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1.2.1任意角的三角函数hjh


1.2.1 任意角的三角函数

锐角三角函数 :
b sin a ? c a cos a ? c b tan a ? a 1 a cot a ? ? tan a b

c a a

b

P(x,y) y x M

r o

α

/>y x y sin a ? ; cos a ? ; tan a ? r r x

同样的,我们可以定义出任意角的三角函数 锐角三角函数 :

设a是一个任意角, P( x, y )是其终边上任 意一点, 记r ? x ? y 那么 :
2 2

y y (1) 叫做a的正弦, 记作 sin a ,即sin a ? ; r r x x (2) 叫做a的余弦, 记作 cos a ,即 cos a ? ; r r y y (3) 叫做a的正切, 记作 tan a ,即 tan a ? ; x x

特别地, 任意角a的终边与单位圆交于点 P( x, y)时 :

(1) sin a ? y; (2) cos a ? x;
y (3) tan a ? ; x

y

P(x,y) O

a

x

A(1,0)

5? 例1、求 的正弦, 余弦, 正切值. 3

例2、已知角a的终边经过点P0 (?3,?4), 求 角a的正弦, 余弦, 正切值.

正弦值y对于第一、二象限的角是正的,对于第三、四 象限的角是负的。 余弦值x 对于第一、四象 限的角是正的,对于第二、 三象限的角是负的。

y 正切值 对于第一、三象限的角是正的, x 对于第二、四象限的角是负的。

填写正弦, 余弦, 正切函数值在各象限的符 号:
y
( (

y

y

?)

(

?)

o

?)

(

?)

x

?) ( ? ) x ( ?) ( ? ) x o o ( ?) ( ?) ( ?) ( ?)
(

sin a

cosa

tan a

利用三角函数的定义, 可知 :
终边相同的角的同一三角函数值相等。
sin( a ? k ? 2? ) ? sin a ; cos(a ? k ? 2? ) ? cos a ; tan(a ? k ? 2? ) ? tan a , 以上k ? Z .

例3、 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ 为第三象限角. ?sin ? ? 0

? ?tan ? ? 0

例4、确定下列三角函数值的符号, 然后用 计算机验证 :
? (3) tan( ?6720 ); (4) tan 3? . (1) cos 250 ; (2) sin( ? );
0

4

例5、求下列三角函数值 :
0

9 11? (1) sin 1480 10' ; (2) cos ? ; (3) tan( ? ); 4 6

你要记住哦! 度 弧度

0

0

30
?
6
1 2
3 2 3 3

0

45
?
4
2 2 2 2

0

60
?
3
1 2
3 2

0

90
?
2

0

0
0 1 0

sin a cos a

1 0
0

tan a cot a

3

1 1

3
3 3

P15 3填表:求下列特殊角的三角函数值 角α
0° 90° 180° 270° 360°

角α的 弧度数
sinα cosα tanα

0

?
2

?

3? 2

2?

0 1 0 -1 0 -1 0 1 1 0 0 不存在 0 不存在 0

练习册P8 2改编、已知角a的终边经过点P(?4a,3a) (a ? 0), 求2 sin a ? cos a的值.

cos x tan x cot x 1、函数 y ? 的值域是( ) ? ? ? sin x cos x tan x cot x
A.??2, 4? B.??2, 0, 4? C.??2, 0, 2, 4? D.??4, ?2, 0, 2, 4?
2、设角a 属于第二象限角,且 cos 则角
a
2

sin x

a
2

? ? cos

a
2



属于第

象限角?

A.一 B.二

C.三 D.四

cos x tan x cot x 1、函数 y ? 的值域是( ) ? ? ? sin x cos x tan x cot x
A.??2, 4? B.??2, 0, 4? C.??2, 0, 2, 4? D.??4, ?2, 0, 2, 4?

sin x

2、设角a 属于第二象限角,且 cos 则角
a
2

a
2

? ? cos

a
2



属于第

象限角?

A.一 B.二

C.三 D.四

1、角a的终经过点P (2,3) ,则有(

2 13 13 A、sina ? B、 cosa ? 13 2 3 13 3 C、 sin a ? D、 t ana ? 13 2 2、若角a的终边在直线y ? 2 x上,则sin a等于( 1 A、 ? 5 5 B、? 5 2 5 C、 ? 5

C、D

)

) C

1 D、 ? 2 3 3、a的终边经过P (-3, b),且 cosa ? ? ,则b的值为_____ 5

1、角a的终经过点P (2,3) ,则有( 2 13 A、sina ? 13 3 13 C、 sin a ? 13

13 B、 cosa ? 2 3 D、 t ana ? 2

C、D

)

2、若角a的终边在直线 y ? 2 x上,则sin a等于( 1 A、 ? 5 5 B、? 5 2 5 C、 ? 5 1 D、 ? 2

C)

3 3、a的终边经过P(-3, b),且 cosa ? ? ,则b的值为_____ 5

4、若sin a tana ? 0, 则a的终边在( A、第一象限 C、第二或第三象限

B、 第四象限

D

)

D、第一或第四象限

5、下列各三角函数值中 ,取负值的是 ( A、 sin(-660 ) C、 cos(-740 )
0 0

B、 tan160

0 0 0

B

)

D、 sin(?420 ) ? cos570

4、若 sin a tana ? 0, 则a的终边在( A、第一象限 C、第二或第三象限

D)

B、 第四象限 D、第一或第四象限

5、下列各三角函数值中 ,取负值的是( A、 sin(-660 )
0 C、cos(-740 ) 0

B、 tan160

0

B

)

D、 sin(?4200 ) ? cos5700

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第八 章 三角函数及解三角形

3.任意角的三角函数 (1)定义:任意角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的
非负半轴重合,终边上任意一点P(x,y)到原点的距离为r =

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第八 章 三角函数及解三角形

(2)三角函数的符号如图所示:即:

y
(
(

y

y

?)

(

?)

o

?)

(

?)

x

?) ( ? ) x ( ?) ( ? ) x o o ( ?) ( ?) ( ?) ( ?)
(

sin a

cosa

tan a

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第八 章 三角函数及解三角形

(3)三角函数的定义域

正弦函数y=sinα的定义域: {α|α∈R}.
余弦函数y=cosα的定义域: {α|α∈R}. 正切函数y=tanα的定义域:.

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第八 章 三角函数及解三角形

终边相同的角的同一三角函数值相等。


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