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《圆锥曲线与方程》单元检测


《圆锥曲线与方程》单元测试
姓名_____________ 学号__________ 成绩____________ 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题的 4 个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.直线过抛物线 y 2 = 6,那么 A.10 2. 已 知 双 曲 线 ( A.
5 3

? 4x

的焦点,与抛物线交于 A(x1, y1)、B(x2, y2)两点,如果 x1 + x2 )

AB

等于 ( B.8
x a
2 2

C.7
?1

D.6
y ? 3 4 x

?

y b

2 2

的一条渐近线方程为

,则双曲线的离心率为

) B.
4 3

C.

5 4

D.

3 2

3.以(-6,0)(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是( , A.
x
2



?

y

2

?1

B.
2 2

y

2

?

x

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

y

2

?

x

2

?1

16

20
x y

16

20

20

16

20

16

4.方程 A. ? 1 6 ?

?

25 - m
m ? 25
2

16 ? m

? 1 表示焦点在 y

轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 ( C.
3 2 9 2 ? m ? 25

)

B. ? 1 6
? y
2

? m ?

9 2

D. m

?

9 2

5.过双曲线 x A.0 个 6.抛物线 y A.
3 5

? 1 的右焦点

F 且斜率是

的直线与双曲线的交点个数是( D.3 个 ) D. ) D.15
3 5

)

4

9

B.1 个
? x
2

C.2 个
y ? 4

上的点到直线 2 x ? B.
3 5 5

的最短距离是( C.
2 5

5

10

7.抛物线 y A.
15

2

? 12 x

截直线 y B. 2
4x 49
2

? 2 x ? 1 所得弦长等于(

15

C.
? 1 的两个焦点, P

15 2

8.设 F1 , F 2 是椭圆
? PF 1 F 2 的面积为(

?

y

2

是椭圆上的点,且

6

PF 1 : PF 2 ? 4 : 3 ,则

) B.6 C. 2
2

A.4

D. 4

2

9.如图,圆 O 的半径为定长 r , A 是圆 O 外一个定点, P 是圆上任意一点,线段 A P 的 垂直平分线 l 和直线 O P 相交于点 Q ,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )

10.设 P 为椭圆
? P F 2 F1 ? 1 5
?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上一点,两焦点分别为 F1 , F 2 ,如果 ? P F1 F 2 ? 7 5

?

,则椭圆的离心率为 ( B.
3 3

) C.
6 2

A.

6 3

D.

3 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中横线上. 11.抛物线 y
? ? 1 6 x
2

的准线方程为

.
1 2

12.中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为 ________. 13. 以 椭 圆 为 14.过椭圆 方程是
x
2

,长轴为 8 的椭圆的标准方程为

x

2

?

y

2

?1

的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程

8

5

.
? y
2

? 1 内一点 M ( 2 ,1) 引一条弦,使弦被 M

点平分,则这条弦所在的直线

16

4

.
2

15. 动点 P 在曲线 y ? 2 x ? 1 上移动,则点 P 和定点 A ( 0 , ? 1) 连线的中点的轨迹方程



.
三、解答题(本大题共 6 个大题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分 13 分) (1)焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. (2)已知双曲线的一条渐近线方程是 x ? 2 y ? 0 ,并经过点 ? 2, 2 ? ,求此双曲线的标准方程.

17.(本小题满分 13 分)已知 F1 、 F2 分别是双曲线 为 3 0 ? 的直线交双曲线于 A、B 两点. (Ⅰ)求线段 A B 的长;(Ⅱ)求 ? A F1 B 的周长.

x

2

?

y

2

3

6

? 1 的左右焦点,过右焦点 F2

作倾斜角

18.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 x O y 中,动点 P 到两点 (0 , ? 3 ) 、 (0 , 3 ) 的距离之和等 于 4.设点 P 的轨迹为 C . (I)求曲线 C 的方程;(II)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A、 B 两点,若 O A ? O B ,求 k 的值.
??? ? ??? ?

300 19. (本小题满分 12 分)炮弹在某处爆炸, F1(-5000,0)处听到爆炸声的时间比在 F2(5000,0)处晚 在 17 秒.已知坐标轴的单位长度为 1 米,声速为 340 米/秒,爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲 线方程.

20.(本小题满分 12 分)已知两点 A (0 , 3 ) , B (0 , ? 3 ) . 曲线 G 上的动点 P ( x , y ) 使得直线 P A 、 P B 的斜率之积为 ?
3 4

.
??? ? ??? ?

(I)求 G 的方程;

(II)过点 C (0, ? 1) 的直线与 G 相交于 E 、 F 两点,且 E C ? 2 C F ,求直线 EF 的方程.

? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? P F ? P F ? | P 1 | ? | P 2F| ? 2 F . 1 2

21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 两 点 F1 ( ? 2 , 0 ) 、 F 2 ( 2 , 0 ) , 曲 线 C 上 的 动 点 P ( x , y ) 满 足

(I)求曲线 C 的方程; (II)设直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 ) ,对定点 A (0, ? 1) ,是否存在实数 m ,使直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点
M 、 N ,满足 | A M |? | A N | ? 若存在,求出 m 的范围;若不存在,请说明理由.

圆锥曲线测试理科答案 一、选择题(满分 50 分,每题 5 分) 1 A 2 C 3 C 4 C 5 B 6 B 7 A 8 B 9 C 10 A

二、填空题(满分 25 分,每题 5 分) 11. y ?
3 2

12.

x

2

?

y

2

? 1或

y

2

?

x

2

? 1 (丢解扣 2 分)13.

x

2

?

y

2

?1

16

12

16
2

12

3

5

14. x ? 2 y ? 4 ? 0

15. y ? 4 x

16 解:(1)由题可知 a=2,b=1,椭圆的标准方程为: (2)设双曲线方程为: x - 4 y = λ , ∵双曲线经过点(2,2) ,∴ λ = 2 - 4 ? 2 故双曲线方程为:
y
2

x

2

+ y = 1;

2

6分 9分

4
2 2

2

2

- 12 ,

-

x

2

= 1.

12 分
3 , 0 ) , F 2 (3 , 0 ) ,直线
6 x - 27 = 0

3

12

17.解:(Ⅰ)由双曲线的方程得 F1 (-

AB 的方程为 y
- 3, x2 =

=
9 5

3 3

( x - 3)

① 2分 4分

将其代入双曲线方程消去 y 得, 5 x 2 + 将 x1 , x 2 代入①,得 y 1 = 故
AB = 16 5 3

,解之得 x1 =

.
),

- 2 3 , y2 = -

2 3 5

,故 A (- 3 , - 2 3 ) , B ( ,5

9

2 3 5

.

8分 12 分
y
2

(Ⅱ) 周长 ? | A B | ? | A F1 | ? | B F1 | ? 8 3 .

18.解: (Ⅰ)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以为焦距,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴
b ? 2 ? ( 3 ) ? 1, 故曲线 C 的方程为 x
2 2

2

?

? 1.
2

4分

4

(Ⅱ)设

? 2 y ? 1, , A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,其坐标满足 ? x ? ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
2 2

消去 y 并整理得 ( k ? 4 ) x ? 2 kx —3=0,(*) 故 x1 ? x 2 ?
2k k ?4
2

6分

, x1 x 2 ? ?

3 k ?4
2

.

??? ? ??? ? 若 O A ? O B , 即 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 .
2k
2 2

则 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? ?
2

3 k ?4
2

?

3k
2

2

k ?4

?

k ?4

? 1 ? 0, ,

10 分
1 2

化简得 ? 4 k ? 1 ? 0, 所以 k ? ?

1 2

. 满足(*)中 ? ? 0 ,故 k ? ?

为所求.

12 分

300 19[解析] 由声速为 340 米/秒可知 F1、F2 两处与爆炸点的距离差为 340× =6000(米),因此爆炸点 17 在以 F1、F2 为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离 F1 处比 F2 处更远,所以爆炸点应在靠近 F2 处的一支上. 设爆炸点 P 的坐标为(x,y),则

|PF1|-|PF2|=6000,即 2a=6000,a=3000. 而 c=5000,∴b2=50002-30002=40002, ∵|PF1|-|PF2|=6000>0,∴x>0, x2 y2 所求双曲线方程为 =1(x>0). 2- 3000 40002 解: (I)由题知, k A P = 故 k AP k BP =
y - 3 x
2 2

yx

3

, k BP =

y+ x

3

(x

0) ,

= -

3 4

(x

0 ) ,化简得 G 的方程为:

x

2

+

y

2

= 1( x

0) .

4分 6分

(II)设 E ( x1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ,由 E C = 2 C F 得 x1 = - 2 x 2 . 设直线 EF 的方程为 y = kx - 1 ,代入 G 的方程可得: (3 + 4 k ) x - 8 kx - 8 = 0
\ x1 + x 2 = 8k 3 + 4k
2

uuu r

uuu r

4

3

2

2

8分

, x1 x 2 =
8k

- 8 3 + 4k
2

2

又 x1 = -2 x 2 , \ - x 2 = 将 x 2 消去得 k =
2

3 + 4k

,- 2 x22 =

- 8 3 + 4k
2



10 分

1 4

,即k = 1 2 x

1 2 1.

故直线 EF 的方程为 y = ? (I)所求曲线的方程为 x
2

? y ? 1.
2

6分

3

(II)设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), 线段 M N 的中点为 P ( x 0 , y 0 ) ,联立方程组得,
? y ? kx ? m , ? 2 ?x 2 ? y ? 1, ? ? 3 ? (3 k ? 1) x ? 6 m k x ? 3 m ? 3 ? 0 .
2 2 2

8分 10 分

由直线与椭圆有两个交点,得 m ? 3 k ? 1 ,
2 2

且 x0 ? ? 又k

3km 1 ? 3k
2

, y0 ? kx0 ? m ?
? ? 1 k

m 1 ? 3k
?
2


2

AP

? k ? ?1 ?

y0 ? 1 x0

,即 m

1 ? 3k 2



12 分 14 分

代入上式得 m ? ( , 2 ) .
2

1

法二:点差得 k

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

x0 3 y0
2

,又 k

AP

? k ? ?1 ?

y0 ? 1 x0

? ?

1 k

,故 x 0
2

? ?

3 2

k , y0 ?

1 2

.

点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆内,得 k ? (0,1),

m ? y0 ? kx0 ?

1 2

?

3 2

k ?(

1 2

, 2)


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