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学案28 等比数列及其前n项和


学案 28

等比数列及其前 n 项和

自主梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母________表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 a

n=______________. 3.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· ________ (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列, 且 k+l=m+n (k, l, m, n∈N*), 则__________________________. ?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan} (λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是 n},{an· ? n? ? n? 等比数列. ?a1>0, ?a1>0, ?a1<0 ?a1<0 ? ? (4) 单调性: ? 或? ? {an} 是 ________ 数列; ? 或? ? {an} 是 ?0<q<1 ?q>1 ?q>1 ?0<q<1 ? ? ________数列;q=1?{an}是____数列;q<0?{an}是________数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q (q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1?qn-1? a1qn a1 当 q≠1 时,Sn= = = - . 1-q q-1 q-1 q-1 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列, 其公比为______. 自我检测 1.已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 ? 5 , a7 a8a9 ? 10 ,则 a4 a5 a6 ? ( A. 5 2 B. 7 C.6 ) D. 4 2 )

2.对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是(

A.a1 , a3 , a9 成等比数列 C.a2 , a4 , a8 成等比数列

B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a3 , a6 , a9 成等比数列

3.等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = (A) n ? n ? 1? (B) n ? n ?1?

(C)

n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

4 .已知等比数列 ?a n ?满足 a1 ?

1 , a3 a5 ? 4(a 4 ? 1), 则a 2 ? ( ) 4

【A】2

【B】 1

【C】

1 2

【D】

1 8

5.设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C.

S4 =( a2
D.



15 2

17 2

.

探究点一 等比数列的基本量运算 例1 【2014·福建卷(文 17) 】在等比数列 {an } 中, a2

? 3, a5 ? 81 .

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn

? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

变式迁移 1 .等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (Ⅰ)求 ?an ? 的公比 q; (Ⅱ)求 a1 ? a3 ? 3 ,求 Sn
w.w.w.k .s.5.u .c.o.m

探究点二 等比数列的判定 例2 【2014·全国卷Ⅱ已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 .

(Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

变式迁移 2 15 年广东文科) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,n ? ? ? .已知 a1 ? 1 ,a2 ?

3 , 2

5 ,且当 n ? 2 时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 . 4 ?1? 求 a4 的值; a3 ?

? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ?
?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

探究点三 等比数列性质的应用 例 3 【2012 高考四川文 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成 立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

变式迁移 3 已知数列 ?an ?和 ?bn ?满足 a1a2 ? an ?

? 2 ? ?n ? N ? .若 ?a ?为等比数列,且
bn ?

n

a1 ? 2, b3 ? 6 ? b2 .
(1)求 an 与 bn ; (2)设 cn ?

1 1 ? n ? N ? 。记数列 ?cn ?的前 n 项和为 Sn . an bn

?

?

1 设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列的(



A. 充分且不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
) D. 64 ( )

2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6=( A. 31 3.设首项为 1 ,公比为 B. 32 C. 63

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3

A. S n ? 2an ? 1

B. S n ? 3an ? 2

C. S n ? 4 ? 3an

D. S n ? 3 ? 2an

4. 【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

5 【2014· 北京卷 (文 15) 】 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3 , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , a4 ? 12 ,

b4 ? 20 ,且 ?bn ? an ? 是等比数列.
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和.


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