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人教版高中数学必修3精品课件:1.3算法案例


Office组件之word2007 Office组件之word2007 案例1 辗转相除法与更相减损术 〖创设情景,揭示课题〗 [问题1]:在小学,我们已经学过求最大公约数 的知识,你能求出18与30的最大公约数吗? 2 18 30 先用两个数公有的质因数 3 9 15 连续去除,一直除到所得 3 5 的商是互质数为止,然后 ∴18和30的最大公约 把所有的除数连乘起来. 数是2×3=6. [问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大 公约数,如果公约数比较大而且根据我们的观察 又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它们 的最大公约数?比如求8251与6105的最大公约数? 〖研探新知〗 1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 分析:8251与6105两数都比较大,而且没 有明显的公约数,如能把它们都变小一点,根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解:8251=6105×1+2146 显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数,同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数,所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。 〖研探新知〗 1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解:8251=6105×1+2146; 6105=2146×2+1813; 2146=1813×1+333; 1813=333×5+148; 333=148×2+37; 148=37×4+0. 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步:用较大的数m除以较小的数n得到 一个商q0和一个余数r0;(m=n×q0+r0) 第二步:若r0=0,则n为m,n的最大公约 数;若r0≠0,则用除数n除以余数r0得到一个 商q1和一个余数r1;(n=r0×q1+r1) 第三步:若r1=0,则r0为m,n的最大公约 数;若r1≠0,则用除数r0除以余数r1得到一个 商q2和一个余数r2;(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn=0,此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。 辗转相除法求最大 公约数算法: ? ? ? ? 第一步,给定两个正数m,n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n,n=r 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则返回第二步 4. 辗转相除法的程序框图及程序: 开始 输入两个正数m,n m<n? 是 x=n n=m m=x 否 r=m MOD n r≠0? n=r m=n 是 否 输出n 结束 INPUT m,n IF m<n THEN x=n n=m m=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT n END 练习1:利用辗转相除法求两数4081与 20723的最大公约数. 20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0. 2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算 法,就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下:可 半者半之,不可半者,副置分母· 子之数,以少 减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译出来为:第一步:任意给出两个正数; 判断它们是否都

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