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集合(二)


集合(二) 【经验谈】 集合是数学中的重要基础知识, 不论是高考还是数学竞赛中都少不了它的一席之地。 本 文将帮助你彻底掌握集合知识。 【内容综述】 集合是组合数学的基础, 也是高中数学竞赛中的重要组成部分。 希望大家通过本讲学习 开拓思路,灵活解题,另外,要想解好集合题目,相关知识也很重要。 【例题分析】 例 1:设 , ,… 是有限集合 的 50 个子集,每个子集都含有 ,

… 的半数以上 中每一个 的元素,证明:存在子集 ,它至多含 5 个元素,并且和集合 集合至少有一个公共元。 分析:我们知道,这种题目并没有什么特别好的办法,只能一个一个把这 5 个元素找出 来,我们还是可以先将题目简化成简单形式,看是否方便理解一些,但这里我们就不这么做 了。 证明:设集合 中元素个数为 n,子集 , ,… 中每一个都含 以上的元素, 即所有这些子集的元素个数大于 由抽屉原理,必有集合 的元素,它至少属 于 26 个子集,同理可证,对每个 子集,它们具有公共元素,在集合 ,在子集 , ,… ,中至少有 个 中取出一个元素,它至少属于 26 个子集,并作为集合 中五个元素之一,去掉包含这个元素的 26 个子集,在余下 24 个子集中取一个元素,它 至少属于 13 个子集,去掉这 13 个子集,在余下的 11 个子集中取一个元素,它至少属于 6 个子集,在余下 5 个子集中取一个元素,它属于 3 个子集,剩下两个子集再取一个公共元素 就可以了,于是,求得集合 可能小于 5) ,它们构成集合 的至多 5 个元素(在上述过程中所取的元素可能重复,所以 ,而子集 , ,… 中每一个都至少含有它的一个元素。 说明:这道题目当 和 均较小时也就可以作为小学生竞赛题,而数目增大以后却成为 了英国高中竞赛题目,假设我们在分析较小的数时可以把规律找出,而这是很简单的,那么 整道题目也就迎刃而解了,这就告诉我们,做这类整数问题时,应该时时刻刻想到先将数目 变小看看规律,然后再做题目本身。 例 2:有 11 人管理一个保险柜,可以在柜上加若干把锁,每把锁可以有若干把钥匙, 问:如何加锁和如何分配各锁的钥匙,才能使任何 6 个人可以把保险柜打开,但任意 5 个人 却不能。 分析:我们反过来想一下,假设 个人中任意找 5 个人的可能性有 , ,… 是 11 个人打不开的锁的集合,从 11 种情况。要想把它们都区别开,也就是说至少要 有 462 把锁。那么再对 462 把锁进行构造就可以了。 解:设加 把锁,又设 , ,… 是这 11 个人各自打不开的锁的集合,从 11 个 把,为分配好各锁的钥匙,设锁号 集合中任选 5 个并集都不相同,故至少应有锁 依次为 1 号,2 号,…462 号,同时把 11 个人任取 5 个的组合也编上 1 至 462 号,然后把锁 和组合一一对应起来, 给每个人发钥匙时, 他所在的组的号的钥匙不给他, 其他钥匙都给他, 这时就满足题设了。 说明:这个构造难度很大,这主要原因还是因数目太大了,也应该先从小的数目做起, 最后回到原题。 例 3: 把 个元素的集合分为若干个两两不交的子集, 按照下述规则将某一个子集中某 些元素挪到另一个子集: 从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数 (前 一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数) ,证明:可以经过有限次挪动,使得到的 子集与原集合相重合。 分析:首先考虑到 是一个很特殊的数,其次我们发现若两个集合的元素个数除以 2 的若干次幂后若为奇数,那么

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