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高中不等式的性质练习题1


高中不等式的性质练习题 1
1.设 a, b ? R , 则 “ (a ? b)a 2 ? 0 ”是“ a ? b ”的__________. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:若 (a ? b)a 2 ? 0 ,则 a ? b ;若 a ? b ,则 (a ? b)a 2 ? 0 ,所以

“ (a ? b)a 2 ? 0 ” 是“ a ? b ”的充分而不必要条件,故选 A. 考点:1.不等式的性质;2.充分必要条件. 2.对于任意实数 a, b, c, d ,下列五个命题中: ①若 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc ; ②若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 ; ③若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b ; ④若 a ? b, 则

1 1 ? ; a b

⑤若 a ? b ? 0, c ? d ,则 ac ? bd . 其中真命题的个数是( A.1 B.2 【答案】A 【解析】 ) C.3 D.4

试题分析: a ? b, c ? 0 ,当 c ? 0 时, ac ? bc 不成立,①是假命题;

a ? b ,当 c ? 0, c2 ? 0 时, ac2 ? bc 2 不成立,②是假命题;
2 2 因为 ac ? bc ,所以, c 2 ? 0 , a ? b ,③是真命题;

a ? b, 当 a , b 同号时,

1 1 1 1 ? 成立,而 a , b 异号时, ? 不成立,④是假命题; a b a b

a ? b ? 0, c ? d 时, ac ? bd 不一定成立,只有当 a ? b ? 0, c ? d ? 0 时, ac ? bd 成
立,⑤是假命题。 故选 A. 考点:不等式的性质 2 3.对一切实数 x,不等式 x +a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-2,+ ? ) B.(- ? ,-2) C.[-2,2] D.[0,+ ? ) 【答案】A 【解析】 试题分析: x ? a x ? 1 ? 0 对一切实数 x,恒成立.
2

)

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当 x ? 0 时, 1 ? 0 恒成立. 当

x?0 时 ,

x2 ? a x ? 1 ? 0 ? a x ? ? x2 ? 1

?a?

? x2 ?1 1 ?? x ? x x

? ?( x ?

1 ) x 1 ) 的最大值为-2, 故 a ? ?2 x

因为 y ? ?( x ?

考点:恒成立问题,及参数分离法. 4.如果 a ? b ? 0 , 那么 ( )

A. a ? b ? 0 【答案】D 【解析】

B. ac ? bc

C. a ? b
2

2

1 1 ? D. a b

试题分析:利用不等式的性质: a ? b ? 0 ? 考点:不等式的性质。 5.不等式 lg x2 ? lg 2 x 的解集是 ( A. ( )

1 1 ? ?0 b a

故选 D

1 ,1) 100

B. (100, ??)

C. (

1 ,1) 100

(100, ??)

D. (0,1)

(100, ??)

【答案】D 【解析】 试题分析:由 lg x2 ? lg 2 x ? 2lg x ? lg 2 x

? lg x ? 2 或 lg x ? 0 ? x ? 100 或

0 ? x ?1
考点:不等式性质及对数运算. 6.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( A. ) D. a ? 2b
2

a ? b2

B.

1 1 ? a b

C.

1 1 ? a b

【答案】A 【解析】 试题分析:由 ?1 ? b ? 1 ? 0 ? b ? 1 , 又 a ? 1 , ? a ? b 故选 A
2 2

考点:不等式的性质及应用. 2 2 7.已知命题 p:“? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“? x∈R”,x +2ax+2-a=0, 若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤-2 或 a=1 B.a≤-2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1
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【答案】A 【解析】 试题分析:命题 p 为真命题时,要使? x∈[1,2],x -a≥0,只需 a ? ( x2 )min ,因为
2

x∈[1,2]所以 1 ? x 2 ? 4 ,所以 ( x2 )min ? 1 ,所以 a ? 1 ①;命题 q 为真命题时,“? x∈R” , x + 2ax + 2 - a = 0 , 即 x + 2ax + 2 - a = 0 有 实 数 根 , 所 以
2 2

??( 2 a 2) ? 4 ( ?2 a ? ) ,解得 0 a ? ?2或a ? 1 ②。因为“p∧q”是真命题,所以 p,q
均为真命题。①②取交集得 a≤-2 或 a=1 ,故 A 正确。 考点:命题及不等式 2 2 8.已知命题 p:“? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“? x∈R”,x +2ax+2-a=0, 若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤-2 或 a=1 B.a≤-2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1 【答案】A 【解析】 试题分析: 命题 p 为真命题时, 要使? x∈[1,2], x -a≥0, 只需 a ? ( x )min , 因为 x∈[1,2]
2

2

2 所以 1 ? x ? 4 ,所以 ( x )min ? 1 ,所以 a ? 1 ①;命题 q 为真命题时,“? x∈R”,x

2

2

+2ax+2-a=0,即 x +2ax+2-a=0 有实数根,所以 ? ? (2a)2 ? 4(2 ? a) ? 0 ,解
2

得 a ? ?2或a ? 1 ②。因为“p∧q”是真命题,所以 p,q 均为真命题。①②取交集得 a≤ -2 或 a=1 ,故 A 正确。 考点:命题及不等式 9.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定成立的是( ) A.

1 1 ? a ?b b

B. a ? ab
2

C. a ? b
a

a

D.

|

b | b | ?1 |? a | a | ?1

【答案】D 【解析】 试题分析:当 a ? ?2 ? b ? ?1 ? 0 时, 不成立, 又

1 1 1 ? , a a ? ? b a ? 1 ,? 选项 A 、 C 都 a ?b b 4

a?b?0



? a 2 ? ab



?





B











|

b | b | ?1 b | b | ?1 |b|?|a| ?b? a |? ? ? ? 0 ,即 | |? 成立. a | a | ?1 a | a | ?1 | a | (| a | ?1) | a | (| a | ?1)
) .

考点:不等式的性质. 10.如果 a、b、c 满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0 ,那么下列选项不恒成立的是( (A) ab ? ac
2 2 (B) cb ? ab

(C) c ? b ? a ? ? 0

(D) ac ? a ? c ? ? 0

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【答案】B 【解析】 试题分析: c ? a 且 ac ? 0 ,故 c ? 0, a ? 0 ,由不等式的性质知 A,C,D 都恒成立,只 有 B 不恒成立,故选 B. 考点:不等式的性质.
* 11.集合 S ? {? x, y, z ? x、y、z ? N ,且 x ? y ? z 、 y ? z ? x 、 z ? x ? y 恰有一个

成 立 } ,若 ? x, y, z ? ? S 且 ? z, w, x ? ? S ,则下列选项正确的是( (A) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S (C) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S 【答案】B 【解析】 试题分析:从集合 S 的定义, ? x, y, z ? ? S 可三个不等式, ? z, w, x ? ? S 也可得三个不 等式,组合之后可知 x, y , z , w 满足不等关系 x ? y ? z 且 x ? z ? w ,或 x ? y ? z 且 w? x? y, x 且 z ? w? x , y 且 z ? w? x , 或 y ?z ? 或 z ?x ? 这样可能有 y ? z ? w 或w? y ? z 或 y ? z ? w或w? x ? y , 于是 ? x, y, w? ? S 不一定成立, ? y, z, w? ? S 也 不一定成立,故 A,C,D 都不能选,只能选 B. 考点:不等关系. 12.若 a 和 b 均为非零实数,则下列不等式中恒成立的是( A. ) )

(B) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S (D) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

|a?b| ? 2

| ab | .

B.

b a ? ? 2. a b

C. ( a ? b)( 【答案】D 【解析】

1 1 ? ) ? 4. a b

D.

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) . 2 2

试题分析: ( A) 令 a ? ?1, b ? 2 ,则

a?b 2

?

a?b 1 , ab ? 2 ,于是 ? 2 2

ab ;

( B ) 令 a ? ?1, b ? 2 ,则

b a 5 ? ? ? ? 2; a b 2

1 ?1 1? (C ) 令 a ? ?1, b ? 2 ,则 ?a ? b ?? ? ? ? ? ; 2 ?a b?
(D)

a 2 ? b 2 ? 2ab ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? a 2 ? b 2
2

?

?

?

?





2?a ? b
2

? ? ?a ? b?2 ,两边同乘以 1 得 a
4

2

? b2 a?b 2 ?( ) . 2 2

考点:基本不等式

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13.已知 a, b, c ? R ,给出下列命题: ①若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 ;②若 ab≠0,则 其中真命题的个数为( ) (A)3 (B)2 【答案】C. 【解析】

a b ? ? 2 ;③若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ; b a
(D)0

(C)1

试题分析: 当 c ? 0 时, 所以①为假命题; 当 a 与 b 异号时, ? 0 , ? 0 , ac 2 ? bc 2 ? 0 , 所以②为假命题;因为 a ?| b |? 0 ,所以 a 2 ?| b |2 ,③为真命题. 故选 C. 考点:不等式及不等关系,基本不等式. 14.已知 a, b, c ? R ,给出下列命题:
2 2 ①若 a ? b , 则 ac ? bc ; ②若 ab≠0, 则

a b

b a

a b n n ? ?2; ③若 a ? b ? 0, n ? N ? , 则a ? b ; b a


④若 loga b ? 0(a ? 0, a ? 1) , 则 a, b 中至少有一个大于 1. 其中真命题的个数为 ( (A)2 【答案】A 【解析】 (B)3 (C)4 (D)1

ac 2 ? bc 2 ? 0 , 试题分析: 当 c ? 0 时, 所以①为假命题; 当 a 与 b 异号时, ? 0 , ? 0 ,
n n 所 以 ② 为 假 命 题 ; 因 为 a ? b ? 0, n ? N ? , 所 以 a ? b , ③ 为 真 命 题 . ④ 若

a b

b a

log ( ? 0a ,? a b ? 0a

,则有可能 a ? 1, 0 ? b ? 1 或 b ? 1, 0 ? a ? 1 ,即 a,b 中至少有 1)

一个大于 1.是真命题,故选 A. 考点:不等式及不等关系,不等式的性质,对数的性质. 15.已知 a, b ? R 且 a ? b ,则下列不等式中成立的是( A、 ) D、 2
a ?b

a ?1 b

B、 a 2 ? b 2

C、 ln ? a ? b? ? 0

?1

【答案】D. 【解析】 试题分析:只有当 a ? b ? 0 时,选项 A,B 正确;要使 ln ? a ? b? ? 0 ,必须 a ? b ? 1 , 所以选项 C 错误;当 a ? b 时, a ? b ? 0 , ? 2a?b ? 20 ? 1 ,所以 D 正确,故选 D. 考点:不等式的性质. 16.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B. )
3 3 D. a ? b

1 1 ? a b

2 2 C. a ? b

【答案】D 【解析】 试题分析:选项 A 中若 c? 0 时,结果错,故 A 不正确;选项 B 中若 0 ? a ? b 时,结果错,
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故 B 不正确;选项 C 中若 0 ? a ? b 时,结果错,故 C 不正确;在选项 D 中由不等式性质可 知是正确的,所以正确答案为 D. 考点:不等式的性质. 17.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式中总成立的是( ) A. a ?

1 1 ?b? b a 1 1 b? ? a? b a

B. a ?

1 1 ?b? a b

C.

b b ?1 ? a a ?1

D.

【答案】A. 【解析】

1 1 1 1 试题分析: a ? b ? 0,? ? ? 0,?a ? ? b ? ,故选 A. a b a b 考点:不定式的性质. 18.当 0 ? x ? 1 时,下列大小关系正确的是 ( )
A. x3 ? 3x ? log3 x B. log3 x ? x3 ? 3x C. 3x ? x3 ? log3 x D.

log3 x ? 3x ? x3
【答案】B 【解析】
3 3 0 x 1 试题分析:当 0 ? x ? 1 时,log3 x ? log3 1 ? 0 ,0 ? x ? 1 ? 1 ,1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ,

所以 log3 x ? x3 ? 3x ,选 B. 考点:利用中间值法比较大小 19.若 a、 b 是任意实数, 且a ? b ,则下列不等式成立 的是( .. A. a ? b
2 2

) . D. ( ) ? ( )
a

B.

b ?1 a

C. lg( a ? b) ? 0

1 3

1 3

b

【答案】D 【解析】
2 2 试题分析:当 a ? ?1, b ? ?2 时, a ? b ,

b ? 1, lg ? a ? b ? ? 0 ,可排除A,B,C,故 a

选D. 考点:不等式性质. 20.若 a、 b 是任意实数, 且a ? b ,则下列不等式成立 的是( .. A. a ? b
2 2

) D. ( ) ? ( )
a

B.

b ?1 a

C. lg( a ? b) ? 0

1 3

1 3

b

【答案】D 【解析】
2 2 试题分析:当 a ? ?1, b ? ?2 时, a ? b ,

b ? 1, lg ? a ? b ? ? 0 ,可排除A,B,C,故 a

选D. 考点:不等式性质. 21.设 a ?

? 2?

1.4

3 , b ? 3 2 , c ? ln ,则 a b c 的大小关系是( 2
C. c ? a ? b D. b ? a ? c

3

)

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

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【答案】D 【解析】 试题分析: a ? ( 2) ? 1, b ? 3 2 ? 1 , c ? ln
1.4
3

3 ? 1 ,所以 c 最小,而 a 2 ? 21.4 , 2

b2 ? 33 ? 27 ,
所以 a 2 ? b 2 ,即 a ? b ,所以综上得: c ? a ? b . 考点:比较大小. 22.已知函数 f ( x) ? x x ? 4 ( x ? R ) ,若存在正实数 k ,使得方程 f ( x) ? k 有两个 根 a , b ,其中 2 ? a ? b ,则 ab ? 2(a ? b) 的取值范围是( A. (2,2 ? 2 2 ) 【答案】B 【解析】 试题分析: 当 x>4 时,f(x)=k 可化为:x?-4x-k=0,可得:b=2+ 4 ? k ,当 x<4 时, f(x)=k 可化为: x?-4x+k=0 可得: a=2+ 4 ? k , 且 0<k<4, 由 ab-2(a+b)= -4+ 16 ? k ,
2

)

B. (?4,0)

C. (?2,2)

D. (?4,2)

0 < k < 4 , 故 : -4 < ab-2(a+b) < 0 ; 或 由 f(x)=k 可 化 为 (x?-4x)?-k?=0 , 可 得 (x?-4x-k)(x?-4x+k)=0 从而 a=2+ 4 ? k ,b=2+ 4 ? k ,且 0<k<4,由 ab-2(a+b)= -4+ 16 ? k ,0<k<4 故: -4<ab-2(a+b)<0.选 B.
2

考点:1.方程的根;2.不等式 23.下列命题正确的是( )
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

B.若 a ? ?b ,则 ? a ? b

C.若 ac ? bc ,则 a ? b D.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c 【答案】D 【解析】 试题分析:选项 A 中忽略了当 a ? 0 的情况,故 A 错;选项 B 的结论中不等号方向没改 变,故 B 错;选项 C 中忽略了 c ? 0 的情况,故 C 错;所以正确答案是 D. 考点:不等式的基本性质. 24.已知函数 f ( x) ? ? A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)

?? x ? 1(?1 ? x ? 0) ,则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为( ?? x ? 1(0 ? x ? 1)
B.[-1,-

)

1 )∪(0,1] 2 1 D.[-1,- ]∪(0,1) 2

【答案】B 【解析】 试题分析: (1)-1≤x<0 时,则 0<-x≤1, 此时,f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1 f(x)-f(-x)>-1,即-2x-2>-1,得 x<-1/2, 又因为-1≤x<0,所以,-1≤x<-1/2
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(2)0<x≤1 时,则:-1≤-x<0, 此时 f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1 f(x)-f(-x)>-1,即-2x+2>-1,得 x<3/2, 又因为:0<x≤1,所以,0<x≤1. 综上,原不等式的解集为:[-1,-1/2) (0,1]. 考点:1.分段函数;2.不等式的解法. 25.设 A ? {x ? Z | x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? (4 ? k ) x ? 4k ? 0, x ? R, k ? R} ,
2 2

若 A? B

? {3} ,则实数 k 的范围是(
B. [2 , 4)

). C. [2 , 3) D. [?2 , 3)

A. [ ?1 , 3) 【答案】D 【解析】

试 题 分 析 : 由

A ? ? x ? Z | x 2 ? x ? 2 ? 0?

? ?x ? Z | x ? 2, x ? ?1? 令

f ( x) ? x2 ? (4 ? k ) x ? 4k 函 数 图 象 开 口 向 上 . 因 为 A ? B ? ?3? 所 以

f ( 2? ) 且0f

x ? 3 故选 D. ? (且 3 ) f 0 ?,解得 ( 4? )2 ? 0

考点:不等式,零点的概念. 26.若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式恒成立的是 ( A. a 2 ? b 2 ? 2ab 【答案】D 【解析】
2 2 试题分析: A 中应该是 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时取等号; B,C 中,当 a , b 同



B. a ? b ? 2 ab

C.

1 2 2 ? ? a b ab

D.

b a ? ?2 a b

取负号时不等式显然不成立; D 中,由 ab ? 0 可得

b a b a ? 0, ? 0 所以 ? ? 2 ,当且 a b a b

仅当 a ? b 时取等号.故选 D. 应用基本的不等式解题时, 注意创设一个应用基本不等式 的情境及使等号成立的条件,即“一正、二定、三相等”. 考点:基本不等式及其应用 27.若不等式 a ? b 与 A. a ? b ? 0

1 1 ? 同时成立,则必有( a b 1 1 B. 0 ? ? C. a ? 0 ? b a b

) D.

1 1 ? ?0 a b

【答案】C 【解析】 试题分析:因为两个不等式同时成立,利用 2 个等价关系可以得到 a 与 b 的关系.

1 1 1 1 b?a ? ? ? ?0? ? 0 又因为 a ? b 所以 ab ? 0 .故答案为 C a b a b ab
考点:不等式的性质 28.设 a , b 为单位向量,若向量 c 满足 | c ? (a ? b) |?| a ? b | ,则 | c | 的最大值是( A.1 【答案】D 【解析】
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)

B. 2

C.2

D.2 2











|c|=|(c-a-b)+(a +b)| ? |c-a-b|+|a +b|=|a ? b|+|a +b| ? |(a ? b|+|a +b|) 2 ? 4 ? 4 | sin ? | ? 2 2
. 考点:1.不等式的性质;2.三角函数的最值. 29.当 0 ? x ? 3 时,则下列大小关系正确的是 ( A. x3 ? 3x ? log3 x B. 33 ? x x ? log3 x

) C. log3 x ? x3 ? 3x D.

log3 x ? 3x ? x3
【答案】C 【解析】 试题分析:取 x ? 1 得, x3 ? 1,log3 x ? 0,3x ? 3 ,故 log3 x ? x3 ? 3x ,故选C. 考点:比较大小. 30.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( )

A. ac ? bc 【答案】D 【解析】

1 1 ? B. a b

2 2 C. a ? b

3 3 D. a ? b

试题分析: 由 a ? b ,c ? R , 不能得到 ac ? bc , 所以排除 A 选项.假设 a ? 2, b ? ?3 , 则 B,C 选项都不成立.所以选 D. 考点:不等式的基本性质.

31.若不等式 a ? 1 ? x ? 2 y ,对满足 x2 ? y 2 ? 5 的一切实数 x, y 恒成立,则实数 a 的 取值范围是 【答案】 a ? 6 或 a ? ?4 【解析】 试 题 分 析 : 设 t ? x ? 2 y , 则 x ? 2 y ? t ? 0 , 由 于 x , y 满 足 x2 ? y 2 ? 5 , 所 以

0?0?t 12 ? 22

? 5 ,即 t ? 5 ,解得 ?5 ? t ? 5 ,因为不等式 a ? 1 ? x ? 2 y ,对满足

x2 ? y 2 ? 5 的一切实数 x, y 恒成立,所以 a ? 1 ? 5 ,解得 a ? 6 或 a ? ?4 .
考点:不等式恒成立问题. 32.若 x ?

m ? 4 在 x ??3, 4? 内恒成立,则实数 m 的取值范围是 x

.

【答案】 [3, ??) 【解析】

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试题分析:本题不等式恒成立问题可采用分离参数法. x ?

m ? 4 在 x ??3, 4? 内恒成立 x

转化为 m ? x(4 ? x) 在 x ? ?3, 4? 内恒成立,即 m ? [ x(4 ? x)]max ( x ?{3, 4]) ,即只要求

x ? [3, 4] 时 x(4 ? x) 的最大值,易求得最大值为 3,故 m ? 3 .
考点:分离参数法. 33. 已知正数 a , b , 对任意 a ? b 且 a, b ? (0,1) 不等式 ax2 ? ax ? a 2 ? bx2 ? bx ? b 2 恒 成立,则实数 x 的取值范围是 【答案】 x ? ?1 或 x ? 2 . 【解析】 试 题 分 析 : 化 简 .

ax2 ? ax ? a 2 ? bx2 ? bx ? b 2




?

0 1 ,), 又 a, b ?( (a ? b) x 2 ? (a ? b) x ? (a 2 ? b 2 ) ? 0 , a ? b , ? x2 ? x ? (a ? b) ? 0 ,

x 2 ? x ? 2 ,解得 x ? ?1或x ? 2 . (还可以 h(t ) ? ?t 2 ? ( x 2 ? x)t 在(0,1)单调递
增求解) 考点:恒成立问题中的参数取值范围问题. 34.已知 x、y、z∈R,且 2 x ? 3 y ? 3z ? 1 ,则 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 【答案】 【解析】 试 题 分 析 : 由 柯 西 不 等 式 , (22 ? 32 ? 32 )( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (2 x ? 3 y ? 3z)2 , 因 为 .

1 22

1 x y z , 当且仅当 ? ? , 22 2 3 3 1 3 1 即x? ,y? z ? 时取等号.所以 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 . 11 22 22
2 2 2 2 2 2 .所以 22( x ? y ? z ) ? 1 ? x ? y ? z ? 2 x ? 3 y ? 3z ? 1

考点:柯西不等式 35 . 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) , 若 b 、 c 满 足 c ?

b2 ?1 , 且 4
.

f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 ) 恒成立,则 M 的最小值为
【答案】 【解析】

3 2

b2 b2 试题分析:由题意可知, c ?1 ,且 c ? ?1 ? 2 ? 1 ?| b | , 要 使 不 等 式 4 4
f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 )
恒 成 立 , 只 需

试卷第 10 页,总 19 页

b f (c) ? f (b) c 2 ? b 2 ? bc ? b 2 c ? 2b M? ? ? 恒成立,令 t ? , 则 ? 1 ? t ? 1 , 2 2 2 2 c b?c c ?b c ?b c ? 2b 1 1 3 ? 2? (?1 ? t ? 1) 的值域是 (?? , ) ,因此,当 ,而函数 g (t ) ? 2 ? b?c 1? t 1? t 2 3 3 c ?| b | 时, M 的取值集合为 [ ,?? ) ,即 M 的最小值为 . 2 2
考点: 本题主要考查了不等式性质, 函数值域的求解方法, 以及二次函数的恒成立问题.

2 3 3 3 2 4 36.已知 a ? ( ) , b ? ( ) 4 , c ? log 2 ,则 a, b, c 从小到大用“﹤”号排列为 3 2 3
【答案】 c ? a ? b 【解析】 试题分析:因为幂函数 f ( x) ? x 4 在 (0, ??) 单调递增,且
3

2 3 3 3 2 3 ? ,所以 ( ) 4 ? ( ) 4 , 3 2 3 2

即 a ? b .又 a ? ( ) 4 ? ( ) ? 1 ? 0 ,又因为对数函数 y ? log a x 在 (0, ??) 单调递减,
0

2 3

3

2 3

所以 c ? log 2

2 ? log 2 1 ? 0 ,因此 c ? a ? b . 3

考点:1、利用幂函数的单调性比较同指数幂的大小;2、借助于中间变量比较大小. 37.已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? xy ? 8 ,则 x ? y 的最小值是_________.. 【答案】4. 【解析】 试题分析: 根据题意 8 ? x +y ? xy ? x +y ?

( x ? y)2 ,即(x ? y )2 ? 4(x ? y ) ? 32 ? 0 , 解 4

得 x+y ? 4 或 x+y ? ?8(舍去) ,当且仅当 x=y ? 2 时 x +y 有最小值 4.. 考点:不等式的性质. 38.若 a,b ? R ,a+b=1,则 ab+


1 的最小值为 ab

.

【答案】 【解析】

17 4

试题分析: 由 a, b? R , a+b=1 得 ab ? (


a?b 2 1 a?b 1 ) ? , a=b 时取等号, ab+ =ab+ ab 2 4 ab

1 1 ? a b a?b a?b b a ? =ab+ =2+ab ? ? a b a b
=ab+

? 4+ab ? 4+

1 17 = ,a=b 时取等号. 4 4

考点:基本不等式的性质的应用. 39.给出下列命题:

试卷第 11 页,总 19 页

①若 ab ? 0 , a ? b ,则

1 1 ? ; a b

②若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ; ③若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d ; ④若 a ? b , m ? 0 ,则

a a?m ? b b?m

其中真命题的序号是:_________. 【答案】①② 【解析】 试题分析:对于①,因为 ab ? 0 , a ? b ,则

1 1 b?a 1 1 ? ? ,所以 ? 成立;对于 a b ab a b

2 2 ②,因为 a ?| b |? 0 ,所以 a ? b 成立;对于③,若 a ? b, c ? d ,则 ? c ? ? d ,所

以 a ? c ? b ? d 不一定成立;对于④,若 a ? ?2 , b ? ?1 , m ? 3 ,则 成立,故正确的有①②. 考点:本题考查了对不等式的基本性质的掌握. 40.设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 4) (1)若 f ( x ) 的最小值为 3,求 a 的值; (2)求不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集.

a a?m ? 不 b b?m

【答案】 (1) a ? 1 ; (2) R. 【解析】 试题分析:本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题,考查学生的分类讨论思 想和转化能力以及计算能力.第一问,利用不等式的性质,得出 f ( x ) 的最小值,列出等 式,解出 a 的值;第二问,解含参绝对值不等式,用零点分段法去掉绝对值,由于已知 中有 a 和 4 的大小,所以直接解不等式即可,最后综合上述所得不等式的解集. 试题解析:⑴因为 x ? 4 ? x ? a ? ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 , 因为 a ? 4 ,所以当且仅当 a ? x ? 4 时等号成立,故

a ? 4 ? 3,?a ? 1 为所求.

4分

⑵不等式 f ( x) ? 3 ? x 即不等式 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x (a ? 4) , ①当 x ? a 时,原不等式可化为 4 ? x ? a ? x ? 3 ? x, 即 x ? a ? 1. 所以,当 x ? a 时,原不等式成立. ②当 a ? x ? 4 时,原不等式可化为 4 ? x ? x ? a ? 3 ? x. 即 x ? a ? 1. 所以,当 a ? x ? 4 时,原不等式成立. ③当 x ? 4 时,原不等式可化为 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x.

试卷第 12 页,总 19 页

a?7 a?7 , 由于 a ? 4 时 4 ? . 3 3 所以,当 x ? 4 时,原不等式成立.
即x? 综合①②③可知: 不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集为 R. 考点:1.不等式的性质;2.绝对值不等式的解法. 41.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,且 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 2 . (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)解不等式 10 分

f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| . 2

【答案】(1) g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 . (2) ? x 【解析】

? ?1 ? 7 ? 1? 3 ? ? ?x? ?. 2 2 ? ? ? ?

试题分析: (1)利用 “代入法 (或相关点法) ” 设函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P ( x, y ) , 由已知点 P ( x, y ) 关于 y 轴对称点 P '(? x, y) 一定在函数 y ? f ( x) 图象上, 代入 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ,即得所求. (2) 将

f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| 化为 2x2 ? 2 ?| 2x ?1| , 2

通过分类讨论 ?

?2 x 2 ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2x ?1 ? 0

或?

?2 x 2 ? 2 ? 1 ? 2 x ? 2x ?1 ? 0

求得不等式的解集.

试题解析:(1)设函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P ( x, y ) , 由已知点 P ( x, y ) 关于 y 轴对称点 P '(? x, y) 一定在函数 y ? f ( x) 图象上, 2 分
2 2 代入 y ? 2 x ? 4 x ? 2 ,得 g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 .

4分

(2) 由(1)知不等式

f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| 可化为 2x2 ? 2 ?| 2x ?1| , 2
8分

?2 x 2 ? 2 ? 2 x ? 1 ?2 x 2 ? 2 ? 1 ? 2 x 即? 或? ? 2x ?1 ? 0 ? 2x ?1 ? 0

?1 ? 3 1 ? 3 ? ?1 ? 7 ?1 ? 7 ?x? ?x? ? ? ? 2 或? 2 2 解得 ? 2 ? 1 1 ? ? x? x? ? ? ? 2 ? 2
?
1 1? 3 ?1 ? 7 1 或 ?x? ?x? 2 2 2 2

10 分

试卷第 13 页,总 19 页

? 1? 3 ? ? ?1 ? 7 ? ?x? ? 原不等式的解集是 ? x ?. 2 2 ? ? ? ?

12 分

考点:轨迹方程求法(代入法、相关点法) ,简单不等式的解法.
2 2 42. 设函数 f ? x ? ? ax ? 1 ? a x ( a ? 0 ) .区间 I ? x f ? x ? ? 0 , 定义区间 ?? , ? ?

?

?

?

?

的长度为 ?-? . (1)求区间 I 的长度 H ? a ? (用 a 表示) ; (2)若 a ? ?3,4? ,求 H ? a ? 的最大值. 【答案】 (1) I ?

a 1 ? a2

(2)

3 4

【解析】 试题分析: (1)对函数先进行因式分解,再利用一元二次不等式可解出解集,然后利用 定义区间 ?? , ? ? 的长度为 ?-? .可求出区间 I。 (2)由(1)已经得出 I ? 质可得出它的最大值。 试题解析:(1) f ( x) ? x ? a ? 1 ? a

a ,又 a ? ? 3,4 ? 分子分母同除以 a 再根据对勾函数的性 1 ? a2

?

?

2

? x? ??0
a ). 1 ? a2
4分

a ? 0 ,?

a ?0. 1 ? a2 a 1 ? a2

f ( x) ? 0 解集为 (0,

所以区间长度为 I ? (2) 由(1)知, I ?

5分

a 1 ? 2 1 1? a a? a

7分

1 ? g ( x) ? a ? 在 a ??3, 4? 单调递增. a
所以,当 a ? 3 时,I 取最大值

13 分[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

3 4

14 分

(第二问解法不同但说理清晰严密即给满分) 考点:不等式的解法,定区间求最值。 43.若 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=6, 2a ? 2b ? 1 ? 2c ? 3 ? x ? 2 ? x ? m 对任 意 x∈R 恒成立,求 m 的取值范围. 【答案】m≤2- 4 3. 或 m≥2+ 4 3. 【解析】

试卷第 14 页,总 19 页

试题分析:由题意可得要使 2a ? 2b ? 1 ? 2c ? 3 ? x ? 2 ? x ? m 对任意 x∈R 恒 成立.及要求出

2a ? 1 ? 2b ? 3 ? 2c 的 最 大 值 . 由 柯 西 不 等 式 可 得

( 2a ? 1 ? 2b ? 3 ? 2c)2 ? (1? 2a ?1? 2b ?1 ?1? 2c ? 3)2 ? (12 ?12 ?12 )(2a ? 2b ?1 ? 2c ? 3)

=48.

2a ? 2b ? 1 ? 2c ? 3 有最大值 4 3. 所以得到 |x-2|+|x-m|≥ 4 3. 对任意的

x∈R 恒成立.即对任意的 x 恒成立所以应该使|x-2|+|x-m|的最小值大于或等于 4 3. 再 通过绝对值不等式即可得 m 的取值范围.本题综合性较强, 应用了两个重要不等式.同时 应用两次不等式恒成立的问题. 试 题 解 析 :
( 2a ? 1 ? 2b ? 3 ? 2c)2 ? (1? 2a ?1? 2b ?1 ?1? 2c ? 3)2 ? (12 ?12 ?12 )(2a ? 2b ?1 ? 2c ? 3)

? 3(2 ? 6 ? 4) ? 48. 所以
∴ 2a ? 1 ? 2b ? 3 ? 2c ? 4 3. 当且仅当 2a ? 2b ? 1 ? 2c ? 3 即 2a=2b+1=2c+3 时等号成立, 又 a+b+c=6,∴ a ? 4分

8 13 7 , b ? , c ? 时, 2a ? 2b ? 1 ? 2c ? 3 有最大值 4 3. 3 6 6

∴|x-2|+|x-m|≥ 4 3. 对任意的 x∈R 恒成立. ∵|x-2|+|x-m|≥|(x-2)-(x-m)| =|m-2|, ∴|m-2|≥ 4 3. 解得 m≤2- 4 3. 或 m≥2+ 4 3. 7分

考点:1.柯西不等式.2.绝对值不等式.3.不等式的恒成立问题. 44.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| . (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (2)若 | a |? 1,| b |? 1,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ?| a | f ( ) . 【答案】 (1)不等式 f ( x) ? 4 的解集为 {x | x ? ?5或x ? 3} ; (2)证明过程详见解析. 【解析】 试题分析:本题考查解绝对值不等式和证明不等式,意在考查考生运用函数零点分类讨 论的解题思想.第一问,利用函数零点将绝对值去掉,将函数转化为分段函数,分类讨 论解不等式;第二问,先利用已知函数将所证结论进行转化变成 | ab ? 1|?| a ? b | ,再 利用作差法先证 | ab ?1|2 ? | a ? b |2 ? 0 ,再开方即可.

b a

试卷第 15 页,总 19 页

??2 x ? 2, x ? ?3 ? 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? f ( x ? 4) ?| x ? 1| ? | x ? 3 |? ? 4, ?3 ? x ? 1 , ? 2 x ? 2, x ? 1 ?
当 x ? ?3 时,由 ?2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? ?5 ; 当 ?3 ? x ? 1 时, f ( x) ? 8 不成立; 当 x ? 1 时,由 2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? 3 . 所以不等式 f ( x) ? 4 的解集为 {x | x ? ?5或x ? 3} . (Ⅱ) f (ab) ?| a | f ( ) 即 | ab ? 1|?| a ? b | . 因为 | a |? 1,| b |? 1, 所以 | ab ?1|2 ? | a ? b |2 ? (a2b2 ? 2ab ? 1) ? (a2 ? 2ab ? b2 ) ? (a2 ?1)(b2 ?1) ? 0 , 所以 | ab ? 1|?| a ? b | . 故所证不等式成立. 考点:1.解绝对值不等式;2.作差法证明不等式. 45.解关于 x 的不等式 ?10 分 ?4 分 ?5 分 ?6 分

b a

a?2 ? 1, 其中 a ? R . x?2

【答案】当 a < -2 时,原不等式的解集是 ?x | a ? x ? ?2? ; 当 a = -2 时,原不等式的解集是 ? . 【解析】 试题分析:分式不等式可转化为因式不等式求解,含参不等式要注意对参数的讨论. 试题解析:不等式

a?2 a?2 x?a ? 1 可化为 ? 1 ? 0, 即 ? 0, x?2 x?2 x?2

上式等价于 (x-a) (x + 2) < 0, ∴当 a > -2 时, 原不等式的解集是 ?x | ?2 ? x ? a? ; 当 a < -2 时,原不等式的解集是 ?x | a ? x ? ?2? ; 当 a = -2 时,原不等式的解集是 ? . 考点:1、分式不等式的解法;2、含参不等式的分类讨论思想.
3 46.已知 a, b ? R , x ? a ? b , y ? a 2 b ? a ,试比较 x 与 y 的大小.

【答案】详见解析. 【解析】 试题分析:比较两个数的大小,最常用的方法是作差比较法,即求出 x ? y 的值,进 行化简,分解因式,判断每个因式的正负即可判断出 x 和 y 的大小关系. 试题解析: x ? y ? a 3 ? b ? a 2 b ? a ? a 2 (a ? b) ? a ? b ? (a ? b)(a 2 ? 1) , 当 a ? b 时, x ? y ? 0 ,所以 x ? y ;

试卷第 16 页,总 19 页

当 a ? b 时, x ? y ? 0 ,所以 x ? y ; 当 a ? b 时, x ? y ? 0 ,所以 x ? y . 考点:本题主要考查了不等式的基本性质,比较两个数大小的方法,以及分解因式的方 法. 47.设 a,b 是非负实数,求证: a3 ? b3 ≥ ab (a2 ? b2 ) . 【答案】 a3 ? b3 ≥ ab (a2 ? b2 ) 【解析】 试 题 分 析 : 要 比 较 两 个 数 大 小 , 最 常 用 的 方 法 是 作 差 ,

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )
需要进行讨论, 当 a ≥ b 时, a ≥ b , a , b 大小不清, ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] , 从而 ( a )5 ≥ ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ≥ 0 ;当 a ? b 时, a ? b , 从而 ( a )5 ? ( b )5 , 得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a3 ? b3 ≥ ab (a2 ? b2 ) . 试题解析:由 a,b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )
? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]
当 a ≥ b 时, a ≥ b ,从而 ( a )5 ≥ ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ≥ 0 ; 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a3 ? b3 ≥ ab (a2 ? b2 ) . 考点:1.不等式的比较大小与证明. 48.已知命题:“ ?x ??x | ?1 ? x ? 1 ? ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题.
2

(1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N,若 x ? N 是 x ? M 的必要条件,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) M ? ?m ?

? ?

9 1 1 ? (2) a ? 或 a ? ? . ? m ? 2? ; 4 4 4 ?

【解析】 试题分析: (1)本题是一个一元二次方程在某个区间上有解的问题,通常有两种方法, 一是考察相应的二次函数的图象零点的分布,二是分离参数转化为求函数的值域问题, 由于本题较容易分离参数, 所以采用第二种方法, 化为求 y ? x 2 ? x 在 ?? 1,1? 上的值域; (2) 根据 x ? N 是 x ? M 的必要条件得 M ? N ,N 就是一个一元二次不等式的解集, 在求解时要讨论相应一元二次方程两根的大小,写出解集后,再由 M ? N ,通过使用
试卷第 17 页,总 19 页

数轴求出 a 的取值范围. 试题解析:(1) 由题意知,方程 x ? x ? m ? 0 在 ?? 1,1? 上有解,
2

即 m 的取值范围就为函数 y ? x 2 ? x 在 ?? 1,1? 上的值域,易得 M ? ?m ?

? ?

1 ? ? m ? 2? 4 ?

(2)因为 x ? N 是 x ? M 的必要条件,所以 M ? N 当 a ? 1 时,解集 N 为空集,不满足题意 当 a ? 1 时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ?x | 2 ? a ? x ? a?

1 ? 9 ?2 ? a ? ? 则? 4 ,解得 a ? 4 ? ?a ? 2
当 a ? 1 时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ?x | a ? x ? 2 ? a?

1 ? 1 ?a ? ? 则? 4 ,解得 a ? ? 4 ? ?2 ? a ? 2
综上, a ?

9 1 或 a?? 4 4
g ( x) ? x ? 7 4.

考点:函数与方程、充分条件与必要条件、集合的包含关系,一元二次不等式. 49.已知函数: f ( x) ? 3x ? 2mx ? 1 ,
2

⑴解不等式 f ? x ? ? ?2 ; ⑵若对任意的

x ? ?0, 2? f ? x ? ? g ? x ?
,

,求 m 的取值范围.

【答案】 (1) ① ? 3 ? m ? 3 时 , 不等式的解为 R; ② m ? ? 3 或 m ? ? 3 时,

x?

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 或x? ; (2) ? ??,1? . 3 3

【解析】 试题分析: (1) 含参数的二次不等式的解法要考虑判别式的值. (2) 函数恒成立的问题, 利用分离变量及基本不等式求最值的思想.
2 2 试题解析:⑴ f ? x ? ? ?2 可化为 3x ? 2mx ? 1 ? 0 , ? ? 4 m ? 3 ,

?

?

①当 ? ? 0 时,即 ? 3 ? m ? 3 时,不等式的解为 R; ②当 ? ? 0 时,即 m ? ? 3 或 m ? ? 3 时, x1 ?

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 , x2 ? , 3 3

不等式的解为 x ?

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 或x ? ; 3 3
试卷第 18 页,总 19 页

3 x 2 ? 2mx ? 1 ?| x | ?
(2)

7 4 ,对任意的 x ??0, 2? 恒成立, 3 3 ?0 3x ? ? 2m ? 1 4 4 x ,即 在 x? (0, 2] 时恒成立;

当 x? (0, 2] 时,

3x 2 ? (2m ? 1) x ?

因为 x ? ?0, 2? ,当 x ?

1 时等号成立.所以 3 ? 2m ? 1 ,即 m ? 1 ; 2

当 x=0 显然成立.综上 m ? 1 . 考点:1.含参数的不等式的解法.2.函数恒成立问题.3.基本不等式求最值问题.

试卷第 19 页,总 19 页


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