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正余弦函数的图象(案例分析)


正弦函数、 正弦函数、余弦函数的图象
T:① 引出课题 : 引出课题在前面一节中,已经学过了一次函数、反比例函数、 指数函数、 对数函数等一系列函数, 可以通过研究它的解析式, 这是从式的方面,还可以从形的方面研究函数。


课题提出 总体上不理想。 首先不是启发学生提出,其次即使 教师自己提出也显得拖泥带水。


数和形是数学中两个基本概念。同时,数形结合也是数学

数和形在这里不是指数学概念,

中重要的思想方法。 华罗庚先生有一句话说的非常好, 他说什么 呢?


而应是数学对象。


“数缺形时少直觉,形缺数时难入微,数形结合无限好, 那么正弦函数、余弦函数,它们也是一种函数。我们知道

华罗庚名言引用有新意,欠适时。 这段关于正余弦函数的复习,意



割裂分家万事休” 。


义不清晰,也不明白。对于本课中 要涉及的已有知识和方法,未必总 是在开课依始就提出来,而要根据 教学的需要,在最适当的时候进行 如果涉及的已有东西多,既会花费 太多的时间,而且关系不易明确, 反而不能起到应有的作用。 这节课教学方式基本采用“教 ☆ 这节课教学方式 师引导下的主动探究”教师给出几 , 个问题作为探究的目标。过程是学 生先独立思考,再小组讨论,后全 班交流。主动探究的成分比较大。


函数是什么?是数集与数集之间的一种对应。因此,我们常常 记为 x, 表示自变量; y 表示它的函数值。 用 用弧度制来度量角, 于是,正弦函数记为 y=sinx 。 S: y=cosx 。 : 同样,如果用弧度制来度量角 x,用 y 表示函数值,那么, 余弦函数可表示为—— T:好,非常好。对于正弦函数、余弦函数。我们已经知道它的解 析式,而且通过前面的学习,它们的定义域是什么? T:是一切实数 R。T:它的值域呢? : :


S:-1 到 1。

T:前面是从数的方面研究一下正弦函数和余弦函数。那么, : 今天从形的方面研究正弦函数、 余弦函数, 今天从形的方面研究正弦函数、 余弦函数 那首先要画出图象。 (板书课题) ②☆

正弦函数、 正弦函数、余弦函数的图象
问题 1. 如何画出正弦函数 y=sinx 的图象。

正式提出课题 ☆提出第一个研究问题目标。 3:12~13:55 基本为学生自主活

T:如果是你,你准备怎样画出正弦函数 y=sinx 的图象?先请大家 : 独立思考。 每个人动手画一画?如果你有什么好的想法或遇到什 么困难的时候,可以小小组讨论一下。大家先独立思考。 (3:12~7:02 学生独立思考,画图象 (教师 学生独立思考,画图象) 教师 教师巡视插话) T:有什么想法?有什么困惑?在小小组讨论,交流一下想法。 T:(7:02~12:20 交流)好,各小组讨论的非常热烈,而且每个同学 都有自己的想法。 现在哪一个组派一个代表来发表一下你这个组 的看法,哪一个同学自告奋勇。王宏宇。 π π π S:我们组的看法是取几个特殊特殊的 x,用弧度 , , 。 3 6 2 T:上来演示一下,讲好象总不能很清楚,上来演示一下。 : S:(13:10 生画图,取几个特殊点画出图象)(13:55 画完,用 45 秒) : 用 T:差不多吧?就是这个(指图),再下去是多少? : S:-1。 : T:对吧?再下去呢?怎么样?大家觉得?啊?大家觉得王红宇这 : 组讨论的怎么样。××,你说呢?(14:40) S:蛮好的! : T:蛮好的。 π π ◎ π S:好是好,但有点缺点,取的点 , , 。 毕竟精确值太 3 6 2
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动,用了 10 分半钟。冗长拖沓 冗长拖沓了 冗长拖沓 一点。这里学生基本按以往的方法 描点画图,自变量 x 用特殊值,用 不了多少时间。 |学生画图实际只用 了 45 秒钟。|可见,思考讨论 3 分 钟,上黑板画图 1 分钟,至多 5 分 钟即可。把时间用到启发由正弦线 画图像上。(3:12~8:00) ·讨论精确值少,图象画不准确。 自然地进入如何准确的画出函数图 象的探究。(8:00~9:00) · 这里不仅有函数值对应点找不 准的问题,还有一个问题:即使找 准了,为什么是用光滑的曲线连接 而不是用线段呢?这也要求设法画

少了,它的图象不是很精确。 π 3 T:☆图象不是很精确,◎ 的正弦对应的是 ,在坐标系里不是 : 3 2 ☆ 很好找,不是很精确。 怎么办呢?能不能想个办法帮他解决一 下?有没有办法精确取值 有没有办法精确取值? 有没有办法精确取值 如何准确画出正弦图象呢 ③ 如何准确画出正弦图象呢? T:我们大家能不能共同想个办法帮他解决一下?刚才 S 提出了 : π 问题,但他自己也没有想出什么办法。他就觉得画到这儿 取 3 不到精确值。怎么精确的取值呢?哪个同学想到了这个方法? 哪个同学发表一下看法?好,××。 S:我觉得可以用三角函数线的方法。 : T:你上来板演一下。(15:40)|||| : T:刚才 S 高提出可以用三角函数线的方法,看看是什么图形? : S:(在黑板上画用三角函数线画图,17:00 边解释自己的作法) : π T:这是 对应的正弦值,依次类推。用一个光滑的曲线连接起来, : 6 你认为连到多少合适。 S:可以无限的进行下去。 : T:那你看我们作多少就可以呢? S:0 到 2π 就可以了。 : : T:(17:40)大家说 S 高画的怎么样? : S:好! : T:怎么样画到这儿,才能精确的确定呢?她是用以前学过的三角 : 函数线,就能精确地找到对应的值。好,来看一下(演示)。 π π 刚才有同学说取几个特殊的点,取 0, , 和大家保持一 3 6 致, 这样就把这个圆 12 等分。 在正弦函数中自变量是什么?是 · 什么?在正弦函数中自变量是什么? S:x。 : 在单位圆当中表现为什么? S: 到…2π。 0 T: x 是什么?x 是弧度。 : π T:在单位圆当中表现为什么?比方说,这是 ,它表示什么? 6 S:弧度。角的大小。 : T:所以画图时候要搞清楚自变量是什么,还有自变量是什么数。 : S:自变量是一个数。 : T:噢!是一个数,怎么样的数。哪个同学想好了。在这个正弦函 : 数中自变量是什么? S:角对应的弧的长度。 : π T:还对呀?在单位圆中,自变量 对的弧展开的长度,展开在 x : 6 轴上。我们自己不好展开,但借助现代信息技术展开一下。 T:(演示“曲变直”)看一下,12 个分点对应到 x 轴上。这样我们 : 就把 x 轴上 0 到 2π 这段十二等份。那么相应的 y 值呢?过这些 分点可以做这些弧度数对应的三角函数线。 像高同学所说,用平滑的曲线连起来就行了。看一下,大家 在观察的过程中 注意图形的形状? 观察一下。(演示)
O

出准确的图象来。 “精确值太少”(应是找不准?) , ◎ 因为函数值对应点找不准,图象就 不准确。如何准确画正弦图象呢? 这是转入下一个讨论内容的 下一个讨论内容的重 ☆ 这是转入 下一个讨论内容的 重 要契机。 要契机。教师应敏锐地抓住学生提 出的 “找不准精确值” 来启发暗示。 ☆ 怎么办呢?——意图是暗示用 “正弦线”画图象。采用由远及近 的启发性提示语。…能不能想个办 法?…有没有办法精确取值?…怎 么精确取值呢?… ◎下面的教学应该怎样进行? 下面的教学应该怎样进行? 让会画的同学上黑板来画, 还是在 教师的启发引导下继续让学生自己 进行主动探究? ·可以想象, “会画”的学生一定 预习过了,这样无疑就是“让会的 学生告诉其他学生” 本质还是 。 “告 诉” 只不过学生代替了教师。 , 这是 教学中最容易也是最普遍的犯的错 误。 应该尽可能用启发代替 “告诉” 。 ·这时应用“引导学生主动探究” 的方式来进行下一段教学。 · 可以用 6 分钟左右的时间, 学生 在教师的启发引导下来探究“如何 准确的画出正弦图象”教师运用恰 , 当的启发性提示语给予暗示或提示 探究的目标,并留有适当的等待时 间给学生独立思考,并让学生上黑 板用正弦线的方法画出图象。 ·最后教师用几何画板演示和讲解 “化曲为直”的绘图过程,但要反 复演示,还要作出必要的解释。让 学生充分的观察,思考,感悟,理 解,帮助他们形成比较丰富生动的 正弦图象的图式。然后进行小结 然后进行小结。 然后进行小结 ·这段对自变量是什么的引导不 力。学生始终搞不清楚“正弦函数 自变量是什么”的意思,这正反映 了三角函数自变量由 “角→弧→数” 这样一个过渡,在理解上的困惑。 · 作为一个阶段任务的结束, 应做 出必要的小结,从而自然过渡到下

S:也没想出。 :

y

x

看见啦,图形形状。
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T:④(22:00)看第二个问题。这是我们刚才所画出来的正弦函数的 : 图象。下面请考虑一下, 在确定正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π] , 那些点在确定形 状时起着关键 作用,也就是 说在精确性要 求不高的情况 下,画出这几个点,大致就可以确定这个图形的形状。那些点? 为什么?请告诉我。(22:40~23:25,讨论了 45 秒) T:好,哪些点确定正弦函数,当 x∈[0,2π],是确定它的形状的 : 关键点?为什么? T:这些点的坐标是什么?(板书) : π S:(0,0),(π,0),(π,0),(2π,0),还有( ,1)。 : 2 T:这个不是交点,它是什么? S:它是 y 取的最大值。 : : T:这个为什么重要? 他说这是 y 的最大值。还有呢? : 3π S:还有( ,-1)。 : 2 T:这个是为什么? S:这个是最小值。 T:这个是 y 取得最小值的哪个点。S 回答的非常好。他觉得在确定 正弦函数,当 x∈[0,2π]时,对它的形状起关键作用的一共有五 个点。其中三个是这个曲线与 x 轴的交点,(0,0), (π,0) (2π,0),然后另外还有两点,一个是最大值点,还有一个是最 小值点。大家同不同意。 S:(齐答)同意。 T:来看一下是不是这样的。有了这几个关键点,是不是确实就可 函数 y=sinx, x∈[0, 2π]的图象 ∈ 的图象 π五 点 画 图 法 3π 以画出这条曲线?(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),是(2π, 0)。 2 2 关 键 点 注意看它的形状,是 π 3π (0, 0), ( , 1), ( π, 0 ),( , -1),(2π , 0 ) 2 2 用平滑的曲线,连接 起来。好,对这种画 图的方法,给它起个 名字叫五点画图法 五点画图法。 五点画图法 以后在精确性要求不 太高的情况下,我们 就可以根据这五点把 这个曲线的形状确定下来。再看一个问题。(26:20) 问题 3. 如何得到正弦函数 y=sinx, ◎ 整个定义域 x∈R 的图象? T:⑤ 你如何得到整个定义 : 域上的正弦函数图象。 刚才不是画了 0 到 2π 的图象吗?现在如何得到整个定义域上的 正弦函数图象。相互讨论一下。(26:34 讨论) T:(29:16)好,有哪个组的同学发表一下自己的看法,我怎样得到 : 整个定义域上的正弦函数图象。
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一个阶段任务——探究“五点画图 法” 。 五点画图法”探究的引入 ☆ ④ “ 五点画图法 ” 探究 需要改进。引入一个新课题,最重 要的是要把握 “从无到有” 的思想, 很自然的,水到渠成的让学生把课 题提出来。 ◎怎么会突然想到 “哪些点起到关 键作用的呢?” 这不是从无到有, 而是天上掉下来的。探究“五点画 图法”本身价值并不是很大,学生 很容易想出来。但怎么会想到要探 究这个方法,意义相对要大的多。 · 凡是一个新的起点, 都应该尽可 能启发学生去思索, 以批判的精神, 审视的眼光,去反思疑点,提出问 题。没有批判就没有创造,所以这 是对创造力的培养。 · “我们找到了画正弦函数图象的 精确方法, 到此大家会不会有想法, 有疑问?”…“进行科学研究,应 该有批判的精神。那你能不能以批 判的眼光提出什么疑问?”…“那 我们以后凡是画正弦图象,都要用 这个方法来画咯?”…“是不是有 点麻烦啦?”… ·学生简短交流讨论以后,教师 提出新的任务: 提出新的任务 “用准确的方法画 图以后,我们已经确定了正弦函数 图象的基本形状,但是我们平时研 究函数不需要这么精确的图象,只 要大致准确就行了。所以我们希望

问题 2.

哪些点在确定正弦函数 y=sinx,

x∈[0,2π] 的形状时起 关键作用?
O 2π

S:我觉得有五个点。 :

T:你觉得有五个点?哪五个点。 S:就是 3 个和 x 轴的交点。 : :

y
1

O
-1

π 2

π

3π 2



找到一种简便的画正弦图形的方
x

法。下面就请大家自己来找一找, 既简单,又相对准确。只要相对准 只要相对准 ” 确! · 什么才是简单?…取得点多简 单呢?还是…?…那么“取几个 点?”…“取哪几个点?”…“为 什么取这几个点?”(只问不答!) · 稍做归纳总结, 就可以提出下一 个任务——◎ 画出正弦函数整个定 义域的图象。这个任务怎么提出比 义域的图象 较自然,无须做太多启发。


S1:正弦函数是周期函数,每个周期图象相同,复制就行了。… T:你怎么知道是这样,她说她感觉这是一个周期函数,然后进行 : 复制。你有什么更好的方式?(30:50) S2:把刚才那五个点,向左,向右平移 2π。 T:你怎么知道是 2π。 : T:这点非常好。 : S2:根据这个式子算出的五个点,向左或向右都移 2kπ 的话,就是 在 y 轴上的数值不变,然后根据五个点重新画一个曲线。 T:他这个组认为把这五个点平移,向左,向右平移 2kπ。然后再根 据五点画图法,画出图。S3 同学好象还有不同看法。 S3:既然都是加 2kπ,根据诱导公式图象可以向左,向右 2kπ。 T:S3 说根据这个诱导公式就可以看出来。 S3:把这个图象平移 2kπ 个单位。 T:很好!非常好。他说这个图象根据诱导公式,这个图象在[-2π, 0],[0,2π],[2π,4π]等这些区间内,它的形状完全一样,只不 过位置不同。三个同学都提到了可以平移。下面我们来看一下, 假如作一个[2π,4π]。向哪边移?(演示) T:向右平移。假如说作[-2π,0]这个区间的图象呢? T:很好。那要作整个定义域上呢?


◎“[0,2π]上图象能画了,大家觉 得下面我们该干什么了?”…“正 弦图象是不是就画好了?”学生很 容易想到: 这不是正弦的完整图象。 “怎么画整个定义域上的图象呢?” 很自然地就过渡到下一个任务。 整个定义域上 图象 ☆探究整个定义域上的图象 整个定义域 这个过程没有太大难度, 实际教学 中用了 8 分钟,三个小组代表作了 交流。这里可以讨论一下教师对学 生回答的把握。 S1 平移的理由是周期函数,这个 理由超前了,还没学,不可取。教 师没有评价,回避了她的回答,而 问有没有更好的方式?这是可取的。 S2, 3 的回答完全相同, S 理由都是 诱导公式, 只不过 S2 用的是公式形 式,S3 直接说“诱导公式” ,教师 只对 S3 给予充分肯定,这对 S2 是 不公平的。 学生很在意教师的评价, 对他的学习很有影响。恰恰相反, 是 S3 没有明白 S2 所说的公式就是 诱导公式,似乎教师也没有明白, 相对而言, 应该肯定的是 S2 而不是 S3。虽然这个问题并不大,但是容 易影响学生心理感受。 · 用几何画板演示整个定义域上 的函数图象很有必要,这种无限伸 展的图象手工画是很困难,充分发 挥现代技术优势和作用是可取的。 ☆探究画余弦函数图象 提出这个任务也无须做什么引导。 “正弦函数图象会画了, 接下来我 们可以做什么了?”很自然提出: “怎么画余弦函数图象呢?” ·研究学生所画的余弦函数图象: S4 利用诱导公式, 根据自变量与函 数值的对应关系把正弦图象平移就 行了。S5 用“五点画图法” 7 用 。S “余弦线” 。 S6 画法有问题, sinx=0, cosx=±1, 那为什么取+1,而不取-1 呢?sinx 取其他数值时也存在同样问题。这 时, 教师的经验(已知)、 敏锐(发现)、

S2:sin(α+ 2kπ)=sinα, (k∈Z) 。(板书)

S:向左。 S:向右。

T:(演示)向右平移,这段曲线 y = sinx, x∈R 的曲线叫正弦曲线。 T: 再看一个问题。 ⑥ 问题 4 请画出 y=cosx,x∈[0, 2π]的图象 请你自己画出 y=cosx 的图象, x∈[0,2π]的图象。自己动手,每个 同学自己动手画一画。(34:25~36:27,2 分钟后学生上黑板画) T:根据画正弦函数图象,每位同学都试着解决画余弦函数图象。 π 先看 S4 的, y = cosx = sin(x+ )。S4 这个思想非常好,他这种 2 想法体现了,把未知向已知转化的思想。y=cosx 图象我们不熟 悉,我们熟悉的是 y = sinx,的图象,那怎么把一个不熟悉的问题 怎么转化成熟悉的问题呢?用诱导公式。 S5,当我们知道了余弦函数图象的大致形状以后, 我们就可 以用 S5 的方法,她用的什么方法啊?五点作图法。 S6 你来讲一下,你的画的什么。 S6:sin α+cos α=1,当 sinα=0,cosα=1。向上平移。 T:S7 解释一下你的图。 S7:我是画出 y=sinx 的三角 函数线。然后尺规作图 平移,绕 x 轴,绕 y 轴… T:S7 把 x 换成 y,把 y 换 成 x,再平行移动,模 仿一开始作正弦函数线 来做余弦函数线.(42:30) 最后来看今天的小结。
2 2

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准备充分(预知)就显得重要了。 ·对余弦函数图象,教师有必要指 出“五点作图法”是最基本的方法。 ☆因为时间分配的不当,最后的小 结比较仓促,这是比较大的不足之 处。教师还是显现出经验的不足。 大家能不能想办法画出精确图象。 大家能不能想办法画出精确图象。 能不能想办法画出精确图象 …大家有没有想过,我们根据什么来画正弦函数图象? …我们的依据是什么?…我们现有的依据只能是定义吧? …那么你能想出什么办法?…由定义你能想出什么办法? …正弦函数的定义是什么?…角的正弦函数用什么定义的? …用正弦线!…能不能用正弦线画?…怎么画?…画画试试。 …首先考虑画什么?…自变量!…自变量怎么画? …正弦函数的自变量是什么?…x 表示什么?sinx 中的 x 表示什么? …表示角。那角 x 怎么画?…怎么画才准确? …最好把每个角对应的弧长画到 x 轴上吧? …当然不可能每一个角都画到,那么取多少个角呢?怎么取呢? …等分圆周!…分成多少等份?…等分以后每一份是多少?… 这个过程大约用 6~7 分钟即可。教师再用 2 分钟演示解释“曲变 直”动态画图过程。并对这一阶段的研究做一个小结,同时启发下 一个研究目标。 小结什么? 小结什么? 方法论意义上的: 研究一个新的对象,它的定义是最重要的,我 们正是利用正弦函数的定义——正弦线,才找到了画准确图象的方 法。 具体策略方法的: 但是不可能把所有的角的正弦线都画来, 所以就 选有代表性的,选圆周上的等分点。

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