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山东省淄博市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


2014-2015 学年度第二学期模块学分认定考试

高二数学试题(人文方向)
(满分 180 分,时间 120 分钟)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 一、本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目 要求的选项. 1.已知集合 A ? x 2 ? x ? 5 A. ?1,3?

?

?

, B ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 C. ? 2,3?

?

?

,则 A ? B ? D. ? 2,5?

B. ?1,5?

2. “ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? ax在区间 (0,??) 上是增函数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x ?1

3.已知对于任意实数 a(a ? 0, 且 a ? 1) ,函数 f ( x) ? 7 ? a 标是 A. (1,8) B. (1,7)

的图像恒过点 P,则 P 点的坐

C. (0,8)

D. (8,0)

4.设复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,则 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点在 z2
C.第三象限 D.第四象限

5.已知命题:①“所有能被 3 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的整数不是 奇数”②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题;③“ a, b, c ? R ,若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ” 的逆否命题;④“若 a ? b ? 3 ,则 a ? 1 或 b ? 2 ”.上述命题中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x (万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额约 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
为 A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 )

7.已知 f ( x) ?| log3 x | ,则下列不等式成立的是( A. f ( ) ? f (2)

1 2

B. f ( ) ? f (3)

1 3

C. f ( ) ? f ( )

1 4

1 3

D. f (2) ? f (3)

8.已知 lg a ? lg b ? 0 ,函数 f ( x) ? a x 与函数 g ( x) ? ? log x 的图象可能是 b

9.已知 f ( x) ? A. ?

1 ? cos x, 则 f (? ) ? f ?( ) ? x 2
B.

2

3

?

?

C. ?

1

?

D. ?

3

?

10.给出下列四个命题,其中正确的一个是 ( D ) 2 A.在线性回归模型中,相关指数 R =0.80,说明预报变量对解释变量的贡献率是 80% B.相关系数 r ? 0.852 ,接近 1,表明两个变量的线性相关性很差 C.相关指数 R2 用来刻画回归效果,R2 越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越好 D.相关指数 R2 用来刻画回归效果,R2 越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好 11.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
x 2

)

e2 A. 2

B. e

2

C. 2 e

2

D.

9 2 e 4

12.已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 a a ?2 ?4 , 3? ? 3 , 4? ,…,若 6 ? ? 6 , 3 3 8 8 15 15 b b
) B. a ? 6, b ? 24 C. a ? 6, b ? 35 D. a ? 5, b ? 35 错误!不能通过编辑域代码

(a, b ? N ?)则( A. a ? 5, b ? 24

13.奇函数 f ? x ? 在? 0, ?? ? 上为增函数,且 f ?1? ? 0 ,则不等式 的解集为( 创建对象。 A ? ?1,0? ? ?1, ?? ). B. ? ?? , ?1? ? ? 0,1?

?

C.

错误!不能通过编辑域代码创建对象。

D. ? ?? , ?1? ? ?1, ???

14.函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? 2 x ? 1 与 g ( x) 的图象上任意点 P 到直线 3x ? y ? 2 ? 0 的距离的最 小值为 A.

10 5

B.

3 10 20

C.

3 10 10

D.

2 10 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答案纸中横线上.

2 ? i ( i 为虚数单位)等于 , 1? i 2x ? 3 16.函数 f ( x ) ? + 4 ? x 2 的定义域为__________.(用区间表示) x ?1
15.复数 17.命题 p : ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ?1 ? 0 ,则命题 ?p : .

18.已知 f ( x) ? ( x ? x2 )e x ,给出以下几个结论:①f (x)>0 的解集是{x|0<x<1};② f ( x ) 既有 极小值,又有极大值;③f (x)没有最小值,也没有最大值;④f (x)有最大值,没有最小值.其 中判断正确的是______. 19. 已知点 A( x, lg x1 ), B( x2 , lg x2 ) 是函数 f ( x) ? lg x 的图象上任意不同两点, 依据图象可知, 段段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的下方, 因此有结论
x x

lg x1 ? lg x2 x ? x2 ? lg( 1 )成 2 2
x

立。运用类比思想方法可知,若点 A( x1,2 1 ) , B( x2 ,2 2 ) 是函数 g ( x) ? 2 的图象上的不 同两点,则类似地有成立 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 85 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A , 函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合

B.
(Ⅰ)求集合 A , B ; (Ⅱ)已知命题 p : m ? A ,命题 q : m ? B ,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)

为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取 100 名学生,其中男生喜欢数学课程的 20 人,不喜欢数学课程的 30 人;女生喜欢数学课程的 10 人,不喜欢数学课程的 40 人。 (Ⅰ)根据以上数据作 2 ? 2 列联表; (答案填写在答题纸上) 喜欢数学课程 男生 女生 合计 (Ⅱ)根据以上数据,能否有 95% 的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程有 关”? 附 : 不喜欢数学课程 合计

P( K 2 ? k ) n(ad ? bc)2 K ? . (a ? b)(c ? d )(a ? b)(b ? d ) k
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

22. (本小题满分 14 分) 求函数 f ( x) ? x ?12 x ,在 ? ?3,3? 上的最大值与最小值.
3

23. (本小题满分 14 分) 已知定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)判断 f ( x ) 的单调性,并解关于 t 的不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 .

ax ? b 1 2 为奇函数,且 f ( ) ? . 2 x ?1 2 5

24. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ? 率为 0. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

1? a 2 x ? bx ( a ? 1 ) ,曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜 2

25.(本小题满分 15 分) 已知 f ( x) ? ln x ?

a ( a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,判断 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为
2

3 ,求 a 的值; 2

(III)若 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,试求 a 的取值范围.

参考答案 CAABB BCBDD ACDD 17. ?x ? R, x2 ? 2x ?1 ? 0
x1 x2

15. 1 , 16. ?- 2,1? ? ?1,2?. 19. 2
x2 ? x2 2

18._①②④

2 ?2 . ? 2

20.解: (Ⅰ) A = {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} = {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,..?????????3 分

B = { y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} . ??????????7 分
(Ⅱ)∵ ? p 是 ? q 的充分不必要条件, ∴ q 是 p 的充分不必要条件, ∴ B ? A ,且 B ? A ..????????????????10 分 ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , ????????????????????12 分 ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) .???????14 分 21. 解(Ⅰ)根据以上数据作 2 ? 2 列联表 喜欢数学课程 男生 女生 合计 20 10 30 不喜欢数学课程 30 40 70 合计 50 50 100 ???????6 分 (Ⅱ)由公示得: K ?
2 2 100 ? (20 ? 40—10 ? 30) ? 4.762 ???????12 分 50 ? 50 ? 30 ? 70

K 2 ? 4.762 ? 3.841
所以我们有 95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程有关”。 ???14 分 22.解:因为 f ( x) ? x ?12 x ,
3

则 f ?( x) ? 3x ?12 ? 3( x ? 2)( x ? 2) ,??????? 2 分
2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?2 ,或 x ? 2 ,???????4 分

当 x ? ?2 ,或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ?2 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;???????8 分 当 x 变化时, f ( x ) , f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(?3, ?2)

?2

(?2, 2)

2

(2,3)

?
单调递增 ?

0

?
单调递减 ?

0
?4

?
单调递增 ?

16

所以,当 x ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 的极大值为 16 ;当 x ? 2 时,函数 y ? f ( x) 有极小值为

?4 .???????12 分
又 f (?3) ? ?9 , f (3) ? 9 因此,函数 f ( x) ? x3 ?12 x 在 ? ?3,3? 上的最大值为 16 ,最小值为 ?9 .???14 分 23.解:(Ⅰ)因为 f ( x ) 为奇函数,由奇函数的定义得, f ( x ) = ? f (? x) 即

ax ? b ?ax ? b ?? 2 2 x ?1 x ?1

所以 b ? 0 ,(或由 f (0) ? 0 解得)???????3分

1 a 2 1 2 ? . 又 f ( ) ? ,即 2 2 2 5 5 ?1? ? ? ?1 ?2?
所以, a ? 1 , f ( x) ?

x x ?1
2

????????????6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)时, f ?( x) ?

?x

1 ? x2
2

? 1?
2

2

?????????8分

因为 x ? (?1,1) , 0 ? x ? 1 , 1 ? x ? 0 ,
2

所以 f ?( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增, 由 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 ,得 f (t ? 1) ? ? f (t ) ? f (?t )

? ?1 ? t ? 1 ? 1 ? 所以 ? ?1 ? ?t ? 1 ? t ? 1 ? ?t ?
解得 0 ? t ?

????????????12分

1 2

∴原不等式解集为(0, 24.解析: (Ⅰ) f ( x) ?
'

1 ) 2

??????????14分

a ? (1 ? a ) x ? b ,?????????2 分 x

由题设知 f ' (1) ? 0 , 解得 b ? 1 . ??????????4 分

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ?

1? a 2 x ? x ,?5 分 2

a (1 ? a) x 2 ? x ? a f ( x) ? ? (1 ? a) x ? 1 ? ?????7 分 x x
'

?

((1 ? a) x ? a)( x ? 1) 1 ? a a ? (x ? )( x ? 1) ?????9 分 x x 1? a a a 1 ? 1 ,则 0 ? x ? ① 当 0 ? a ? 时, 0 ? ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 1? a 1? a 2 a ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 1? a a a ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上单调递减;???11 分 故 f ( x ) 在 (0, 1? a 1? a a 1 a a ? 1, 1? x ? ②当 ? a ? 1 时, 则 0 ? x ? 1, 或x ? 时, f ?( x) ? 0 ; 1? a 2 1? a 1? a

时, f ?( x) ? 0 ;

a a , ??) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减;???13 分 1? a 1? a 1 a a ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上单调递 综上,当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 (0, 2 1? a 1? a 1 a a , ??) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递 减;当 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (0,1) , ( 2 1? a 1? a
故 f ( x ) 在 (0,1) , ( 减.???????14 分 (如果每段都下了结论,不写“综上”不扣分) 25.解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

1 a ? ??????????1 分 x x2 ∵a ? 0,x ? 0 f ?( x) ?
∴ f ?( x) ? 0 ??????????2 分

因此 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 上为单调递增函数.??????????3 分 (Ⅱ) (1)令 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,即 x ? a ? 0 ∴ a ? ?x . 令 a ? ?1 ,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为增函数. ∴ [ f ( x)]min ? f (1) ? ?a ? 得a ? ?

3 , 2

3 (舍去) .??????????5 分 2

(2)令 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,即 x ? a ? 0 ∴ a ? ?x . 令 a ? ? e ,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为减函数. ∴ [ f ( x)]min ? f (e) ? 1 ? 得a ? ?

a 3 ? , e 2

e (舍去) .??????????7 分 2

(3)当时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x0 ? ?a . 当 1 ? x ? x0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (1, x0 ) 上为减函数. 当 x0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 ( x0 , e) 上为增函数. ∴ [ f ( x)]min ? f (?a ) ? ln(?a ) ? 1 ?

3 2

得 a ? ? e .??????????9 分 综上可知, a ? ? e .??????????10 分 (III)由 f ( x) ? x ,得 ln x ?
2
3

a ? x2 , x

∵ x ? 1 ,∴有 a ? x ln x ? x , 令 g ( x) ? x ln x ? x ,则 g?( x) ? ln x ? 3x ? 1 .??????????12 分
3 2

令 ? ( x) ? ln x ? 3x ? 1 ,则 ? ?( x) ?
2

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? , x x

∵ x ? 1 ,∴ ? ?( x) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ ? ( x) ? ? (1) ? ?2 ? 0 ,

因此 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,??????????14 分 则 g ( x) ? g (1) ? ?1 , ∴ a 的取值范围是 [?1, ??) .???????????15 分

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