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1.4.1正弦、余弦函数的图像


1.4.1 正、余弦函数的图像

授课老师:张晴

1.在单位圆中,角α的正弦线、余弦线,正切线分别 是什么? 注意:三角函数
线是有向线段!

三角函数

三角函数线
sin?=MP cos?=OM tan?=AT

y P
T

正弦函数
余弦函数 正切函数

正弦线MP 余弦线OM
-1

?
O
M A(1,0)

x

正切线AT

y
P(x,y)
1

T ? 的终边

sin ? ? MP cos ? ? OM tan ? ? AT
值域 [-1,1] [-1,1]

-1

o

A(1,0) M
1

x

-1

三角函数
sin ?

定义域 R R
{? | ? ?

cos?
tan ?
?
2

? k? , k ? Z }

R

2.设实数x对应的角的正弦值为y,则对应关系
y=sinx就是一个函数,称为正弦函数;同样y= cosx也是一个函数,称为余弦函数.其定义域都是实 数集R

3.一个函数总具有许多基本性质,要直观、全
面了解正、余弦函数的基本特性,我们应从哪个方 面人手?

1.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?
(1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
2

x
y

0

?
1 2

?
3
3 2

6

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1
y 10

?1 2

?

3 2

? 1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点 (3) 连线

代数方法
?

2

?

-

-

3? 2

2?

-

x

?1 -

π π 如何用几何方法在直角坐标系中作出点C( ,sin ) ? 3 3 几何描点 Y π π P . C( ,sin ) 3 3
π 3

O1

M

O

π 3

2π 3

π

X

能否借助上面作点C的方法, 在直角坐标系中作出正弦函数

y ? sinx, x ? R 的图象呢?

y
1

x o1
-1

o

? 6

? 3

? 2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

y=sinx, x ? [ 0, 2 ? ]

y
1

x o1
-1

o

? 6

?
3

? 2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

y=sinx, x ? [ 0, 2 ? ]

y
1

x o1
-1

o

? 6

?
3

? 2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

y=sinx, x ? [ 0, 2 ? ]

y 1
? ? 2

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R y

正弦曲线
? 2? 3?

1 -4? -3? -2? -?

o
-1

4?

5?

6? x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

y

1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6? x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+? ), x?R

正弦曲线

2

形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线

余弦函数的图象

y
(0,1) 1 ( 2? ,1) 2? 3? 4?

-4?

-3?

-2?

-?

? o ( ,0) 2 -1

?

3? ( ,0) 2

5?

6? x

( ? ,-1)

(1) 等分 作法: 你能用余弦线作出余弦曲线吗? y
1P 1
/ p1

o1

y

(2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
5? 3 11? 6

-

Q1

M1

-1A

Q2

-

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

2?

x

y

y
1-

o1

M 2 M 1-1

o
-1 -

-

-

?
3

? 6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

l

如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高时)? 可用描点法
y

? ( ,1) 2? 1 ( ,1) 2 ? ( ? ,0) ( 2? ,0) ( ,1) ( 2? ,0) (0,0) ( ? ,0) ? 2 o ? x 3 ? ? 2? ? ? (0,0) ( ? ,0) 2 ( 2 ,1) 2 2 ( 2? ,0) (0,0) ? -1 ( ? ,0) (3? ,-1) ( ,1) ( 2? ,0) 3? 2 (0,0) ? 3 ? ( ? ,0)2 ( ,1) 3,1) ? ( 2? ,0) 2 ( ,1) ( ( ? ,0) ( ,1) ( 2? ,0) 3 ? 2 2 (0,0) ? 2( 3,1) ? (0,0) ( ,1) ( ? ,0) ( 2? ,0) 2 ? 2 3 ? ,-1) ( (0,0) 3 ? 2 ( ,1) ( 2? ,0) ( ? ,0) 3? ? ( ,-1) ,-1) (0,0) 2 ( 2 五点法—— ( 2? ,0) ( ? ,0) ( 22,-1) ( 2 ,1) (0,0)

五点画图法

y
1-

五点作图法
? 6

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
11? 6

?

-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

2?

(0,0) (? ,0) (2? ,0) x 图象的最低点 3?

( 2 ,?1)

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点 (定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-

图象的最高点
与x轴的交点

1-

(0,1) (2? ,1)

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

? 3? ( , 0 ) ( x 2? 2 2 ,0) 图象的最低点 (? ,?1)

-

例1.分别作出下列函数简图(五点法作图)
(1)y=2sinx , x∈[0,2π] 解: (1)列表 (2)描点作图 Y 2 1 0

x y=2sinx

0

0

? 2 ? 2 0

3? 2

2?

-2

0

y=2sinx y=sinx

?

2?

X

(2)y=sin2x , x∈[0,π] 解: (1)列表 (2)描点作图 Y 1 0

2x x y=sin =sin2 xx
0 0
? ? 3? 2? 4 4 ? 2 2 2 1 0 -1 0

y=sin2x
?
2

?

X

例2 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

x
sinx 1+sinx
y 2 1

0 0 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1 步骤: 1.列表 2.描点 3.连线 x

1 2

-1 0

y=1+sinx,x?[0, 2?]
? 2

? ? 2

o -1

?

3? 2

2?

y=sinx,x?[0, 2?]

例3 画出函数y= - cosx,x?[0, 2?]的简图:

x
cosx

0 1 -1

?
2

?

3? 2

2? 1 -1

0 0

-1
1

0
0

- cosx
y 1
? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y= - cosx,x?[0, 2?]

练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x?[0, 2?] 和 y= cosx,x?[ ? , 3? ]的简图:
? 2 2

x
sinx cosx
y 2 1
? ? 2

0 ?

?
2

?

1 0

2 0 1

0

2 -1 0

? ?

3? ? 2 0 -1

23 ?? 2 1 0

? 向左平移 个单位长度 2
y=sinx,x?[0, 2?]
? 2
3? 2 ? 3? ? cosx,x?[ 2 , 2 ]

o -1

?

2?

x

y=

1、分别利用函数的图象和三角函数线两种方 法,求满足下列条件的x的集合:

1 (1)sinx< 2 1 (2)cosx≥ 2
(0<x<2 ? )

2、方程sin x ? lg x 的 解:设 f(x) = sin x

x 的解有多少个?
g(x) = lg x

f(x) 与 g(x) 的图象为: f(x)的值域为[-1,1] 当 x>10 时 g (x)>1 ∵ f (x) 与 g (x) 的图象有3个交点 ∴ sin x = log x 解有3个

1. 正弦曲线、余弦曲线

几何画法
五点法

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y

1
? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

3.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复 出现,因此,只要记住它们在[0,2π]内的图象形 态,就可以画出正弦曲线和余弦曲线.

4.作与正、余弦函数有关的函数图象,是解题
的基本要求,用“五点法”作图是常用的方法.


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