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等差数列的前n项和公式


等差数列的前n项和

复习回顾
1、等差数列的定义(如何判定一个数列为 等差数列?) 2、等差数列的通项公式 3、求等差数列公差d的几种方法 4、等差中项 5、等差数列的性质

泰姬陵坐落于 印度距首都新德里 200多公里外的北方 邦的阿格拉市,是 十七世纪莫卧儿帝 国皇帝沙杰罕为纪 念其爱妃所建,她 宏伟壮观,纯白大 理石砌建而成的主 体建筑令人心醉神 迷,陵寝以宝石镶 嵌,图案细致,绚丽 夺目、美丽无比, 令人叫绝.成为世界 八大奇迹之一.

问题呈现

传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

问题1:
一个堆放铅笔的V形架的最 下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层 多放一支,最上面一层放 100支.这个V形架上共放着 多少支铅笔? 问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=?”

德国古代著名数学家高斯 10 岁的时候很快就解决了这个问题: 1+ 2 +3 + …+100=?你知道高斯 是怎样算出来的吗?

高斯(Gauss,1777— 1855),德国著名数学 家,他研究的内容涉及 数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之 一,被誉为“数学王 子”.

问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1+2+3 +…+(n-2)+(n-1)+n S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1 n ( n ? 1 ) ? 2 S ? n( n ? 1) ? S ? 2
上述求解过程带给我们什么启示? (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示; (2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和 都等于首项与末项的和。

问题3:设等差数列 {an} 的首项为a1,公差为d, 如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?

解: S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
因为a1+an=a2+an-1=a3n+a =… ( n ? 1)n-2
S n ? na1 ?

倒序相加

变式:能否用

a1,n,d表示Sn?

两式左右分别相加,得

2

d

2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
n(a1 ? an ) an=a1+(n-1)d ? Sn ? 2

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 问题4:
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ]

Sn ? an ? (an ? d ) ? ? ? [an ? (n ?1)d ]

2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

求和公式 等差数列的前n项和的公式: n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? (n ?1)d

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n an

n(a1 ? an ) Sn ? 2

思考:在求等差数列前n项和时如何选用公式? 提示:在求等差数列前n项和时,若已知首项a1,末 项an和项数n,则使用公式 Sn ?
n ? a1 ? a n ? 2 ; 若已知首
n ? n ? 1? 2 d.

项a1,公差d及项数n,则可利用公式 Sn ? na1 ?

例1:根据下列条件,求相应的等差数列

?an ?



(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;
S50

10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

Sn

50 (50 ? 1) ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.
32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, ? S 26 0.7

26 ? (14 .5 ? 32 ) an ? a ? (n ? ? ?1604 .5 . 1)d 2

根据下列条件,求相应的等差数列

?an ? 的 Sn
n(a1 ? an ) Sn ? 2

2 3 a1 ? , an ? ? , n ? 14; 3 2 ? S14

14 ? [2 / 3 ? (?3 / 2)] 35 ? ?? . 2 6

例2.求前n个正奇数的和. 解:由等差数列前n项和公式,得

【举一反三】

n(1 ? 2n ? 1) 2 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) ? ?n . 2
求前n个正偶数的和. 解:由等差数列前n项和公式,得

n(2 ? 2n) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? n 2 +n. 2

【提升总结】
1.等差数列中涉及五个量 a1,d,n,an,Sn, 可“知三求二”,而 a1 和 d 是等差数列的两个 基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方 法. n?n-1? 2.求和公式 Sn=na1+ d 揭示了等差数 2 列的前 n 项和 Sn 与 n 的二次函数关系,因此 Sn=an2+bn(a,b 为常数),可以表示等差数列 的前 n 项和.

例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实 施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的 时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资 金都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未 来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多 少? 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析:①找关键句;②求什么,如何求; 的资金构成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10. 答 故,该市在未来10年内的总投入为:
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2

例4、已知一个等差数列的前10项的和 是310,前20项的和是1220,由此可以 确定求其前n项和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 入公式 n(n ? 1) 可得 所以

2 ?a1 ? 4 ? 10a1 ? 45d ? 310 于是, ? ? d ?6 ? 20 a ? 190 d ? 1220 ? 1 n(n ? 1) Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n 2 ? n 2

Sn ? na1 ?

d

例4、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定求 其前n项和的公式吗? 另解:
S10 S 20 10(a1 ? a10 ) ? ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ① 2 20( a1 ? a20 ) ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

两式相减得 a20 ? a10 ? 60 ?10d ? 60

?d ? 6

( n n ?1 ) S n ? a1n ? d ? 3n 2 ? n 2

a1 ? 4

例2.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,
所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计. 例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成, 最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈 有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9

块,共有9圈.请问: (1)第9圈共有多少块石板?
(2)前9圈一共有多少块石板?

解:(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}, 由题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9. 由等差数列的通项公式,得第9圈有石板

a9 ? a1 ? (9 ? 1)d ? 9 ? (9 ? 1) ? 9 ? 81 (块) .
(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有

石板

9(9 ? 1) 9?8 S9 ? 9a1 ? d ? 9?9 ? ? 9 ? 405(块). 2 2

答:第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.

例3.在数列{a n }中,a n ? 2n ? 3, 求这个数列自第100项到第200项 之和S的值.

解:由于a n ?1 ? a n ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2.所以,数列{a n } 是公差为2的等差数列,此数列自第100项到第200项仍是 等差数列.共有101项,所求和为
a100 ? a 200 S? ?101 2 2 ?100 ? 3 ? (2 ? 200 ? 3) ? ?101 2 ? 30 603.

例4.在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工 人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这 名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回 A处.植树工人共走了多少路程? 解:植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程 (单位:m)组成了一个数列 0,20,40,60,?,380, 这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,

其和

20 ? (20 ? 1) S? ? 20 ? 3 800(m). 2 答:植树工人共走了3 800m的路程.

例5.九江抗洪指挥部接到预报,24h后有一洪峰

到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑
一道堤坝作为第二道防线.经计算,需调用20台

同型号翻斗车,平均每辆工作24h后方可筑成第
二道防线.但目前只有一辆车投入施工,其余的 需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20min能有一 辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在 24h内能否构筑成第二道防线?

解:从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单 位:h)依次设为:

1 这是一个等差数列,a1 ? 24, 公差d ? ? . 3
25辆车可以完成的工作量为: 25 ? 24 1 a1 ? a2 ? ? ? a25 ? 25 ? 24 ? ? (? ) ? 500. 2 3
需要完成的工作量为24×20=480. 因此,在24 h内能构筑成第二道防线.

a1 , a2 ,?, a25 ,

小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法; 3.公式的应用(知三求一)。


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