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【课堂设计】2015-2016学年高中数学 1.5 二项式定理课件 北师大版选修2-3


§5 二项式定理

课程目标 1.熟练掌握二项展开式的通项,并能 运用这个通项求指定项或指定项的 系数. 2.掌握二项式定理展开式中系数的规 律,明确二项式系数与各项系数的区 别. 3.借助“杨辉三角”数表,掌握二项式 系数的对称性、增减性与最大值. 4.理解并掌握二项式系数的性质,会 利用二项式系数的性质解决综合问 题.

学习脉络

1.二项式定理 n-1 1 0 n n一般地,对于任意正整数 n,都有(a+b)n=C a +C1 a b +…+ C a
r r

n b +…+C b (n∈N+).

这个公式称为二项式定理.等号右边的多项式称为(a+b)n 的二项展开 式,(a+b)n 的二项展开式共有 n+1 项,其中各项的系数C (r=0,1,2,…,n)称为二项 式系数.

特别提醒 1.一个二项展开式的某一项的二项式系数C 与这一
项的系数(二项式系数与数字系数的积)是两个不同的概念,二项式系数一定为 正值,而项的系数既可以是正值也可以是负值,还可以是 0. 2.二项式定理中的字母 a,b 是不能交换的,即(a+b)n 与(b+a)n 的展开式是有 区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.

思考 1 二项展开式有哪些重要特征? 提示:在(a+b)n 的二项展开式中,①二项展开式共有 n+1 项;
0 2 ②二项式系数依次为组合数C , C1 , C ,…,C ,…,C ;

③各项次数都等于二项式的幂指数,为 n; ④字母 a 按降幂排列,从第一项起,指数由 n 逐项减 1 直到零,字母 b 按 升幂排列,从第一项起,指数由零逐项增加 1 直至 n.

2.二项展开式的通项
n-r r (a+b)n 的二项展开式中的第 r+1 项,即 Tr+1=C a b (其中 0≤r≤n,r∈

N,n∈N+),这个公式称为二项式通项. 它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理 的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.

特别提醒 1.二项式通项表示二项展开式的第 r+1 项,该项
+1 的二项式系数是C ,而不是C .

2.字母 b 的指数和组合数的上标相同. 3.a 与 b 的指数之和为 n.
n-r r 4.二项式通项 Tr+1=C a b 是对(a+b)n 形式的展开式而言,至于(b+a)n n-r r 展开式的二项式通项是 Tr+1=C b a ,两者的通项不相同,不可混淆. n-r r 5.(a-b)n 展开式的通项是 Tr+1=(-1)rC a b (0≤r≤n,r∈N).

思考 2 二项展开式中的项、项数、二项式系数、系数有何
区别?
0 1 提示:(1)二项展开式中的二项式系数是指C , C ,…,C 这些组合数,即二 n-r r 项式通项 Tr+1=C a b 中的C (0≤r≤n,r∈N).求二项展开式中某一项的二

项式系数,关键是要确定 r 的值,要注意通项为展开式的第 r+1 项. (2)系数即该项字母前的数连同符号,求二项展开式的指定项的系数,可 直接运用展开式的二项式通项,并令该项的次数与指定项的次数相等,求出 r 的值,则指定项的系数就是把 r 代入组合数式和常数式的乘积计算后所得 的值. (3)项是指系数和含字母的式子的积,项数是指该项在展开式中的位置.

3.二项式系数表 当 n 依次取 1,2,3,…时,(a+b)n 展开式的二项式系数如图所示:

上图所示的表叫作二项式系数表. 在二项式系数表中,有如下两个结论: (1)每一行的两端都是 1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.
0 实际上反映了组合数的下列性质:C =1,C =1,C + C . +1 = C (2)每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等. 这就是说,二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相 等,实际上反映了组合数的性质C = C . - -1

知识拓展 1.如果二项式的幂指数 n 是偶数,那么其展开式
中间一项+1 的二项式系数最大;如果 n 是奇数,那么其展开式中间两项
2

+1 与+1+1的二项式系数相等且最大.
2 2

2.二项展开式的二项式系数的和等于 2n.
n-1 0 n 2 n-2 0 0 1 在(x+1)n=C x +C1 x +C x +…+C x 中,令 x=1,则C + C + 2 C +…+C =2n.

n+1 0 2 3 思考 3 如何证明C ? C1 · C =0. + C ? C +…+(-1) 提示:在(a+b)n 的二项展开式中,令 a=1,b=-1,即可得到要证明的结论.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

探究一利用二项式定理求展开式、化简、求和
【例 1】展开
3 5 2- 2 . 2 3 2 - 22

思路分析一:用二项式定理展开. 解法一:
3 3 C5 (2x)2·- 2 2 3 5 2- 22
3

+

3 4 0 = C5 (2x)5+C1 (2 x ) 5 22 3 4 3 5 4 5 C5 (2x)·- 2 + C5 - 2 2 2 180

+

2 C5 (2x)3

+

=32x5-120x2+

?

135 4

+ 87 ? 3210.

405

243

思路分析二:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. 解法二:
1 3 5 2- 2 2

=

(43 -3)5 3210

3 4 3 3 2 3 2 3 3 4 0 2 3 4 =3210 [C5 (4x3)5+C1 5 (4x ) (-3)+ C5 (4x ) (-3) + C5 (4x ) (-3) +C5 (4x )(-3) + 5 C5 (-3)5] 180 135 405 243 =32x5-120x2+ ? 4 + 7? 10.





8

32

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

点评运用二项式定理求展开式时,要正确掌握(a+b)n 的二项展开
式中的项数、各项的二项式系数及 a,b 幂指数的规律.对于较复杂(如含有 分式)的二项式展开问题,可先化简式子再展开.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

【例 2】化简下列各式: n 2 (1)1+2C1 +4C +…+2 C ; (2)(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 0 n 0 2 n-2 2 n 解:(1)原式=C · 1· 2 +C1 1n-1· 2+C · 1 · 2 +…+C 2 =(1+2)n=3n. ·
4 3 2 0 2 3 4 5 (2)原式=C5 (x-1)5+C1 ( x1) + C ( x1) + C ( x1) +C5 (x-1)+C5 ? 5 5 5 5 C5 =[(x-1)+1]5-1=x5-1.

点评在此类问题中,有时与公式比较,在形式上会有所差异,或在
内容上缺少或多出某些代数式或数值,注意在转化应用二项式定理时既要 保证形式上的统一,又要保证变化前后的值恒等,这要求既要有较强的分析 问题能力,又要有较强的运算经验和技巧.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

探究二求二项展开式的特定项
求二项展开式的特定项的关键是抓住其通项.在求解时,需要把系数和 字母分离出来(应注意符号),根据题目所指定的字母的指数所具有的特征, 列出方程或不等式来求解即可.在这里首先应熟悉几个名词:(1)常数项,即 字母的指数为零的项;(2)有理项;(3)第 m 项,此时 r+1=m,直接代入通项. 【例 3】(1)求
3

1 10 (2)求 2 - 22 的展开式中的常数项. 1 思路分析:求含5的项,或求常数项,唯一的根据就是二项式通项,根据

1 10 1 1的展开式中含 5的项; 2

通项去求指定项.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

1 -r = · -2 · x . 1 1 5 -5 63 1 5 令 r=5,得含 5的项为 T6=C10 - · x =- · 5. 2 8 1 (2)Tr+1=C10 (2x3)10-r·- 22 1 30-5r 10-r =C10 · 2 ·- 2 · x .
解:(1)Tr+1=C10 C10

1 - 2

令 30-5r=0,得 r=6. ∴ 常数项为
6 T7=C10 ×24×

1 6 -2

=

105 . 2

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

点评凡涉及展开式的项及其系数(如常数项、某项的系数)问题,
n-r r 通常的做法是先写出其二项式通项 Tr+1=C a b (0≤r≤n,r∈N),然后再根

据题意列出相应的式子进行求解,有时需要建立方程才能得以解决.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

探究三赋值法的简单应用
由于二项展开式中的每一项都只是由系数和含字母的式子组成的,我 们可以根据此特点,令字母的因式的值为特殊值,一般取 1,0 或-1,从而可求 出展开式的所有项的系数和或某几项的系数和. 【例 4】设(2- 3x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值. (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2; (5)|a0|+|a1|+…+|a100|.

探究一

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探究五

解:(1)令 x=0,则展开式为 a0=2100. (2)令 x=1 可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100,① ∴ a1+a2+…+a100=(2- 3)100-2100. (3)令 x=-1 可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100.② ①-②得 (4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]· [(a0+a2+…+a100)(a1+a3+…+a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)· (a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=[(23)×(2+ 3)]100=1100=1.
(5)∵ Tr+1=(-1)rC100 2100-r( 3)rxr,∴ a2k-1=T2k<0(k∈N+).

(2- 3)100 -(2+ 3)100 a1+a3+…+a99= . 2

∴ |a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|=a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100.

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探究四

探究五

点评二项式定理是一个恒等式,即对 a,b 的一切值都成立.因此,
可将 a,b 设定为一些特殊值,一般取-1,0,1 来解决展开式中系数的和或差的 问题.

探究一

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探究四

探究五

探究四二项展开式中系数的最值问题
求二项展开式中系数的最值,首先由二项式通项设出某项的系数,然后 由最值关系比较与其相邻两个展开式系数的大小,即根据通项正确地列出 不等式(组)即可. 【例 5】在二项式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m≠0,n≠0)中有 2m+n=0,已知 它的展开式里系数最大的项恰是常数项,求: (1)常数项是第几项; (2)的最值.

探究一

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12-r r m(12-r)+nr 解:(1)设 Tr+1=C12 (axm)12-r· (bxn)r=C12 a · bx 为常数项,则有

m(12-r)+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0.所以 r=4. 所以第 5 项是常数项. (2)因为第 5 项又是系数最大的项,
4 8 4 3 9 3 C12 ≥ C12 , 所以 4 8 4 5 7 5 C12 ≥ C12 .②



由①,得

12×11×10×9 8 4 12×11×10 9 3 a b ≥ 3×2 a b , 4×3×2 9 9

因为 a>0,b>0,所以4b≥a,即 ≤ 4. 由②,得 ≥ 5.所以5 ≤ ≤ 4.
8 8 9 9 8 4 5

故 的最大值、最小值分别为 , .

探究一

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探究四

探究五

点评 1.求展开式系数的最大值问题时,首先要区分“展开式系数
最大”“二项式系数最大”以及“项数”等; 2.当二项式系数与系数的值不相等时,系数的最值问题可采用本例的 方法进行,即比较相邻两项的系数,列出不等式组,求出 r 的值即可.

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探究五易错辨析
【例 6】设(x- 2)n 展开式中,第二项与第四项的系数之比为 1∶ 2,试求 x2 项.
C 3 错解:第二项的系数为C1 , 第四项的系数为 C , 故 3 C
1

= ,化简得

1 2

n2-3n-10=0,解方程并舍去不合题意的值,得 n=5.
5-r 设(x- 2)5 展开式中 x2 项为第 r+1 项,则 Tr+1=C5 x (- 2)r. 3 2 由 5-r=2,得 r=3,即(x- 2)5 展开式中 x2 项为 T4=C5 x (- 2)3=-20 2x2.

探究一

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错因分析:∵ (x- 2)5 展开式的第 2 项为 T2=-5 2x4,第 4 项为 T4=-20 2x2, ∴ T2 与 T4 的系数之比为
-5 2 -20 2

= 4,这与已知第 2 项与第 4 项的系数之比为2

1

1

矛盾,可见上面解答有误. 错误根源在于将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中的某 项系数”混为一谈.

探究一

探究二

探究三

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探究五

正解:(x- 2)n 展开式的第 2 项与第 4 项分别为
n-1 n-1 3 3 n-3 3 n-3 T2=C1 x (- 2)=- 2nx ,T4=C x (- 2) =-2 2C x .

依题意得

- 2n

-2 2C3

= 2? n2-3n-4=0,解方程并舍去不合题意的负根,得 n=4.

1

4-r 设(x- 2)4 展开式中 x2 项为第 r+1 项,则 Tr+1=C4 x · (- 2)r. 2 2 由 4-r=2,得 r=2,即(x- 2)4 展开式中 x2 项为 T3=C4 x (- 2)2=12x2.

1

2

3

4

5

1.在展开式

2 3

(n∈N+)中,所有的二项式系数之和为 32,则所有系数之



和为( ) A.32 B.-32 C.0 D.1 解析:由题意得 2n=32,得 n=5.令 x=1,得展开式所有项的系数之和为 (2-1)5=1. 答案:D

1

2

3

4

5

2.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1 可化简为( ) 4 4 A.(x+2) B.(x-1) 4 C.x D.(x-2)4 3 2 3 4 4 0 2 4 解析:原式=C4 (x+1)4-C1 4 (x+1) +C4 (x+1) -C4 (x+1)+C4 =(x+1-1) =x . 答案:C

1
1 20 3.在 2x- 2 的展开式中,系数是有理数的项共有 1 2 3 20-r 3 解析:Tr+1=C20 ( 2x) - 2 = -2 · ( 2)20-r· C20 · x20-r.
3

2

3

4

5

项.

∵ 系数为有理数, ∴ ( 2)
r 20- 与2 3 均为有理数.

∴ r 能被 2 整除,且 20-r 能被 3 整除. ∴ r 为偶数,20-r 是 3 的倍数,0≤r≤20, ∴ r=2,8,14,20. 答案:4

1
1 + 2 (n∈N+)的展开式中,若存在常数项,则

2

3

4

5

4. 2 为

3

n 的最小值

. 令 3n-5r=0,

1 解析:Tr+1=C (2x3)n-r 2



3n-5r =2n-r· C · x .

∵ 0≤r≤n,r∈N,n∈N+, ∴ n 的最小值为 5. 答案:5

1

2

3

4

5

5.已知 m,n∈N+,f(x)=(1+x)m+(1+x)n 展开式中 x 的系数为 19.求 x2 的系数的 最小值及此时展开式中 x7 的系数. 解:由题设 m+n=19,∵ m,n∈N+, ∴ = 1, = 2, = 18, … = 18, = 17, = 1.
2 2 x2 的系数为C + C = (m2-m)+ (n2-n)=m2-19m+171. 7 7 ∴ 当 m=9 或 10 时,x2 的系数取最小值 81,此时 x7 的系数为C9 + C10 =156.

1 2

1 2


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