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分类加法计数理与分步加法计数原理综合应用


§2-2:1.1.2 分类加法计数理与分步加法计数原理综合应用
《课标》要求: 能根据具体问题特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单实际问题。 教材分析: 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、 组合问题的基础并贯穿始终. 分类 加法计数原理中, 完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类, 简单的说分类的标 准是“不重不漏,一步完成” .

而分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中 任取一种方法,即是完成这件事的一种方法,简单的说步与步之间的方法“相互独立,多步 完成”.课本通过例题,让学生理解两个原理在实际中的应用,结合探究把难点、疑点引出, 让学生讨论进而升华对知识点的理解,更熟练、更准确利用两个原理。 学情分析: 通过上节课的学习,学生认识,理解两个原理,对于简单的计数,学生是没有问题的, 但是难一点的问题,学生就搞不清分步还是分类,或者重复分或者漏分。学生在遇到与计数 原理的题目时,有一种胆怯的感觉,主要就是弄不清“完成”一件事到底是什么以及如何完 成。 教学目标: 知识与技能:会利用两个原理分析和解决一些综合的应用问题; 过程与方法:学会“分类”和“分步”的综合应用,培养学生的应用能力; 情感、态度与价值观:体会数学来源生活,并为生活服务,以此激发学生学习的兴趣, 通过对原理的综合应用,认识到数学的作用于力量,从而加强对数学的情感,并从应用中找 到处理问题的信心。 教学重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的综合应用 教学难点: 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)应用中的分步与分类的区分 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教学思路: 让学生从整体上把握完成这件事应该如何去做, 是分类还是分步?还是两者 都有?在解决综合问题时, 可能同时应用两个计数原理, 即分类的方法可能要运用分步完成, 分步的方法可能会采取分类的思想求.分清完成该事情是分类还是分步, “类”间互相独立, “步” 间互相联系. 混合问题一般是先分类再分步. 分类时标准要明确, 做到不重复不遗漏. 要 恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律. 第二课时 例 1.给程序模块命名,需要用 3 个字符,其中首字符要求用字母 A~G 或 U~Z , 后两个 要求用数字 1~9.问最多可以给多少个程序命名? 分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第 1 步,选首字符;第 2 步,选中 间字符;第 3 步,选最后一个字符.而首字符又可以分为两类. 解:先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字符共有 7 + 6 = 13 种选法. 再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理,最多可以有 13×9×9 = = 1053 个不同的名称,即最多可以给 1053 个程序命名. 例 2. 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着 数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.

总共有 4 种不同的碱基,分别用 A,C,G,U 表示.在一个 RNA 分子中,各种碱基能够以任意 次序出现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类 RNA 分子 由 100 个碱基组成,那么能有多少种不同的 RNA 分子?

分析:用图 1. 1 一 2 来表示由 100 个碱基组成的长链,这时我们共有 100 个位置,每 个位置都可以从 A , C , G , U 中任选一个来占据.

解:100 个碱基组成的长链共有 100 个位置,如图 1 . 1 一 2 所示.从左到右依次在每 一个位置中,从 A , C , G , U 中任选一个填人,每个位置有 4 种填充方法.根据分步乘 法计数原理,长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有

4? 4?
100

? 4 ? 4100 (个)

例 3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易 控制的两种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法, 即二进 制.为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来 表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由 8 个二进制位构成.问: (1)一个字节( 8 位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB 码)包含了 6 763 个汉字,一个汉字为一个字符,要对这 些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示? 分析:由于每个字节有 8 个二进制位,每一位上的值都有 0,1 两种选择,而且不同的 顺序代表不同的字符,因此可以用分步乘法计数原理求解本题. 解:(1)用图 1.1 一 3 来表示一个字节.

图 1 . 1 一 3 一个字节共有 8 位,每位上有 2 种选择.根据分步乘法计数原理,一个字节最多可以 8 表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 2 =256 个不同的字符; ( 2)由( 1 )知,用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个,我们就考虑用 2 个字节能够表示多少个字符.前一个字节有 256 种不同的表示方法,后一个字节也有 256 种表示方法.根据分步乘法计数原理,2 个字节可以表示 256×256 = 65536

个不同的字符,这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763.所以要表示这些汉字,每个 汉字至少要用 2 个字节表示. 例 4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有 多少条执行路径(即程序从开始到结束的路线) ,以便知道需要提供多少个测试数据.一般 地,一个程序模块由许多子模块组成.如图 1.1 一 4,它是一个具有许多执行路径的程序模 块.问:这个程序模块有多少条执行路径? 另外, 为了减少测试时间, 程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试 方法,以减少测试次数吗?

图 1.1 一 4 分析:整个模块的任意一条执行路径都分两步完成:第 1 步是从开始执行到 A 点;第 2 步是从 A 点执行到结束. 而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成; 第 2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成. 因此, 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到 两个计数原理. 解:由分类加法计数原理,子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有 18 + 45 + 28 = 91 (条) ; 子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有 38 + 43 = 81 (条) . 又由分步乘法计数原理,整个模块的执行路径共有 91×81 = 7 371(条). 在实际测试中, 程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱, 即通过只考察是否执行了正 确的子模块的方式来测试整个模块.这样,他可以先分别单独测试 5 个模块,以考察每个 子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常,只需要测试程序第 1 步中的各个子模块和 第 2 步中的各个子模块之间的信息交流是否正常,需要的测试次数为 3×2=6 . 如果每个子模块都工作正常, 并且各个子模块之间的信息交流也正常, 那么整个程序模 块就工作正常.这样,测试整个模块的次数就变为 172 + 6=178(次). 显然,178 与 7371 的差距是非常大的. 你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗? 巩固练习: 1.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路 可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 2.书架上放有 3 本不同的数学书,5 本不同的语文书,6 本不同的英语书. (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?

(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法? 3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用 多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 ② ① ③ 图一 ④ ① ③ ② 图二 ④ ② ① ③ ④

图三

若变为图二,图三呢? 5.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?又他们 争夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种? 课堂小结:运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点: 分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次满足:完成这件事的任何一种方法必属于某一 类,并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法,即"不重不漏". 分步乘法计数原理: 首先确定分步标准, 其次满足: 必须并且只需连续完成这 n 个步骤, 这件事才算完成. 课后作业: 课外作业:第 13 页 习题 1,2 板书设计: 课题 例题分析 教学反思: 练习 小结 作业


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