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全国大学生力学竞赛—材料力学专题


材料力学
Mechanics of Materials

胡益平
Hu yiping

本 讲 座 的 目 的
基本理论和方法

材料力学纵向问题 , 深 入理解其理论和方法.

工程实际问题 ----- 力学模型的建立

工程实际问题 ----

- 力学模型的建立

设计观点: 考虑 最不利情况.

工程实际问题 ----力学模型的建立

P/ 2 P/ 2 a L

H
H v F F v

P/ 2 P/ 2 a L

H
H v F F v

P/ 2 P/ 2 a L

材料力学
理论体系

1. 材料力学的主要任务
材料力学的研究对象
以杆件和杆件结构系统为研究对象

材料力学的任务
研究杆件或杆件结构系统在外力作用下的
安全性问题 ,即强度 刚度 稳定性问题.

2. 杆件变形的基本形式
拉压 ( tension & compression ) 扭转 ( torsion )

弯曲 ( bending )

剪切 ( shearing )

组合变形 (combined deformations)

P

3. 材料力学的基本概念
强度 刚度 稳定性 内力 应力 应变 单元体 虎克定律
内力: 是材料力学问题的出发点.
一般情况下横截面上的应力和内力间有六个积分关系:

? xy

y

o ? xz (x,y,z)
z

?x

x

N ?x ? ?

? ? ? x, y , z ? d A
x A

Qy ?x ? ?
Qz ? x ? ?

?
?
xz

A

? xy ? x, y , z ? d A

A

? xz ? x, y , z ? d A
xy

T ?x ? ? My Mz

? ?? ? x, y, z ? y ? ? ? x, y , z ?z ?dA ? x ? ? ? ? ? x, y , z ?z dA ? x ? ? ? ? ? ( x, y , z ) y dA
A A x A x

上述关系称为静力学关系,是材料力学 最基本的一组方程,必需满足。如果知道应力 在横截面上的分布规律,则由上式可将杆件横 截面上的应力用该截面上的内力表示出来。

上述静力学关系可以分为两组,一组是 与杆件横截面上的正应力有关,一组是与杆件 横截面上的切应力有关 .
N ?x ? ?

? ? ?x, y, z ? dA
x

M y ?x ? ?

?A ? x ?x, y, z ?z dA
A

A

M z ? x ? ? ? ? ? x ? x, y, z ? y dA
T ?x ? ?

与杆件横截面上 的正应力有关

? ?? ? x, y, z ? y ? ? ? x, y, z ?z ?dA
A xz xy

Qy ?x ? ?

Qz ? x ? ?

? ?

A

? xy ? x, y , z ? dA

A

? xz ? x, y , z ? d A

与杆件横截 面上的切应 力有关

(线)应变 (normal strain)

y
A1 A1 '? AA' ? s ? A? ? Lim AA '?0 AA'
A

S
A
'

A1'

z y
A

A1

x

?(d s ) ? s ( A) ? ds

??d y ? ? y ? A? ? dy

??d x ? ? x ? A? ? dx

A'

x

z
??d z ? ? z ? A? ? dz

切(角)应变 (shearing strain)
y ? z A
?

x

??

A

??

? ?? ( A) ? ? ? ? ? ?
y

? xy ?

yz

? zx
z

x A

单元体 (Element) y A z
?y

.

? yz ? zy

? yx ? xy
? zx ? xz

?x

x
?? x ? T ? ?? yx ?? zx ?

?z

? xy ?y ? zy

? xz ? ? yz ? ? ?z? ?

单元体微分面上的应力实际上就是 A 点处三 个相互垂直平面上的应力情况.

虎克定律

?

?

? ? E?
? ? G?

?
?y
? yz ? zy

? yx ? xy
? zx ? xz

?x

广义虎克定律

?z

3. 材料力学的分析方法
力学分析 物理分析 几何分析
几何分析最困难: 构件在荷载作用下将会变形,变形是协调的 .
(1) 构件内部变形应该是协调的

不协调 协调

不协调

(2) 构件之间变形应该是协调的

协调

不协调

不协调

几何分析的目的: 寻找杆件横截面上点与点之
间或杆件系统中杆与杆之间变形的协调关系.

材料力学的研究方法
几何分析 物理分析 力学分析
可以解决线弹性问 题也可以解决一些 非线弹性问题

几何分析: 寻找
杆件横截面上点与 点之间或杆件系统 中杆与杆之间变形 的协调关系.

物理分析 力学分析 几何分析

力学分析 几何分析 物理分析

物理分析: 分析杆件的
外力和变形之间的关系.

力学分析: 分析杆件
横截面上内力和应力之 间关系.

(3) 材料力学的理论逻辑过程
内力函数 静力学关系 截面法
内力与应力的积分关系

内力与应力的 显函数关系
N ?x ? ? ? ? ?x, y, z ? d A
A

杆件的应力

应力在横截面上的变化规律不知道!

? ( x, y , z )

数学上已知某一函数的积分结果而要求积分号 下的函数是不可能的.

(3) 材料力学的理论逻辑过程
内力函数 静力学关系 截面法
内力与应力的积分关系

因此无法从静力学关系中直接导 出应力与内力的显函数表达式.

怎么办?

实验

(3) 材料力学的理论逻辑过程
内力函数 静力学关系 实验 附加假设 几何关系 变形规律 杆件的变形
内力与应力的 显函数关系

截面法
内力与应力的积分关系

杆件的应力
应力分布规律

物理关系

例: 拉 伸 与 压 缩
内力:

N ? N (x)
y
O

? ( x, y , z )
x
N (x)

dA

(y,z)

z

.

y

x
N ?x ? ?

z

?

A

? ? x, y , z ? d A
A

A(x) Cross section
静力学关系

M y ?x ? ?

?

? ? x, y , z ? z d A ? 0
A

M z ? x ? ? ? ? ? ? x, y , z ? y d A ? 0

平面假设
A B

?(d x)
x
dx

?(d x) ?A ? ? ?B dx
几何关系

平面假设本质上规定了横截面 上点与点之间变形的协调性

? ( x, y, z) ? ? A ? ? B ? ? ( x)
变形规律

? ( x, y, z ) ? E? ( x) ? ? ( x)
M y ? x ? ? ? ? x ?? z d A ? ? ? x ?S y ? 0
A

物理关系

M z ? x ? ? ?? ? x ?? y d A ? ?? ? x ?S z ? 0
A

N ? x ? ? ? ? x ?? d A ? ? ? x ? A? x ?
A

N ( x) ? ( x) ? A( x)

? ( x, y, z) ? ? A ? ? B ? ? ( x)
变形规律

? ( x) ? E? ( x)
物理关系

N ( x) ?(d x) ?E A( x) dx
N ( x) ?(d x) ? dx EA
?l ?

? max

N ( x) ? A( x)

? [? ]
max

拉压杆的强度条件

?

l

N ( x) dx EA

? l ? [? l ]
拉压杆的刚度条件

拉压杆的变形

4. 材料力学的主要内容
每种基本变形形式及组合变 形的六个方面的问题 材料力学的主线

(2)应力 (1)内力 (4)变形 (6)超静定
能量法 动应力

(3)强度
安全性

(5)刚度
压杆稳定

内力 应力 强度 变形 刚度 超静定 拉压

扭转
弯曲
组合 变形

Tension or compression :
N ( x) ? ( x) ? A( x)
N ( x) ? ? [? ] A( x) max

? max

N ? N (x)

N ( x) ?l ? ? dx l EA
Equilibrium of forces Harmunious equations Physical equations

?l ? [?l ]

Torsion :
T ( x) ? ? ( x, ? ) ? Ip

T ( x) ? m ax ? W p ( x)

? [? ]
m ax

T ? T (x)
T ( x) ??? dx l GI p
T ( x) ? m ax ? GI p 180 ?10 3 ? ? [? ] ?
o

/m

m ax

Equilibrium of forces Harmunious equations Physical equations

Bending :
M ( x) y ? ( x, y ) ? ? Iz
Q ? Q( x) M ? M ( x)

? max ? max

M ( x) ? ? [? ] Wz ( x) max Q( x) ?k ? [? ] A( x) max

Q( x) S ' ( y ) ? ( x, y ) ? bI z
? i ( x) ? ?
M i ( x) d x ? Ci Ei I zi

M i ( x) yi ( x) ? ?? d x d x ? Ci x ? Di Ei I zi x ? [ xi ?1 , xi ] i ? 1,2,..... n
?1 X ? ?1 F ? ?1 or

? max ? [? ] ymax ? [ y ]

? 11 X 1 ? ?1F ? ?1

Combined deformations :
?? x ? ? y ? x ?? y 2 2 ? ( ) ? ? xy ? (? 1 , ? 2 , ? 3 ) ? ? 2 2 ?0 (? ) z ?

N ? N ( x) Q ? Q( x) M ? M ( x)

? eq 3 ? (? N ? ? M ) 2 ? 4? T2 ? [? ] ? eq 4 ? (? N ? ? M ) 2 ? 3? T2 ? [? ]
? eq 3 ? ? eq 4 ?
( ( N M 2 T 2 ? ) ? 4( ) ? [? ] A Wz Wp N M 2 T 2 ? ) ? 3( ) ? [? ] A Wz Wp

材料力学
理论应用

Example : 确定图示变截面柱体在强度充分发 挥的情况下其横截面面积沿柱体轴线的变化规 律 , 已知: P , ? , [? ].
解: (1) 求内力

P
W

P

x

x
A(x)

l

A(x) N(x)

N ( x) ? ?( P ? W )
? ?[ P ? ?
x 0

x

?gA( x) d x]

(2) 求应力

P ? ? ?gA( x) d x N ( x) 0 ? ( x) ? ?? A( x) A( x)
(3) 强度充分发挥时应有:

x

N ( x) ? ( x) ? ? [? ] A( x)

等强度

P??

x

0

?gA( x) d x ? A( x)[? ]

?gA( x) ? A' ( x)[? ]

d A( x) ?g ? dx A( x ) [? ]

?g ln A( x) ? x?C [? ]
P ? [? ] A(0)

when : x ? 0 ? (0) ?

P W x

C ? ln A(0)
C ? ln P [? ]

A(x) N(x)

A( x) ?

P [? ]

e

?gx /[? ]

等强度柱体

Example : Determine the reaction of the column at
fixed end that shwon in follows figure . The density of the material is ? . The Yang’s modulus is E when tension and is E’ when compression .

Solve :
(1) Determine the internal forces

RB

b
compression

y Tension

?g

L

x x

a

RA

N1

RB

x

W1

y
N2

W2

RA N1 ( x) ? RA ? ?gAx

N 2 ( y) ? RB ? ?gAy
拉力
RB

压力

N1 (a) ? RA ? ?gAa ? 0

b
compression

y Tension

N 2 (b) ? RB ? ?gAb ? 0 RA ? ?gAa RB ? ?gAb

x x

a

N1 ( x) ? ?gA(a ? x) N 2 ( y) ? ?gA(b ? y)

RA

(2) Determine the reaction at the fixd end

RB

?l1 ?
?l2 ?

?
?

a

0

N1 ( x) d x E' A
N 2 ( y) d y EA
a

b 压缩量
compression

y Tension

x x

a

b

0

拉伸量

RA

?l1 ?

?g

? E'
E

0

(a ? x) d x ?

?g
2E'

a

2

?l2 ?

?g

?

b

0

(b ? y ) d y ?

?g
2E

b

2

?l1 ?

?g
2E '

a

2

?l2 ?

?g
2E

b2

?l1 ? ?l2

协调方程

a ? b

E' E

a ?b ? L
L b? 1? E ' / E

L E' / E a? 1 ? E' / E

RA ? ?gAa
RA ?

RB ? ?gAb

RB
?g
L

?gAL E ' / E
1? E' / E

RB ?

?gAL
1? E' / E

RA
?gAL
2

when : E ? E '

L a ? 2

RA ? RB ?

Example : 一圆轴受分布扭矩 q = ax 的作用,然后套上材
料和长度相同的一圆筒且在两端面与圆轴焊接在一起,当外 力矩去掉后,求圆轴以及圆筒两端相对扭转的角度.圆筒外径 为D,轴的直径为d ,长度为L ,材料的剪切弹性模量为G. 在分布扭矩作用下圆轴初 始扭转的角度为:

q ? ax
T0

x
m m

?0 ? ?0
L

L

T ( x) dx GI p1
L

T ( x) ? ? q d x ? ?x
x

a 2 ax d x ? ( L ? x 2 ) 2

aL2 T (0) ? T0 ? 2

2T0 a? L2

a ?0 ? 2GI p1

?

L

0

2T0 L aL3 (L ? x ) d x? ? 3GI p1 3GI p1
2 2

在焊接后圆轴和圆筒上所受的力矩都为m . 变形条件: 物理条件:

m m
?0 ? 2 ?1

?1 ? ?2 ? ?0
mL mL ?1 ? ?2 ? GI P1 GI P 2
2T0 m? ? 3 I p1 ? I p 2 I p2

m

m

I p2 I p1 ? I p 2

D 4 (1 ? ? 4 ) (1 ? ? 4 ) ? 4 ? 4 ? 1?? 4 d ? D 4 (1 ? ? 4 ) ? ? (1 ? ? 4 )

2T0 4 m? (1 ? ? ) 3
2T0 L 64T0 L 4 ?1 ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? 4 ) 4 3GI P1 3G?d 2T0 L 64T0 L ?2 ? (1 ? ? 4 ) ? 3GI P 2 3G?D 4

?0 ? 2 ?1

m

m

?1

?2

Example : A solid shaft and a hollow shaft are made of the same material and are of the same weight and length . If the maximum shearing stress is the same in each shaft , the ratio of torques will be :
mS 1?? 2 ? mH 1? ? 2

? ---- is the ratio of internal radius and
external radius of hollow shaft

Solve :

ms

? S max
? H max

mS ? W ps mH ? W pH

mH
DH

Ds d H

lS ? l H

GS ? GH

AS ? AH
2 2 2 DS ? D H ? d H

DS

dH

DH

DS DH

?

dH 2 1? ( ) ? DH

1?? 2

? S max ? ? H max
W ps mS ? mH W pH

W ps ?

?
16

DS

3

W pH ?

?
16

D 3 (1 ? ? 4 ) H

mS Ds 3 4 (1 ? ? 2 ) 1 ? ? 2 ?( ) /(1 ? ? ) ? 4 mH DH 1??

ms 1?? ? 2 mH 1? ?

2

Example : 图示直梁受有若干个集中力和若干个集中力矩以
及分布力和分布力偶矩的作用,试导出梁的平衡微分方程并求 出任意截面上的剪力和弯矩.
y

q(x)

qm (x)

A

B

x

q

? Fy ? 0 Q ? qdx ? (Q ? dQ) ? 0
qm
M+dM Q+dQ

Q M

?M ? 0

dQ q ? dx

dx

1 M ? dM ? M ? Qdx ? q(dx) 2 ? qm d x ? 0 2 dM Q? ? qm dx

d Q( x) ? q( x) dx

d M ( x) ? Q ( x ) ? qm ( x ) dx

在集中力和集中力矩作用处,内力的情况如下:

F
Q? Q?

Q? ? Q? ? F M? ?M?

M?
Q
?

M?

集中力使剪力突 变但不影响弯矩.

m

Q?

Q? ? Q? M? ?M? ?m

M?

M?

集中力矩使弯矩突 变但不影响剪力.

y Q0

q(x)

M0
d Q( x) ? q( x) dx

Q(x) qm (x) M (x) x

A

x
d Q( x) ? q( x)dx

?

x

0

d Q( x ) ?

?

x

0

q( x)dx

Q( x) ? Q0 ? ? q ( x)dx
0

x

正确吗?

没考虑集中力的影响!

y Q0

q(x)

M0
d Q( x) ? q( x) dx

Q(x) qm (x) M (x) x

A

x
d Q( x) ? q( x)dx

?

x

0

d Q( x ) ?

?

x

0

q( x)dx

有一个集中力则剪力就会有一个突跃 , 而集 中力矩和分布力矩不影响剪力 , 所以有:

Q( x) ? Q0 ? ? Fi ? ? q( x)dx
i 0

x

y Q0

q(x)

M0
d Q( x) ? q( x) dx

Q(x) qm (x) M (x) x

A

x
Q( x) ? Q0 ? ? Fi ? ? q( x)dx
i 0 x

结论 : 直梁任意横截面上的剪力等于x =0 截
面上的剪力和[0 , x]梁段上的所有集中力以及 该梁段上分布载荷图面积三者之间的代数和.

y Q0

q(x)

M0
d M ( x) ? Q ( x ) ? qm ( x ) dx

Q(x) qm (x) M (x) x

A

x
x x

M ( x) ? M 0 ? ? mi ? ? Q( x)dx ? ? qm ( x) d x
i 0 0

结论 : 直梁任意横截面上的弯矩等于x =0 截
面上的弯矩和[0 , x]梁段上的所有集中力矩 以及该梁段上剪力图面积和分布力矩图面积 四者之间的代数和.

梁上载荷的正负号如图示:

y

(+)
x

F
y

q(x)

m

qm (x)

(-)
x

例题:

矩形截面梁材料的弹性模量在受拉时为 E1,受压 时为 E2 ,求梁在纯弯曲时横截面上的正应力.

m

b h
y

解:
设中性轴的曲率半径为 ?

x

z

由平面假设,横截面上离中性轴为y 处的轴向应变为:

? ( y) ?
? 1 ? E1? 1 ?
E1 y

y

?
y?0

几何关系

?

? 2 ? E2? 2 ?
物理关系

E2 y

?

y?0

静力学关系为:

?

A1

?1 d A ? ?
A1

A2

?2 d A ? 0
A2

b
h
y
A2

M ??

?1 y d A ? ?

?2yd A

A1

z

将应力代入静力学第一个关系有:

E1S1 ? E2 S 2 ? 0
设中性轴离梁顶的距离为C

S1 , S2为受拉和受压区对z轴的静矩

h ? c b( h ? c ) 2 S1 ? Ay1c ? b(h ? c) ? 2 2 S 2 ? Ay2 c
c?

b h
y
A2

c bc 2 ? bc(? ) ? 2 2
h E1 E2 E1 ?

C
z

A1

中性轴位置

将应力代入静力学第二个关系有:

??

M E1 I1 ? E2 I 2

I1 , I 2为受拉和受压区面积对z轴的惯性矩
E1My ?1 ? E1 I1 ? E2 I 2

?2

E2 My ? E1 I1 ? E2 I 2

b h
y
A2

形心

b h
x

A1

z

例题:
已知: 求: 解:
b, h, a, h0 , E ,? , L
?AB ? ?a
A

a
h0

m
B

h b

(1)m ? ? (2)梁上半部分的体积变化 ?V ? ?
梁为纯弯曲梁,有:

M ( x) ? ?m

M ( x) h0 mh0 ? ? ( x, h0 ) ? ? ? ?? 0 Iz Iz
因 AB 为水平线段,则只是简单拉伸,有:

mh0 ?0 ? ? E EI z

?0

AB 为均匀变形(与x 坐标无关),则有:

?0

mh0 ?a ? ? a EI z

?a EI z Ebh3 ?a m? ? a h0 12h0 a y ?? ? ? x ? ? y ? ? z
my ? x ? ? ( y) ? EI z

a
A
y

m
B

? y ? ??? x ? z ? ??? x

C

x
C

h b

(1 ? 2? )m ? ? (1 ? 2? )? x ? y EI z
?V ? ? ? d V ? ?
V V

? ( x, y )

(1 ? 2? )m (1 ? 2? )mbL h / 2 yd xd yd z ? ?0 y d y EI z EI z

(1 ? 2? )mbh2 L (1 ? 2? )bh 2 L ?a ? ? ? 8 EI z 8h0 a

梁的转角和挠度与载荷及抗弯刚度之间的关系:
集中力 F 转角 均布载荷 q

FL2 ? ? EI FL y? EI
3

qL3 ? ? EI qL4 y? EI

挠度

对称梁和反对称梁在梁中点的条件:
平面结构
q

对称梁:

?C ? 0

QC ? 0

A L

C EI

B

q

反对称梁:

MC ? 0 yC ? 0
a

C
a

空间结构:
QC ? 0

P

对称结构:

?C ? 0
TC ? 0

C

P
反对称结构:
MC ? 0 yC ? 0

?C ? 0
P

C

对称结构承受一般荷载的简化:
P

P/ 2

P/ 2

P/ 2

P/ 2

对称结构承受对称荷载

对称结构承受反对称荷载

Example :

Determine the slope of section B using section method .
q

?B ? ?
Solve :

B A EI a a

q/2
A
EI a a

B

? B1
A EI

q/2
C a a B

?B2

q/2
C a

B

?B2

? B1

q 3 .(2a) 3 qa 2 ? ? 24 EI 6 EI

q/2
A EI a a

B

? B1

?B2

q .(a) 3 qa 3 ?? 2 ?? 24 EI 48 EI
3

q/2
C
a

B

?B2

? B ? ? B1 ? ? B 2

qa qa 7qa ? ? ? 6 EI 48EI 48EI

3

3

Example :
yC ? ?
Solve : q A

y

q
C

L/2 EA

N

x

EI

B

R

L

yC 1

+

A
L/2

yC 2
L/2

B

?l

yC ? yC1 ? yC 2 ? yC1 ? ?l / 2
yC1 5qL4 ? 384 EI
( ql / 2) ? ( L / 2) ?l ? EA

5qL4 qL2 yC ? ? 384 EI 8 EA

( )

问题(1) : 当梁的支座有移动时, 应用叠加法 的关键是什么? 关键是支座移动的竖向位移与所考察点的挠 度之间的关系.

习题: (5分钟)
A

y

F
C
L

EA E I
45
?

L/2

B

x

求梁中点 C 的挠度.

问题(2) : 逐段刚化法是如何使用的叠加原理?
F A F P B P B F P B

A

+

A

实质上是考虑梁的逐段变形然后叠加

习题: (10分钟)
y

EI ?
A

F B x

h b

L
h ?T ? C0 ( ? y ) 2

求: (1) B 点的挠度. (2)当B 点挠度为零时, 最高温升是多少?

梁处于线弹性小变形情况

例题: 长梁单位长度的重量为 q , 置于刚性地面 , 当
以力 P 向上提时 , 问提起的长度 L 为多少 ? P 解: P
B
C

? ? A ? ?B ? 0 y A ? yB ? 0
1 M 又因: ? ? EI

A

h L P

q
L/ 2

? MA ? MB ? 0

A

L/ 2

C

B

L, M C 未知,一次超静定问题
P

q
L/ 2

协调条件: Question :

?C ? 0
A
L/ 2

C

B

P
MC
Q
q
Q
MC

Q ? P ?

MC

P Q ? 2

A

L/ 2

?C ? 0

MA ? 0

q
A
L/ 2

P/ 2

MC

q( L / 2)3 ( P / 2)( L / 2) 2 M C ( L / 2) ? ? ?0 6 EI 2 EI EI

1 M C ? ( P / 2)( L / 2) ? q ( L / 2) 2 ? 0 2

3P L? 2q

例题: 图示梁AB受力 F 作用,为提高梁的承载能力, 可将支座B 提高.求支座提高量 ? 的最佳值以及载荷
的许可值. 解: 一次超静定问题

Wz [? ] EI
F

A

C
L/ 2 L/ 2

B

?

?B ? ?
由叠加法有:

R

RL3 F ( L / 2)3 F ( L / 2) 2 L RL3 5FL3 ?B ? ? ? ? ? ? 3EI 3EI 3EI 2 3EI 48EI

3EI? 5F R? ? 3 L 16

梁的弯矩图如图示

FL ? RL 2

FL 3EI? 3FL M A ? RL ? ? ? 3 2 L 16 MC ? RL 3EI? 5 FL ? ? 3 2 2L 32

x
RL 2

M

梁的承载能力最大时有:

M A ? MC

FL4 ?? 144 EI

M max

FL ? M A ? MC ? 6

M max ? ? [? ] Wz

FL 6W [? ] ? [? ] Fmin ? z 6Wz L

Wz L2 [? ] ?? 24 EI

Example :

F D

EA
45?

EI A L/2 C q

q B L/2

?A ? ? ?c ? ?
Solve: F

a

R=ql/2
45?

N AD ? ? R
N AF ? 2 R

D
a A R=ql/2

B

N AD ? ?1

N AF ? 2

qal Ra 2R ? 2 Ra ? (1 ? 2 2 ) ? (1 ? 2 2 ) ?A ? ? 2a ? 2 EA EA EA EA

F D

EA
45?

E I

q C L/ 2
B

a

A L/ 2

? C ? ? C1 ?
4

?A
2

? C1

5ql ? 385EI

4

5ql qal ?C ? ? (1 ? 2 2 ) 385EI 4 EI

例题: 图示三根等直杆一端放在刚性地基上一端搭在另一 根杆的中点处,当一个人站在一个交叉点时,证明该点处的 挠度是其它交叉点的一倍半.

证明:

设人的重量为 W 设各根杆中点受的力为: X,Y,Z

2
3
W

X

1
Y X ? 2Y Y ? 2Z
Z

R1

W

Z

X Y
R2

R3

Z ? 2( X ? W )

2 Z ? W 7 ?? 单位力作用在杆中点处的挠度为:

X ? 2Y Y ? 2Z 8 4 X ? W Y ? W 7 7

Z ? 2( X ? W )

L3 48 EI

设各根杆中点的挠度分别为: x , y , z . 由叠加法有:

X

R1

y

W

Z

x
Y

Y

1 x ? X? ? y X x 2 1 y ? Y? ? z 2

z

R3

R2

z
y
Z

1 z ? Z? ? x 2

12 x ? W? 7

8 y ? W? 7

8 z ? W? 7
证毕

x : y : z ? 3: 2 : 2
一个有意义的结果: 三点挠度之和:

x ? y ? z ? 2( X ? Y ? Z )? ? 4W? ? 4? W
L

?

问题:

三个交叉点都有人站时其位移之比? 三人的重量分别为:

W1 W2 W3

例题: 两人以如图方式拉一钢环,求两人拉开的距 离. 已知 R , d , E , G.
C

解: 由对称性,在B C 截面上 只有弯矩.(反对称物理量 剪力和扭矩均为零)且各 点处两边分配的力为P/2. 由反对称性,在B C 截面上 的弯矩数值相同但符号相反.

P P

P P

? B

R
?
A
P 2

d
D

O

P 2

MC

?
B

MB

C

O
?

M B ? MC

P ? ? M 2M cos 45 ? ? 2 R sin 45 2
?

PR M? 2

该问题为静定问题,B C 两点的相 对位移就是两人拉开的距离.利用 单位载荷法求解.
任意截面上的内力为: 平衡方程为:
Q (? ) ? P 2

P 2

P 2

M
C

?
B

M

O
T (? ) M (? )

?

M

P B 2 M (? ) ? R sin ? ? M cos ? 2 O P T (? ) ? ( R ? R cos ? ) ? M sin ? 2 PR M (? ) ? (cos ? ? sin ? ) 2 PR T (? ) ? ? (1 ? cos ? ? sin ? ) 2

?

? P

M

忽略剪力的影响
R M (? ) ? (cos ? ? sin ? ) 2 R T (? ) ? ? (1 ? cos ? ? sin ? ) 2
? BC ? 2[ ? 2
0

?

? M (? ) M (? ) R d? ? ? 2 0 EI

T (? )T (? ) R d? ] GI p

? 2[ ? 2
0

?

? PR 3 PR 3 (cos ? ? sin ? ) 2 d ? ? ? 2 (1 ? cos ? ? sin ? ) 2 d ? ] 0 4 EI 4GI p

PR 3 ? PR 3 16 PR3 ? ? 2 ? ? 3 ? ( ? 1) ? (? ? 3) ? ( ? ) 4 2 EI 2 2GI p ?d E G



重量为 G 的运动员在单杠中央作大回环动作。运动员重心

与单杠的距离保持为 H ,两手间距为 a ,单杠两支点的间距 为L,直径为 d。求运动员最上位、水平位和最下位时单杠中 的最大应力。

单杠可简化为如图的受力模型。 单杠中的最大弯矩
1 P 1 M ? ( L ? a ) ? ? P( L ? a ) 2 2 4

P/ 2 P/ 2 a L

单杠中的最大应力

? max

M ? P( L ? a ) 4 ? 8 P( L ? a ) ? ? d 3 32 ? d3 W

最上位
? max
H
H v F F v

P?G
8G( L ? a ) ? ?d3

水平位

根据机械能守恒

1 mv 2 ? mgH 2
2

v 2 ? 2 gH

? max

8 P( L ? a ) ? ? d3
P/ 2 P/ 2 a L

v ? m ? m 2 gH ? 2G P?F H H
? max
16G( L ? a ) ? ?d3

最下位
H
H v F F v

v 2 ? 4 gH

v2 ?G P ? F ?G ?m H
4 gH ?m ? G ? 5G H

? max

8 P( L ? a ) ? ? d3
P/ 2 P/ 2 a L

? max

40G ( L ? a ) ? ?d3

例 直径为 d 的圆杆做成的直角丁字架
两端固定,自由端处有重物 F 自 H 高处 自由落下。已知材料的弹性模量 E,泊

a a C A a

B
F F H D

松比 ? = 0.25 ,求自由端的最大位移。
求静态位移。 AB 段承受弯扭组合荷载。 考虑 AB 弯曲超静定问题:
m

F

?
a a

m

F ?2a ? Fa 2 ?F ? ? ?? 16 EI 4 EI
2

? m? m

m ? 2a m ? 2a ma ? ? ? 3EI 6 EI EI

协调条件

ma Fa 2 ? ?0 EI 4 EI

1 m ? Fa 4

C 点处位移

a a
3 3

B
F D

vCF vm ? m

P ( 2a ) Pa ?? ?? 48EI 6 EI m(2a) 2 ma 2 Fa 3 ? 2? ? ? 16 EI 2 EI 8EI
3

C A a

Fa vC ? vF ? vm?m ? ? 24 EI
考虑扭转问题: 显然支反力偶矩为 1 Fa 2

m a
a

a F

m
Fa a

?

Ta ?C ? GI p

E 2 G? ? E 2(1 ?? ) 5

2 4 GI p ? E ? 2 I ? EI 5 5

5 Fa 2 C 点处扭转角: ? ? 8 EI
C 点处扭转角在 D 点引起的位移:

a a C A a

B
F D

vDT

5Fa 3 ?? 8EI
a

a

考虑 CD 段弯曲: vDF

Fa 3 ?? 3EI

?
Fa

F D

故 F 作用点处静位移值

Fa 3 5Fa 3 Fa 3 Fa 3 64 Fa 3 ? ?s ? ? ? ? E? d 4 24 EI 8EI 3EI EI

a

?s ?

64 Fa E? d 4

3

a

F F a H

动荷系数

Kd ? 1? 1?

2H

?s

EH? d 4 ? 1? 1? 32 Fa 3

自由端的最大位移

vd max

64 Fa 3 ? EH? d 4 ? ?1 ? 1 ? ? ? vs K d ? 4 ? 3 ? E? d ? 32 Fa ?



链球运动员以角速度

?

沿与水平面成 45? 的面旋

转链球。链球重为W ,铁链长为 R 截面面积为 A 且总 重量为Q ,求铁链中的最大应力. 铁链不能受弯曲只能受拉力作用. 危险截面在链球处于最低位 时靠近运动员手掌处.

Fq
45?

WR? F ? mR? ? g
2

2

Fq ? ?

R

0

r? d m ? ?
2

R

0

QR? Q r? dr ? 2g gR
2

2

W

F



链球运动员以角速度

沿与水平面成

的面旋

转链球。链球重为W ,铁链长为 R 截面面积为 A 且总 重量为Q ,求铁链中的最大应力.

WR? 2 F? g

QR? 2 Fq ? 2g
?

2 FW ? W cos 45 ? W 2

Fq
45?

? max

R? 2 2g ? [Q ? (2 ? )W ] 2 2 gA 2 R?

W

F

EA
v L



吊索悬挂着一个有切口的圆环,环下端吊有

重量为 P 的物体。当重物以速度 v 下降至绳索长 度为 L 时突然刹住。不计圆环和吊索重量,求圆
?
C P

R EI

环切口张开量? 。
冲击荷载作用点 C 处的静位移包含 AB 的伸长量

?L 和 BC 间的相对位移 ?BC 。
P 1

用单位荷载法求 ?BC : 力 P 引起的弯矩: M P ? PR sin ? 单位力引起的弯矩: M ? R sin ?
?

2 ?BC ? EI

? 2

?
0

PR 2sin 2? ? Rd? ?

? PR 3
2 EI

P

1

EA
v L

PL ?L ? EA

PR 3 ? I L ? ? ? sC ? ? L ? ?BC ? ? 3 ? ? EI ? R A 2 ?

?
C P

R EI

v2 2v 2 EIR3 A Kd ? 1? 1? ? 1? 1? g? sC gPR 3 ?2 I L ? R 3 A? ?
用单位荷载法求切口处静 位移。单位力引起的弯矩:

P

R 1

?

?

1 P

M ? ? R(1? sin ? )
2 ?s ? EI
? 2

?

PR 3 ? ? ? PR ?1 ? sin ? ?sin ? ? Rd? ? ? 2? ? EI ? 2 ? 0
2

EA
v L

2v 2 EIR3 A Kd ? 1? 1? gPR 3 ?2 I L ? R 3 A? ?

PR 3 ? ? ? ?s ? ? 2? ? EI ? 2 ?

?
C P

R EI

PR 3 ? ? ? ?d ? ? 2 ?Kd ? EI ? 2 ?
? ? PR 2 ? ? 2v 2 EIR3 A ?? ? ? ? ? 2 ??1 ? 1 ? 3 3 EI ? 2 gPR ?2 I L ? R A? ? ? ?? ?


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