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答案(学生用)


2016 届高三(理)模拟测试题(四)
理科数学参考答案及解析
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1D.2A

3C

4C

5C

6B

7C

8B

9D

10B

11B

12A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.36 14. an ? ?

?-1 (n ? 1)
n?2 ?-2 (n ? 2)

15 . 1

16 . -8

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . 【 解 析 】 (I)由题意知, y ? (4 ? 将 p ? 3?

20 ) p ? x ? (10 ? 2 p) ,………………3 分 p

2 4 ? x (0 ? x ? a ) 代入化简得: y ? 16 ? .………………5 分 x ?1 x ?1

(II) y ? 17 ? ( 当且仅当

4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 , x ?1 x ?1

4 ? x ? 1,即x ? 1 时,上式取等号.………………8 分 x ?1 4 ? x ? 1) 在 ?0, a ? 上单调递增, x ?1

当 a ? 1 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;………………9 分 当 a ? 1 时, y ? 17 ? (

所以 x ? a 时,函数有最大值,即促销费用投入 a 万元时,厂家 的利润最大…11 分 综上,当 a ? 1 时,促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时,促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大.………………12 分

18. 【解析】 (Ⅰ)证明:连接 BM,则 AM=BM= 2 ,所以 AM ? BM 又因为面 ADM ? 平面 ABCM , 面ADM ? 面ABCM=AM 所以, BM ? 面ADM ? BM ? AD . (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz

1

由(I)可知,平面 ADM 的法向量 m ? (0,1, 0) 设平面 ABCM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

??

?

所以, A( 2, 0, 0), B(0, 2, 0), D(

2 2 , 0, ), M (0, 0, 0) 2 2

??? ? ??? ? 2 2 ???? 2 2 DB ? (? , 2, ? ), DE ? ? DB ? E ((1 ? ? ) , 2? , (1 ? ? ) ) 2 2 2 2
???? ???? 2 2 MA ? ( 2,0,0), ME ? ((1 ? ? ) , 2? ,(1 ? ? ) ) 2 2 ? ???? ? ? n ? MA ? 0 ? …………………………………………10 分 ? ???? ? ? n ? (0,1 ? ? , ?2? ) n ? ME ? 0 ? ?

二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 1 得, ? ? ,即:E 为 DB 的中点.………………12 分 5 2

19. 【解析】 (I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28, 得 a3=8,∴a2+a4=20

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?q ? ?a1q ? a1q ? 20 ∴? 解之得 ? 或? 2 2 ? ?a1 ? ? ?a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? 32
又{an}单调 递增,∴q=2,a1=2,
n n n (II) bn ? 2 ? log 1 2 ? ? n ? 2 , 2

∴ an ? 2 n .

……………… 6 分

∴ ∴

? sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n ? 2 n

① ②

?2 sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 n ? n2 n ?1

∴①-②得 sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n ?1 ? ∴ sn ? n ? 2
n ?1

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 = 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 1? 2

? 50, 即 2n ?1 ? 2 ? 50,? 2n ?1 ? 52 ? 50, 成立的正整数 n 的最小值为 5 .………………
12分

故使 sn ? n ? 2

n ?1

20. 【解析】 (1)当 m ? 0 时,直线 l : y ? kx ? m 代入椭圆 C :
2

x2 y 2 ? ? 1 的方程, 4 2

得到 x ? 2k x ? 4 ,
2 2 2

………………………………2 分

解得 P ? ?

? ?

2 1 ? 2k
2

,?

? ? 2 2k ? , ?,Q? ? ……………………………4 分 2 1 ? 2k ? ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? 2k
2

?
所以 k1 ?

? 2 2k ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? , 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? 2k ? 2 ? 1 ? 2k 2 . 2

2k

2k
2 k 2 ? 1 ? 2k 2

………………………………5 分

1 ? 2k 2
所以 k1 ? k2 ?

4k 2 ? 2 ?1 ? 2k 2 ? 4

1 ………………………………………………………6 分 ?? . 2

x2 y 2 ? ? 1 的方程,并整 (2)设 P ? x1 , y1 ?,Q ?x 2 ,y 2 ? ,将直线 l : y ? kx ? m 代入椭圆 C : 4 2
2 2 2 理得到 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,

?

?

………………………………8 分

则 ? ? 0 且 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 4 , x ? x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
………………………………10 分

由 k1 ? k2 ? ?1 知,

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? ?1 , x1 x2

即 y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 x2 ? 0 ,

? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ?

2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? ? x1 x2 ? 2 ? 0

k 2 x1 x2 ? mk ? k1 ? k2 ? ? m 2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 2 2m ? x1 x2 ? 2 ? 0 ,

?k
?k

2

? 1?

2m2 ? 4 ? 4km ? ? k m? 2 ?? ? m2 ? 2 2m ? 2 ? 0 , 2 2 ? 1 ? 2k ? 1 ? 2k ?

?

?

2

? 1?? 2m2 ? 4 ? ? k m ? 2 ? ?4km ? ? m2 ? 2 2m ? 2 ?1 ? 2k 2 ? ? 0
2

?

?

?

?

所以, 3m ? 2 2m ? 2 ? 0 ,所以 m ? 2 (舍)或 m ? ?

2 ,……………………11 分 3

3

所以直线 l 过定点 ? 0, ?

? ? ?

2? ? . ……………………………………………………………12 分 3 ? ?

21【解析】(Ⅰ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) = x ln x ? x ln b ? a(a ? 0,b ? 0) , ∴ h?( x) ? ln x ? 1 ? ln b , 由 h?( x) ? 0 解得 x ?

1 1 ,由 h?( x) ? 0 解得 0 ? x ? , be be

∴ 函数 h( x) 的单增区间是 (

1 1 , ? ?) ,函数 h( x) 的单减区间是 (0 , ) . be be

………………………………………………………4 分 (Ⅱ)由 f ( x0 ) ≤ g ( x0 ) 可变为 x0 ln 令 p( x) ? x ln ? a , x ?[ 由 p?( x) ? 0 可得 x ?

x0 ? a ≤0. b

x b

a ? b 3a ? b x , ] ,则 p?( x) ? ln ? 1 . 4 5 b

b b ,由 p?( x) ? 0 可得 0 ? x ? , e e b e

所以 p( x) 在 (0 , ) 单调递减,在 ( , ? ?) 单调递增.………………………5 分 根据题设知: ①若

b e

a ? b 3a ? b b ,可解得 ? (0 , ? 7) . …………………………6 分 a 4 5

3a ? b b b 3e ≤ ,即 ?[ , 7) 时, e 5 a 5?e a ? b 3a ? b , ] 单调递减, 4 5
3a ? b 3a ? b 3a ? b )? ln ? a ≤0 , 5 5 5b

∵ p ( x) 在 [

∴ p( x)min ? p(

b a ? 5 ≤0 对 b ?[ 3e , 即 ln 7) 恒成立. b b a 5?e 5? 3? a a 3?
令t ?

b 3e 3?t 5 ≤0, ?[ , 7) , q(t ) ? ln ? a 5?e 5t 3?t
8t ? 9 3e ? 0 ,即 q (t ) 在 [ , 7) 上是减函数; t (t ? 3) 2 5?e

则 q?(t ) ? ?

则 q(t )max ? q(

3e 2?e )? ?0, 5?e 5

4

b 3? b 3e a ? 5 ≤0 成立.……………………8 分 所以对任意 ?[ , 7) , ln b b a 5?e 5 3? a a
②当

a ? b b 3a ? b b e 3e ,即 ? ( , ) 时, ? ? a 4?e 5?e 4 e 5

当且仅当 p( x)min ? p( ) ?

b e

b b 3e b 1 ). ln ? a ≤0,即 ≥e,此时 ?[e , a a 5?e e e

……………………………………………………10 分 ③当

a?b b b e ≥ 时, 即 ? (0 , ) 时, 4 e a 4?e

∵ p ( x) 在 [

a ? b 3a ? b , ] 上单调递减, 4 5
a?b a?b a?b )? ln ? a ≤0, 4 4 4

∴ p( x)min ? p( 令t ?

b e 1? t 4 ≤0 恒成立. ? ? (0 , ) ,即 ? (t ) ? ln 4t 1 ? t a 4?e
5t ? 1 e ? 0 ,所以 ? (t ) 在 (0 , ) 上是减函数, t (t ? 1) 2 4?e

因为 ? ?(t ) ? ?

故存在无数个 t0 ? (0 ,

e ) ,使得 ? (t0 ) ? 0 , 4?e

如取 t0 ? 1,? (1) ? ln ? 2 ? 0 与 ? (t ) ≤0 恒成立矛盾,此时不成立. 综上所述,

1 2

b 7) .………………………………………12 分 的取值范围是 [e , a

5

22. 【解析】 由题意 ?PAB ? ?C,?APB ? ?CPA,∴ ? PAB∽? PCA, ∴ ∵ PA ? 6,AC ? 8,BC ? 9, ∴

PA PB AB = ? PC PA C A

6 PB AB ? ? , ∴ PB ? 3,AB ? 4, . PB ? 9 6 8

23. 【解析】 (1)根据半圆 C 的参数方程 ?
2 普通方程: x ? ? y ? 1? ? 1? 0 ? x ? 1? , 2

? x ? cos ? ? ? ?? ? 为参数, ? ? ? ? , ? ,得圆的 ? 2 2? ? y ? 1 ? sin ?
………………………………3

分 所以,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,? ? ?0,

? ?? . ? 2? ?

………………………………5 分

(2)依题意可知半圆 C 的直径为 2,设半圆 C 的直径为 OA , 所以 sin ?TAO ?

3 , 2

………………………………8 分

因为 ?TAO ? ?0,

? ? ? ?? ,所以 ?TAO ? ,因为 ?TAO ? ?TAX ,所以 ?TAX ? ,所以 ? 3 3 ? 2?
? ?

点 T 的极坐标为 ? 3,

??

?. 3?

………………………………………………10 分

24. 【解析】 (1)当 a ? 2 时,由 f ? x ? ? 4 得, x ?1 ? x ? 2 ? 4 ,

? x ?1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2 或? 或? ? ?3 ? 2 x ? 4 ? 1 ? 4 ?2 x ? 3 ? 4
原不等式的解集为 ? x x ? ? , 或 x ?

解得: x ? ?

1 7 ,或 x ? . 2 2

? ?

1 2

7? ? . ………………………………………………5 分 2?

(2)由不等式的性质得: f ? x ? ? a ?1 , 要使不等式 f ? x ? ? 2a 恒成立,则只要 a ?1 ? 2a ,………………………………………8 分 解得: a ? ?1 或 a ?

1 , 3
6

所以实数 a 的取值范围为 ? ??, ? . 3

? ?

1? ?

………………………………………………10 分

7


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