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江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一(上)期中 数学试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)设集合 A={0,1,2,3},B={1,3,5},则 A∩B=. 2. (5 分)设 U={x|x≤1},A={x|x<0},则?UA=. 3. (5 分)函数 f(x)=log2 的定义域是.

4. (5 分

) (lg5) +lg2×lg50=. 5. (5 分)已知函数 f(x)=(α﹣2)x 是幂函数,则函数 f(x)的奇偶性是. 6. (5 分)方程 3 =x+2 解的个数是. 7. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,下列命题中正确的是(填命题序号) . ①若 f(3)>f(2) ,则 f(x)在定义域 R 上是单调增函数; ②若 f(3)>f(2) ,则 f(x)在定义域 R 上不是单调减函数; ③若 f(x)在定义域 R 上是单调增函数,则必有 f(3)>f(2) ; ④若 f(3)<f(2) ,则 f(x)在定义域 R 上不是单调增函数. 8. (5 分)设 a=log75,b=log67,则 a、b 的大小关系是. 9. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣bx+1,a,b∈R,若 f(﹣2)=﹣1,则 f(2)=. 10. (5 分)已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x+1,则当 x<0 时,f(x) 的解析式为. 11. (5 分)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上是增函数,则 下列命题中正确的是(填命题序号) . ①f(﹣1)<f(﹣2) ;②f(1)<f(2) ;③f(﹣1)<f(2) ;④f(﹣1)>f(2) . 12. (5 分)若 a+ =3,则 a ﹣
2 3 3 x α

2

=.

13. (5 分)已知函数

是奇函数,则常数 a=.

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14. (5 分)若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=(a+1) 取值范围是 .

2

1﹣x

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的

二、解答题(共计 90 分) 15. (14 分)记函数 f(x)= 域为集合 N,求: (1)M,N (2)求 M∩N,M∪N. 16. (14 分) (1)说明由函数 y=log3(x﹣1)作怎样的变换可以得到函数 y=log3(x+2)的 图象; (2)画出函数 y=log3|x|的图象,根据图象指出其奇偶性与单调区间(不需证明) . + 的定义域为集合 M,函数 g(x)=x ﹣2x+3 值
2

17. (14 分)复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算 利息的方法.某人向银行贷款 10 万元,约定按年利率 7%复利计算利息. (1)写出 x 年后,需要还款总数 y(单位:万元)和 x(单位:年)之间的函数关系式; (2)计算 5 年后的还款总额(精确到元) ; (3)如果该人从贷款的第二年起,每年向银行还款 x 元,分 5 次还清,求每次还款的金额 x. (精确到元) 3 4 5 6 (参考数据:1.07 =1.2250,1.07 =1.3108,1.07 =1.402551,1.07 =1.500730)

18. (16 分) 已知函数 f(x)=

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) ,求 abc 的取值范围.

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19. (16 分)已知函数 f(x)的定义域为 A, ①如果对于任意 x1、x2∈A,x1≠x2,都有 f( 是凹函数. ②如果对于任意 x1、x2∈A,x1≠x2,都有 f( )> [f(x1)+f(x2)],则称函数 f(x) )< [f(x1)+f(x2)],则称函数 f(x)

是凸函数. 2 (1)判断函数 y=x 是凹函数还是凸函数,并加以证明; (2)判断函数 f(x)=log2x 是凹函数还是凸函数,并加以证明. 20. (16 分)已知函数 f(x)= (a∈R 且 x≠a) .

(Ⅰ)求证:f(x)+f(2a﹣x)=﹣2 对定义域内的所有 x 都成立; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为[a+ ,a+1]时,求证:f(x)的值域为[﹣3,﹣2]; (Ⅲ)设函数 g(x)=x +|(x﹣a)?f(x)|,当 a=﹣1 时,求 g(x)的最小值.
2

2014-2015 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一 (上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)设集合 A={0,1,2,3},B={1,3,5},则 A∩B={1,3}. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出两个集合的公共元素即可. 解答: 解:集合 A={0,1,2,3},B={1,3,5},则 A∩B={1,3}. 故答案为:{1,3}.
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点评: 本题考查交集的求法,基本知识的考查. 2. (5 分)设 U={x|x≤1},A={x|x<0},则?UA={x|0≤x≤1}. 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用集合的基本运算求解即可. 解答: 解:U={x|x≤1},A={x|x<0},则?UA={x|0≤x≤1}. 故答案为:{x|0≤x≤1}. 点评: 本题考查补集的运算法则的应用,基本知识的考查. 3. (5 分)函数 f(x)=log2 的定义域是{x|x>3}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意令真数大于 0,分母不为 0,根式的被开方数≥0,解所得的不等式组,其解 集即是所求的定义域

解答: 解:由题意



解得 x>3, 故函数 f(x)=log2 的定义域是{x|x>3}

故答案为:{x|x>3} 点评: 本题考查函数的定义域及其求法, 解题的关键是理解函数的定义域的定义, 及求定 义域的方法,求定义域一般借助如下的一些限制条件,如:对数真数大于 0,偶次根号下非 负,分母不为 0 等. 4. (5 分) (lg5) +lg2×lg50=1. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则、lg2+lg5=1 即可得出. 解答: 解:原式=lg 5+lg2(1+lg5) =lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5+lg2=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1,属于基础题. 5. (5 分)已知函数 f(x)=(α﹣2)x 是幂函数,则函数 f(x)的奇偶性是奇函数. 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
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α 2 2

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义,求出 α 的值,即得函数 f(x)的解析式与奇偶性. 解答: 解:∵函数 f(x)=(α﹣2)x 是幂函数, ∴α﹣2=1, ∴α=3; 3 ∴f(x)=x , ∴函数 f(x)是 R 上的奇函数. 故答案为:奇函数. 点评: 本题考查了幂函数定义的应用问题,也考查了函数奇偶性的应用问题,是容易题. 6. (5 分)方程 3 =x+2 解的个数是 2. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 构造函数 y=3 ,y=x+2,画出图象函数图象的交点个数即可. x 解答: 解:构造函数 y=3 ,y=x+2,画出图象, 有 2 个交点, ∴方程 3 =x+2 解的个数是 2,
x x α

故答案为:2 点评: 本题考查了函数的图象,运用图象求解方程的解的个数,属于容易题. 7. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,下列命题中正确的是②③④(填命题序号) . ①若 f(3)>f(2) ,则 f(x)在定义域 R 上是单调增函数;
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②若 f(3)>f(2) ,则 f(x)在定义域 R 上不是单调减函数; ③若 f(x)在定义域 R 上是单调增函数,则必有 f(3)>f(2) ; ④若 f(3)<f(2) ,则 f(x)在定义域 R 上不是单调增函数. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 逐个判断四个命题的真假,对于真命题给出理由,对于假命题举出反例;对于① 可以给出反例 y=(x﹣1) 得出其为假命题;对于②④利用逆否命题来判断它为真命题; 对于③可根据单调性的定义说明其为真命题; 2 解答: 解:对于①,给出函数 y=(x﹣1) ,满足 f(3)>f(2) ,但 f(x)不是 R 上的 单调增函数,说明①是假命题; 对于②,可以变形为“若 f(x)在 R 上是单调减函数,则函数 f(x)满足 f(3)≤f(2)”, 显然是真命题; 对于③,若 f(x)在定义域 R 上是单调增函数,则必有 f(3)>f(2) ,显然是真命题; 对于④,可以变形为“若 f(x)在 R 上是单调增函数,则函数 f(x)满足 f(3)≥f(2)”, 显然是真命题; 故答案为:②③④ 点评: 本题考查了函数的单调性的判断与证明, 属于简单题, 熟练掌握基本初等函数的图 象与性是做好本题的关键. 8. (5 分)设 a=log75,b=log67,则 a、b 的大小关系是 a<b. 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=log75<log77=1, b=log67>log66=1, ∴a<b. 故答案为:a<b 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 9. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣bx+1,a,b∈R,若 f(﹣2)=﹣1,则 f(2)=3. 考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 分别把 x=2 和﹣2 代入 f(x)=ax ﹣bx+1,得到两个式子,再把它们相加就可求出 f(2)的值. 3 解答: 解:∵f(x)=ax ﹣bx+1, ∴f(﹣2)=﹣8a+2b+1=﹣1,① 而设 f(2)=8a﹣2b+1=M,② ∴①+②得,M=3,即 f(2)=3, 故答案为:3. 点评: 本题考查了利用整体代换求函数的值,即利用函数解析式的特点进行求解.
3 3 2

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10. (5 分)已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x+1,则当 x<0 时,f(x) 3 的解析式为 f(x)=x +2x﹣1. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 考虑 x<0 时,﹣x>0,利用已知条件求 f(﹣x)的解析式,又 f(x)是奇函数, 可得 x<0 时 f(x)的解析式. 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) 当 x<0 时,﹣x>0, 3 ∵x>0 时,f(x)=x +2x+1, 3 3 ∴f(﹣x)=(﹣x) ﹣2x+1=﹣x ﹣2x+1, 3 ∴﹣f(x)=﹣x ﹣2x+1, 3 ∴f(x)=x +2x﹣1. 3 即 x<0 时,f(x)=x +2x﹣1. 3 故答案为:f(x)=x +2x﹣1 点评: 本题考查了函数的奇偶性与解析式的求法问题,是基础题. 11. (5 分)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上是增函数,则 下列命题中正确的是④(填命题序号) . ①f(﹣1)<f(﹣2) ;②f(1)<f(2) ;③f(﹣1)<f(2) ;④f(﹣1)>f(2) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上是增函数, ∴①f(﹣1)<f(﹣2)不成立, ②f(1)<f(2)等价为 f(﹣1)<f(﹣2)不成立; ③f(﹣1)<f(2)等价为 f(﹣1)<f(﹣2)不成立; ④f(﹣1)>f(2)等价为 f(﹣1)>f(﹣2)成立, 故正确的命题是④ 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系,比较基础. 12. (5 分)若 a+ =3,则 a ﹣
2

3

=



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中 a+ =3,利用乘方法可得 a + 可得 a ﹣
2 2

=7,a﹣ =

,进而结合平方差公式

=(a+ ) (a﹣ )的值.

解答: 解:∵a+ =3,

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∴(a+ ) =a + ∴a +
2

2

2

+2=9,

=7,
2 2

∴(a﹣ ) =a + ∴a﹣ = ∴a ﹣
2

﹣2=5,

, =(a+ ) (a﹣ )= ,

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是有理数指数幂的化简求值, 熟练掌握乘方法是解答此类问题的 关键. 13. (5 分)已知函数 是奇函数,则常数 a= .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数 是奇函数,我们根据定义域为 R 的奇函数图象必

要原点,构造出一个关于 a 的方程,解方程即可求出常数 a 的值. 解答: 解:若函数 由于函数的定义域为 R 则 即 a+ =0 解得 a=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,其中根据定义域为 R 的奇函数图象必要 原点,构造出一个关于 a 的方程,是解答本题的关键. 14. (5 分)若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=(a+1) 取值范围是 (0,1].
2 1﹣x

是奇函数

=0

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的

考点: 指数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用二次函数的单调性以对称轴为分界和复合函数的单调性遵循原则来求. 解答: 解:∵f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=(a+1)
2 1﹣x

在区间[1,2]上都是减函数,

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∴f(x)的对称轴 x=a≤1,① 又∵y=1﹣x[1,2]上是减函数, ∴g(x)=(a+1) 在区间[1,2]上是减函数须满足 a+1>1?a>0② 综上得 0<a≤1. 故答案为(0,1]. 点评: 本题考查了二次函数和指数函数的复合函数的单调性. 关于复合函数的单调性遵循 原则是单调性相同,复合函数为增函数;单调性相反,复合函数为减函数. 二、解答题(共计 90 分) 15. (14 分)记函数 f(x)= 域为集合 N,求: (1)M,N (2)求 M∩N,M∪N. 考点: 函数的值域;交集及其运算;函数的定义域及其求法. 专题: 集合思想;函数的性质及应用. 分析: (1)根据根式有意义的条件可得集合 M,根据二次函数的值域的求解可得 N; (2)根据第(1)题的结果,利用集合交集和并集的定义运算即可. 解答: 解: (1)∵函数 的定义域为集合 M,则有 , + 的定义域为集合 M,函数 g(x)=x ﹣2x+3 值
2 1﹣x

故 1≤x≤3,集合 M=[1,3], 2 2 ∵函数 g(x)=x ﹣2x+3 值域为集 N,则 g(x)=x ﹣2x+3≥2,集合 N=[2,+∞) , 所以 M=[1,3],N=[2,+∞) , (2)M∩N=[1,3]∩[2,+∞)=[2,3], M∪N=[1,3]∪[2,+∞)=[1,+∞) . 点评: 本题属于以函数的定义域,值域的求解为平台,进而求集合的交集、补集、并集的 运算的基础题,是高考常会出现的题型,属于基础题. 16. (14 分) (1)说明由函数 y=log3(x﹣1)作怎样的变换可以得到函数 y=log3(x+2)的 图象; (2)画出函数 y=log3|x|的图象,根据图象指出其奇偶性与单调区间(不需证明) .

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考点: 函数的图象与图象变化;函数图象的作法. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: (1)由平移变换知向左平移 3 个单位; (2)作出函数的图象,从而由图象写出其奇偶性与单调区间. 解答: 解: (1)向左平移 3 个单位; (2)作图如下,

定义域为{x|x≠0}关于原点对称, 是偶函数, 单调减区间为(﹣∞,0) ; 单调增区间为(0,+∞) . 点评: 本题考查了函数图象的变换与作法,属于中档题. 17. (14 分)复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算 利息的方法.某人向银行贷款 10 万元,约定按年利率 7%复利计算利息. (1)写出 x 年后,需要还款总数 y(单位:万元)和 x(单位:年)之间的函数关系式; (2)计算 5 年后的还款总额(精确到元) ; (3)如果该人从贷款的第二年起,每年向银行还款 x 元,分 5 次还清,求每次还款的金额 x. (精确到元) 3 4 5 6 (参考数据:1.07 =1.2250,1.07 =1.3108,1.07 =1.402551,1.07 =1.500730) 考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等比数列的性质能求出 x 年后,需要还款总数 y 之间的函数关系式. 5 (2)5 年后的还款总款为 y=10(1+7%) =14.0255 万元. 2 3 4 (3) 由已知得 x (1+1.07+1.07 +1.07 +1.07 ) =14.0255, 由此能求出每次还款的金额为 2.4389 万元. 解答: 解: (1)∵某人向银行贷款 10 万元,约定按年利率 7%复利计算利息. ∴x 年后,需要还款总数 y 之间的函数关系式为:
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y=10(1+7%) ,x∈N . (2)5 年后的还款总款为: y=10(1+7%) =14.0255 万元. 2 3 4 (3)由已知得 x(1+1.07+1.07 +1.07 +1.07 )=14.0255, 解得 x=2.4389, ∴每次还款的金额为 2.4389 万元. 点评: 本题考查数列知识在生产、生活中的实际应用,是中档题,解题时要认真审题,注 意等比数列的性质的合理运用.
5

x

*

18. (16 分) 已知函数 f(x)=

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) ,求 abc 的取值范围.

考点: 函数图象的作法. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.

分析: (1)作函数 f(x)=

的图象;

(2)由图象可知,不存在 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) .

解答: 解: (1)作函数 f(x)=

的图象如下,

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(2)由图象可知,不存在 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) . 点评: 本题考查了函数的图象的作法及图象的应用,属于中档题. 19. (16 分)已知函数 f(x)的定义域为 A, ①如果对于任意 x1、x2∈A,x1≠x2,都有 f( 是凹函数. ②如果对于任意 x1、x2∈A,x1≠x2,都有 f( 是凸函数. (1)判断函数 y=x 是凹函数还是凸函数,并加以证明; (2)判断函数 f(x)=log2x 是凹函数还是凸函数,并加以证明. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)函数 y=x 的定义域是 R,是凹函数.证明如下:?x1、x2∈(0,+∞) ,x1≠x2, 求出 f( ) , [f(x1)+f(x2)].比较 f( )与 [f(x1)+f(x2)]的大小即
2 2

)< [f(x1)+f(x2)],则称函数 f(x)

)> [f(x1)+f(x2)],则称函数 f(x)

可判断函数是凹函数. (2)函数 f(x)=log2x 的定义域是(0,+∞) ,函数是凸函数证明如下与(1)的解法一样. 2 解答: 解: (1)函数 y=x 的定义域是 R,是凹函数. 证明如下: ?x1、x2∈(0,+∞) ,x1≠x2, f( )= , [f(x1)+f(x2)]= [x1 +x2 ].
2 2

∵f( 所以 f(

)﹣ [f(x1)+f(x2)]=

﹣ [x1 +x2 ]=
2

2

2

<0,

)< [f(x1)+f(x2)],即函数 f(x)=x 是凹函数.

(2)函数 f(x)=log2x 的定义域是(0,+∞) ,函数是凸函数.
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证明如下: ?x1、x2∈(0,+∞) ,x1≠x2, f( ∵f( =log2( )=log2( ) , [f(x1)+f(x2)]= log2x1+ log2 x2= log2x1x2

)﹣ [f(x1)+f(x2)] )﹣ log2 x1 x2=log2( )﹣log2 =log2( )

而 x1+x2﹣2

=(



) >0,所以

2

>1,log2(

)>0,

所以 f(

)> [f(x1)+f(x2)],即函数 f(x)=log2x 是凸函数.…(16 分)

点评: 本题考查函数与方程的应用,函数的凹凸性的判断,考查计算能力. (a∈R 且 x≠a) .

20. (16 分)已知函数 f(x)=

(Ⅰ)求证:f(x)+f(2a﹣x)=﹣2 对定义域内的所有 x 都成立; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为[a+ ,a+1]时,求证:f(x)的值域为[﹣3,﹣2]; (Ⅲ)设函数 g(x)=x +|(x﹣a)?f(x)|,当 a=﹣1 时,求 g(x)的最小值. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 证明题;综合题. 分析: (Ⅰ)f(x)+f(2a﹣x)=﹣2 可转化为: ,与 x 取值无关得证; (Ⅱ)由定义域为[a+ ,a+1],得 = 求解.
2 2

,再由 f(x)

(Ⅲ)解:由 a=﹣1,得 g(x)=x +|x|(x≠﹣1)当 x≥0 时, 最小值;当 x≤0 时,

求得

求得最小值,最后从中取最小的,作为函数

的最小值. 解答: 证明: (Ⅰ)f(x)+f(2a﹣x)=﹣2 可转化为:

与 x 取值无关 ∴f(x)+f(2a﹣x)=﹣2 对定义域内的所有 x 都成立; (Ⅱ)证明:

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f(x)值域为[﹣3,﹣2] (Ⅲ)解:当 a=﹣1 时,g(x)=x +|x|(x≠﹣1) (ⅰ)当 x≥0 时, 则函数 g(x)在[0,+∞)上单调递增, g(x)min=g(0)=0 (ⅱ)当 x≤0 时, 则函数 g(x)在(﹣∞,0]且 x≠﹣1 时单调递减, g(x)min=g(0)=0 综合得:当 x≠﹣1 时,g(x)的最小值是 0. 点评: 本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题.
2

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