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条件概率第二课时


条件概率
会宁三中 董尚勇

复习回顾
1.条件概率
对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的 条件下事件B发生的概率”,叫做条件概率。 记作P(B |A). 读作:A发生的条件下B发生的概率

2、公式

n( AB) P( AB) ? P( B | A) ? P( A) n( A)

n( A) P( A) ? n ( ?)

2、公式

n( AB) (1) P( B | A) ? n( A)

公式(1)适用于古典概型

P( AB) (2) P( B | A) ? P( A)

公式(2)适用于任何情形

3、公式的注意事项

n( AB) P( AB) P( B | A) ? ? n( A) P( A)
1.公式中的P(A)>0 2.P(BIA)与P(AB)的区别

P(AB) P(B|A) 联 系 事件A和B都发生 A先B后 区 事件发生的顺序 A,B同时发生 别 Ω A 样本空间 概率大小
3.P(BIA)P(AIB)的区别

P(AB) ≤P(B|A)

4.条件概率的性质:
(1)有界性: 0 ?

P ? B A? ? 1

特别地当B= ? 时, P

? ? A? ? 1

(2)可加性:如果B和C是两个互斥事件,则

P ? B C A? ? P ? B A? ? P ? C A ?

求解条件概率的一般步骤
求解条件概率的一般步骤:

(1)用字母表示有关事件 (2)求P(AB),P(A)或n(AB),n(A)

P ( AB) n( AB) ? (3)利用条件概率公式求 P ? B A? ? P ( A) n( A)

讲授新课 例1:某一批种子的发芽率为0.9,出芽后的
幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机的抽 取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率?

分析:这粒种子要成长为幼苗,必须保证能 发芽,然后保证成活,又种子发芽和幼苗成 活是两件相互独立事件,因此,可以按照相 互独立事件的概率的乘法公式得到所要求的 概率,乘法公式为P(AB)=P(A)×P(BIA)

讲授新课 例1:某一批种子的发芽率为0.9,出芽后的
幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机的抽 取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率?

解:设这粒种子发芽为事件A,幼苗能成活为 事件B,则P(A)=0.9,P(B|A)=0.8 由相互独立事件的概率的乘法公式得 P(AB)=P(A)×P(BIA)=0.9×0.8=0.72 答:这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72

巩固与应用:
练习1:100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次, 每次抽1件.已知第1次抽出的是次品,求第2次抽出

正品的概率.
练习2:甲乙两城市都位于长江下游,根据一百多年 的气象记录,知道一年中雨天的比例甲城市占20% ,乙城市占18%,两地同时下雨占12%. 求(1)已知甲城市下雨,求乙城市下雨的概率; (2)已知乙城市下雨,求甲城市下雨的概率;

巩固与应用:
1、100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽 1件.已知第1次抽出的是次品,求第2次抽出正品的概率.
解:设第一次抽出次品的事件 为A,第二次抽出正品的事件 为B,则第一次抽出次品且第 二次抽出正品的事件为AB.
解法1:在第一次抽出次品 的条件下第二次抽出正品 的概率为 解法2:在第一次抽出次品的条件 下第二次抽出正品的概率为
5 ? 95 P? AB? 100? 99 95 P?B A? ? ? ? 5 ? 99 P ? A? 99 100? 99

解法3:在第一次抽出次品的条件下, 剩下的99件产品中有4件次品,所以 在第一次抽出次品的条件下第二次 n? AB? 5 ? 95 95 抽出正品的概率为 95 P BA ? ? ? P(BIA)= n? A? 5 ? 99 99

? ?

99

巩固与应用:
练习2:甲乙两城市都位于长江下游,根据一百多年的气象记
录,知道一年中雨天的比例甲城市占20%,乙城市占18%,两 地同时下雨占12%.

求(1)已知甲城市下雨,求乙城市下雨的概率;
(2)已知乙城市下雨,求甲城市下雨的概率;

解:设事件A为甲城市出现雨天,事件B为乙城市 出现雨天,则事件AB为两地同时出现雨天. 已知P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12, 因此,P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.20=0.60, P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18≈0.67.

例 2 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到
25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25 岁的概率。 解:设事件A表示“活到20岁”(即≥20),事件B 则: 表示“活到25岁” (即≥25) ,

P( A) ? 0.7, P( B) ? 0.56

?

由于B ? A故A ? B ? B,
因此所求概率为

B

0.56

0.7

A

P( AB) P( B) P( B A) ? ? ? 0.8 P( A) P( A)

练一练

1、掷两颗均匀骰子,问: ⑴ “ 第一颗掷出6点”的概 多少 ⑵ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少 ⑶ “已知第一颗掷出6点,则掷出点数之和 不小于10”的概率呢?
13 14 15 16

11

12

21
31 41 51 61

22
32 42 52 62

23
33 43 53 63

24 25
34 35 44 45 54 55 64 65

26
36 46 56 66

61 62 63

64

65

66

B

A∩B

A

解:设Ω 为所有基本事件组成的全体,“第一颗掷出6点”为事件 “掷出点数之和不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点, 掷出点数之和不小于10”为事件AB

(1) P ? A ? ? n ? ? ? P ? AB ? 1 (3)1 P ? B | A ? ? ?
0

n ?A?

n ?B ? 6 1 6 1 ? ? (2) P ? B ? ? ? ? 36 6 36 6 n ?? ?

P ? ??

2

2 P ?B | A? ?
0

n ? AB ? n ? ??

?

3 1 ? 6 2

2. 如图所示的正方形被平均分成9个部分,向大正 方形区域随机的投掷一个点(每次都能投中), 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A,投中最 上面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记 为B,求 P(A|B), P(B|A),
1 1 P( B) ? 4 解:∵ P ( AB ) ? , , P ( A) ? 9 9 3 1 P ( AB ) 9 1 ? P( A | B) ? ? ? 4 4 P ( B) 9 1 P ( AB ) 9 1 P ( B | A) ? ? ? 1 3 P ( A) 3

收获
一、基本知识
P ( AB) 1. 条件概率的定义. P ? B A? ? ? P( A) ? 0? P ( A) 2. 条件概率的性质. (1)有界性(2)可加性 n( AB) P ( AB ) P B A ? P ? B A? ? 3. 条件概率的计算方法. ? ? n( A) P ( A)
(古典概型) (一般概型)

4. 求解条件概率的一般步骤
用字母表示有关事件 求相关量 代入公式求P(B|A)

二、思想方法

1.由特殊到一般 2.数形结合

作业: 1.课本59页A组2


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