只需求出当 x ? ?a, b? 时, g ? x ? 的取值范围,即 g ? x ? 的值域即可.
例2 (1)已知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ?1, 2? ,求函数 y ? f ? 2 x ? 1? 的定义域;

(2)已知函数 y ? f ? x ? 1? 的定义域是 ? 2, 3? ,求函数 y ? f ? x ? 的定义域. (3)已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域是 ? 2, 3? ,求函数 y ? f (5 ? 2 x) 的定义域. 解析:函数的自变量是一个不受别的变量的约束,能自主变化的量。因为 1 ? x ? 2 ,所以 1 ? 2x ?1 ? 2 , 解得 1? x ?
3 , 所 以 函 数 y ? f ? 2 x ? 1? 的 定 义 域 为 2

? 3? 3? , 所 以 ?1, 2 ? .(2) 因 为 y ? f ? x? 1? 的 定 义 域 是 ? 2, ? ?

4? .(3)分析:函数的定义域是自变量的取值范 2 ? x ? 3 ,所以 3 ? x ?1 ? 4 ,所以函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ?3,

围,所以求定义域首先要确定谁是自变量,在本题中虽然有“ x ? 1 ”和“ 5 ? 2 x ”两个变量,但它们都不能 自主变化 , 而是因 x 的变化而变化 , 所以 ,x 才是自变量 . ∵ y ? f ( x ? 1) 的定义域是 ? 2, 3? , 即 x ?? 2, 3? , ∴
x ? 1? ?3, 4 ? .∴ 5 ? 2 x ? ?3, 4? .
?1 ? ?1 ? 1? .故函数 y ? f (5 ? 2 x) 的定义域为 ? , 1? . ∴ x?? , 2 ? ? ?2 ?

三、定义域在解题中的应用. 只要涉及有关函数的问题,我们都不能忽视对定义域的考虑,否则容易导致解题的错误. 1.忽略实际意义导致解题错误. 例3 已知等腰三角形周长为 20cm,试写出底边长 y 与腰长 x 之间的函数关系式( x 为自变量).
? x ? 0, 解得 0 ? x ? 10 .所以 ? y ? 20 ? 2 x ? 0

错解:由 2 x ? y ? 20 得 y ? 20 ? 2 x. 由于三角形的边长为正数,所以 ? 所求函数为 y ? 20 ? 2 x ? 0 ? x ? 10? .

解析:本题要求函数关系的解析式是不难的,三角形的边长大于零也容易考虑到,但是极易忽略“三角
? x ? 0, ? 形两边之和大于第三边”,因此,求此函数的定义域的正确解法是,由 ? 20 ? 2 x ? 0, 解得 5 ? x ? 10 .所以所求 ? 2 x ? 20 ? 2 x ?

函数为 y ? 20 ? 2 x ?5 ? x ? 10? . 评注:在解决函数实际应用问题时,要结合实际问题,挖掘函数的定义域,切不可忽视定义域的条件限 制作用. 2.忽略隐含条件导致错误. 例4 非负实数 x, y, z 适合关系式
x ?1 y ? 2 z ? 3 ,求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值. ? ? 4 3 3

错 解 : 设

x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? ? k , 则 x ? 4k ? 1, y ? 3k ? 2, z ? 3k ? 3, 代 入 欲 求 式 并 整 理 4 3 3
2 2 2

得: x 2 ? y 2 ? z 2 ? ? 4k ? 1? ? ? 3k ? 2 ? ? ? 3k ? 3? ? 16 ? k ?

? ?

19 ? 9 19 2 2 2 ? ? 26 , 所以当 k ? ? 时, x ? y ? z 取得最小 16 ? 16 16
2

2

值为 ?26

9 . 16

解析:错解是将原式化为一个关于 k 的二次函数,再求这个二次函数的最小值,方法是正确的.但在解 题中却忽视了这个关于 k 的二次函数的定义域.事实上,在转化过程中对 k 应有所限制,才能保证 x, y, z 为 非负实数.若取 k ? ?
19 时, x, y, z 都是负数了,不满足原函数的定义域 .正确的解法应先保证 x, y, z 为非负 16

实数,求得 k 的限制范围,然后再求其最小值.由 4k ? 1 ? 0,3k ? 2 ? 0,3k ? 3 ? 0, 解得 k ? 1 .所以,关于 k 的二次 函数的定义域是 ?1, ??? ,结合图形可知,当 k ? 1 时, x 2 ? y 2 ? z 2 取得最小值 50. 评注:解题时,对定义域的处理应特别慎重,否则容易出错.例如,本题的错解实质上是在换元过程中忽 视所引入的变量 ? k ? 与原自变量 ? x, y, z ? 之间的关系而导致的. 四、简单值域的求法. 例 5 求下列两个函数的定义域与值域: (1)f (x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}; (2)f (x)=( x-1)2+1.

解(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},f(-1)= 5,f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5, 所以这个函数的值域为{1,2,5}. (2)函数的定义域为 R,因为(x-1)2+1≥1,所以这个函数的值域为{y∣y≥1}. 例6 求下列函数的值域: (2) y ?
3x ? 1 ; x ?1

(1) y ? x 2 ? 4 x ? 6 , x ? [1 , 5) ;

解:(1) y ? ( x ? 2) 2 ? 2 . 作出函数 y ? x 2 ? 4 x ? 6 , x ? [1 , 5) 的图象, 由图观察得函数的值域为 { y | 2 ≤ y < 11} . (2)解法一: y ? 解法二:把 y ?
3( x ? 1) ? 4 4 4 ? 3? ,显然 可取 0 以外的一切实数,即所求函数的值域为 {y|y≠3} . x ?1 x ?1 x ?1
3x ? 1 看成关于 x 的方程,变形得(y-3)x+(y+1)=0,该方程在原函数定义域 {x|x≠-1} x ?1

? ?y-3≠0, 内有解的条件是? y+1 ,解得 y≠3,即即所求函数的值域为{y|y≠3}. ?-y-3≠-1 ?
反思:(1)求函数值域是一个难点,应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法; (2)求二次函数在区间上的值域问题,一般先配方,找出对称轴,在对照图象观察.

3

课时 7:函数的图象与表示方法
一、表示函数的方法:常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析 式.例如, s ? 60t 2 , y ? x ? 2 ? x ? 2? 等等都是用解析式表示函数关系的. 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应 的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如:学生的身高: 单位:厘米 学号 身高 1 125 2 135 3 140 4 156 5 138 6 172 7 167 8 158 9 169

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里的利息表,列车时刻表等等都是用列表法来表 示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线 ,课本中我国人口出生率变化的曲线 ,工厂 的生产图象,股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点:能直观形象地表示出自变量的变化 ,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来 研究函数的某些性质. 二、函数的图象 例 1 下列图象哪些是函数图象?那些不是?为什么? y y y y

3

3

3

3

O 3 x 例 2 试画出下列函数的图象: 3 3x-1 (1)y= (—1≤x≤2,且 x∈Z); 2 解:图象如下:
y

O

x

O

3

x

O

3

x

(2)y=|2x-1|;
y

(3)y=x2-4x+3(1≤x≤3) .
y

-1

O x

O 1 -1

x 1

O 1

3

x

(1)

(2)

(3)

反思:做函数的图像,主要是描点法,要注意函数的定义域,如 (1) ,定义域是一些整数构成的集合,图像
4

是一些孤立的点,如(3),图像是一抛物线的一部分. 例 3 作出下列函数的图象: x (1)y= ; x+1 解:(1) y= (2)y=|x2-2x-3|.

x 1 1 =1- ,此函数图象可看作把函数 y=- 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 x x+1 x+1

?x2-2x-3,x≤-1或x≥3, 1 个单位所得. (2)y=|x2-2x-3|=? 2 ?-(x -2x-3),-1<x<3. y y

分别作出图象如下:
2 1 -1 o x O -1 1 3 x

反思:函数 y=f(x)的图象和函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称;函数 y=|f(x)|的图象可以看作将 y=f(x) 的图象在 x 轴下方的部分对折到 x 轴上方(并保持在 x 轴上方的图象不变)得到. 三、求函数的解析式 例 4 (1)已知: f ( x) =x ?x+3 解:f(
2

求:f(x+1), f(

1 ) x

1 1 2 1 2 2 )=( ) ? +3;f(x+1)=(x+1) ?(x+1)+3=x +x+3 x x x
2

(2)已知函数 f ( x) =4x+3,g(x)=x ,求 f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]. 解:f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15;f[g(x)]=4g(x)+3=4x +3; g[f(x)]=[f(x)] =(4x+3) =16x +24x+9;g[g(x)]=[g(x)] =(x ) =x . 反思:这一方法,根据 f(x)的定义而直接求 g(x)的解析式,称直接法 例 5 已知 f(x)是 x 的一次函数,且 f[f(x)]=4x-1,求 f(x) 解:设 f(x)=ax+b(a≠0),则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a x+ab+b=4x-1 有
? a ? 2, 2 ? a 2 ? 4, ?a ? ?2, ? 解得 ? ∴f(x)=2x- 或 f(x)=-2x+1 2 或? ? b ? ? , ? b ? 1. 3 ?ab ? b ? ?1, ? 3 ?
2

2

2

2

2

2

2

2

4

反思:象这样已知 f(x)的结构形式时,可以先设成其结构式(如 :一次函数设为 ax+b,二次函数设为 ax2+bx+c,其中 a≠0),在根据条件求出相应的系数,代回到原设的式子中,而得出解析式,这一方法称待定 系数法. 例 6 已知 f(2x+1)=5x+3,求 f(x). 解:[方法一]f(2x+1)=

5 5 (2x+1)+32 2

∴f(x)=

5 1 x+ 2 2

反思:该题因为左边自变量为 2x+1,右边也变成含有它的式子,这一方法称拼凑法,拼凑的技巧是“先 写后算”,即先写上要拼凑的结果 2x+1,再看多算了什么,进行加、减、乘、除四则运算,以保持式子的值
5

相等. [方法二]设 2x+1=t ? x=

t ?1 t ?1 5 1 ,f(t)=5 +3= t+ 2 2 2 2

∴f(x)=

5 1 x+ 2 2

反思:这一方法是将 2x+1 看作一个变量 t,称代换法,这也是已知 f[g(x)]的解析式求 f(x)解析式的一种 方法. 例 7 对一切非零实数 x,有 f(x)+2f( 解:由 f(x)+2f(

1 )=3x ① x 1 2 由①②消去 f( )得 f(x)= -x(x≠0) x x

1 )=3x,求 f(x) x 1 1 1 以 代替 x 得 f( )+2f(x)=3 x x x



反思:当发现“f”作用下,仅有 x 及另外一个与 x 有关的式子时,可以用该式代替 x,得到另一个关 系式,消去其他即可得到 f(x)的解析式,这一方法与解方程组方法类似,称消去法. 四、课堂小结:求 f(x)解析式的常用方法有 1.直接法 2.待定系数法:已知 f(x)的结构形式时 3.拼凑或换元法:已知 f[g(x)]解析式求 f(x)解析式时 4.代入消元法:当“f”作用下,时,仅有 x 及另外一个与 x 有关的式子,可以用代换法得到另一式,消去 其他,解出 f(x) 课后作业: 1.已知 f(x)= ?

?1( x ? 0) f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ,求 g(x)= 的解析式 x ?0( x ? 0)
? 0?0 ? 0( x ? 1) ? x ? 1? 0 1 g(x)= ? ? (1 ? x ? 2) ? x x ? ? 1 ? 1 ? 2 ( x ? 2) ? x ? x
2

分析:f(x)是分类定义的,相应的 f(x-1)与 f(x-2)也是分类定义的

解:f(x-1)= ?

?1( x ? 1 ? 0 ? x ? 1) ?1( x ? 2 ? 0 ? x ? 2) ,f(x-2)= ? ?0( x ? 1 ? 0 ? x ? 1) ?0( x ? 2 ? 0 ? x ? 2)

2.若 f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ,求 f(x) 3.若 f ( ) ?

王新敞
奎屯

新疆

答案: f ( x) ? x ? 1 (x?0 且 x?1)

(x≥1)

1 x

x 1 求 f(x). 答案:f(x)= 1? x x ?1

6

函数的概念及表示方法测试题
一.填空题(本大题共 10 小题,每题 5 分) 1. 若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ,则 f (3) =________. 2.函数 y ?

5 x?2 的定义域________. x = 150 - 50(t - ) = 2 2 x ?4
2

2. {x x 贡 2} 提示: x - 4 罐0 3.下列四组函数表示同一函数的一组是

x 贡 2 ,故定义域为 {x x 贡 2}.
.

x2 - 9 ① f (x ) = , g(x ) = x + 3 ;② f (x ) = ( x )2 , g(x ) = x- 3
③ f (x ) =

x2 ;

1 x2 g ( x ) = ; ;④ f (x ) = ( x )2 , g(x ) = x . 4 2 x2 + 3 x + 3x

3.提示: ① f (x ) =

x2 - 9 = x + 3,(x x- 3

3) ,g(x ) = x + 3 定义域为全体实数, 两个函数定义域不同;

② f (x ) = ( x )2(x ③ f (x ) =

0) , g(x ) =
R ) , g(x ) =

x2 = x ,x

R ,两函数解析式不同;
0) 两函数定义域不同;④两函数解析

1 (x 2 x + 3

x2 1 = 2 (x 4 2 x + 3x x + 3

式相同,定义域也相同故两函数为同一函数. 4. 若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x ) 的定义域为________. 4. [0, 5] 提示:由题意可知 0 #x
2

4 ,则 0 ? x 2

1


5 ,故函数 f ( x) 的定义域为 [0, 5] .

5. 下列图象中能表示函数 y= f ? x ? 的有

① ② 5.①④.提示:根据函数的定义可判断。
2





6.函数 y ? x ? 2 x ? 1, x ?[?1,3) 的值域为_______. 6. [- 2, 2] 提示: 该二次函数开口方向向上, 对称轴为 x = 1 , 故函数的最小值为 - 2 , 当 x = - 1 时,

函数有最大值为 2 ,故函数的值域为 [- 2, 2].

7

7.定义运算 a * b = ? í

ì ? a, a ? b, ? b, a > b, ? ?

则对任意 x ? R ,函数 f (x ) = 1 * x 的解析式为

.

? 7. f (x ) = ? í

斐 1, x

1

? x, x < 1 ? ?

提示:若 x ? 1 ,则 f (x ) = 1 ;若 x < 1 ,则 f (x ) = x .

8.若函数 f (x ) = x 2 + 1 , g(x ) = x + 2 ,则 f [g(2)] =

.

8.17 提示:由题意 g(2) = 2 + 2 = 4 ,则 f [g(2)] = f (4) = 42 + 1 = 17 . 9.若函数 f (x ) 满足 f (x ) + f (y ) = f (xy ) ,且 f (3) = a , f (2) = b ,则 f (36) = 9. a b
2 2

.

提示:由题意知 f (6) = f (2) ? f (3)

ab ,则 f (36) = f (6) ? f (6)
.

ab ?ab

a 2b2 .

10.若 f (x ) = í

ì f (x + 2), x < 2 ? ? ,则 f (0) 的值为 ? x - 1, x 2 ? ?

10.1 提示:由题意 f (0) = f (0 + 2) = f (2) = 2 - 1 = 1 . 二.解答题(本大题共 3 小题) 13.已知 A 、 B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后以 50 千米/小时的速度返回 A 地,求汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t (小时)的函数表达式. 13. 解析:由题意当 0 #t

5 5 时, x = 60t ,当 < t 2 2

7 7 时,则 x = 150 ,当 < t 2 2

13 时, 2

5 ì ? ? 60t , 0 #t ? 2 ? ? ? 7 5 7 x = 150 - 50( t - ) = 325- 50 t 。故 x = ? í 150, < t ? 2 2 2 ? ? ? 7 ? 325 - 50t , < t ? ? 2 ?

.

13 2

14.已知 f (x ) 的定义域为 [- 2, 3] ,求函数 g(x ) = f (x ) + f (2x - 5) 的定义域.

x 14. 解 析 : 由 f (x ) 的 定 义 域 为 [- 2, 3] , 则 - 2 ? 2

5

3 则 ,

3 #x 2

4 , 故

g( x )=

f ( x+ )

? 2 #x 3, ? ? ? f( 2x 的定义域为 5) 尬x í3 ? #x 4, ? ? ?2
2 4 3 5

3 [ , 4]. 2

15.某大学教师将每周的课时数列表如下: X(星期) Y(节次) 1 2 4 3 5 1

则在这个函数中,求其定义域和值域。 15.解析:自变量为 X,故其定义域为 { 1, 2, 3, 4, 5},变量为 Y,故其值域为 { 1, 2, 3, 4, 5}.

8


相关文章:
函数的概念(老师)
函数的概念(老师)_数学_高中教育_教育专区。课时 6:函数的概念教学目标 1.理解函数的定义;明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2.会用直接法求函数...
函数的基本概念(老师用)
函数的基本概念(老师用)知识要点: 1.函数的概念:记法 y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3.函数的表示方法:(1)解析法:(2)图象法:...
函数的概念与表示法 老师用
第四讲 函数的概念与表示法 ¤学习目标: 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的 重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,...
函数的概念(老师)
奇偶性(老师) 6页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 函数的概念(老师) 高一教案高一教案隐藏>> ...
高一数学必修一第二讲函数的概念 意义概念(老师)
高一数学必修一第二讲函数的概念 意义概念(老师)_数学_高中教育_教育专区。欧博...[解析]对于(1) ,求该函数的函数值,要本着“先内后外,逐层击破”的原则。...
1.2.1函数概念(教师版)
1.2.1函数概念(教师版)_数学_高中教育_教育专区。教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 〖回答〗设在一...
数学高一(上)(函数的概念)教师版
数学高一(上)(函数的概念)教师版_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学高一(上)(函数的概念)教师版_数学_高中教育_教育专区。课 ...
函数的概念教案1
计算机和投影仪 多媒体展示内容 教师教学 学生活动 和学习 活动与教学目 的 初中函数的概念: 初中函数的概念: 知识回顾 在一个变化过程中有两个变量x 变化过程...
第二单元 函数的概念及其性质(教师用卷)
第二单元 函数的概念及其性质(教师用卷)_数学_高中教育_教育专区。全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二) 第二单元 函数的概念及其性质 150 分) (...
更多相关标签:
函数的概念 | 函数的概念ppt | 函数的概念说课稿 | 函数的概念教案 | 函数的概念教学设计 | 初中函数的概念 | 二次函数的概念 | 26.1二次函数的概念 |