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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练2 函数与方程及函数的实际应用 理


训练 2

函数与方程及函数的实际应用
(时间:45 分钟 满分:75 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 1.(2012·山东实验中学一诊)函数 f(x)=- +log2x 的一个零点落在下列哪个区间

x

( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)
3

).

2.(2012·湖南浏阳)在用二分法求方程 x -2x-1=0 的一个近似解时,现在已经将一根锁 定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 ( A.(1.4,2) B.(1.1,4) ).

? 3? C.?1, ? ? 2?

?3 ? D.? ,2? ?2 ?

1 3.(2012·临沂一模)设函数 f(x)= x-ln x,则函数 f(x) 3 ( ).

?1 ? A.在区间? ,1?,(1,e)内均有零点 ?e ? ?1 ? B.在区间? ,1?,(1,e)内均无零点 ?e ? ?1 ? C.在区间? ,1?内有零点,在(1,e)内无零点 ?e ? ?1 ? D.在区间? ,1?内无零点,在(1,e)内有零点 ?e ?
? ?x+3,x≤1, 4.(2012·厦门质检)已知 f(x)=? 2 ?-x +2x+3,x>1, ?

则函数 g(x)=f(x)-e 的零点

x

个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

5.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓 储时间为 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用 8 与仓储费用之和最小,每批应生产产品 ( A.60 件 B.80 件
1

x

).

C.100 件 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

D.120 件

6.(2012·宝鸡二模)已知 0<a<1,函数 f(x)=a -|logax|的零点个数为________.

x

?1?x 7.(2012·郑州二模)已知函数 f(x)=? ? -log3x,若 x0 是函数 y=f(x)的零点,且 0<x1 ?5?
<x0,则 f(x1)________0(填“>”、“<”、“≥”、“≤”).

?1?x-2 3 8.设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),若 x0 所在的区间是(n,n+1)(n∈Z), ?2?
则 n=________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元) 均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近似满足 f(t)=20 1 - |t-10|(元). 2 (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 10.(12 分)(2012·广州模拟)已知二次函数 f(x)=x -16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度 为 12-t. 9 2 3 11.(12 分)设函数 f(x)=x - x +6x-a. 2 (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 参考答案 训练 2 函数与方程及函数的实际应用 1.B [根据函数的零点存在定理,要验证函数的零点的位置,只要求出函数在区间的两个 端点上的函数值,得到结果,根据函数的零点存在定理得到 f(1)·f(2)<0.故选 B.] 2.D [令 f(x)=x -2x-1, 5 ?3? 则 f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f? ?=- <0. 8 ?2?
3 2

?3 ? 故下一步可断定该根所在区间为? ,2?.] ?2 ?
1 1 x-3 ?1 ? 3.D [∵f′(x)= - = ,当 x∈? ,e?时,f′(x)<0, 3 x 3x ?e ?

2

?1 ? ∴f(x)在? ,e?上单调. ?e ?
f? ?= -ln =1+ >0,f(1)= -ln 1= >0, e f(e)= -ln e<0,所以 f(x)在(1,e)内有零点.]
4.B [在同一平面直角坐标系中画出函数 y=f(x)与 y=e 的图象,结合图形可知,它们有 两个公共点,因此函数 g(x)=f(x)-e 的零点个数是 2,选 B.] 800 x 5.B [若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是 ,存储费用是 ,总的费用 x 8 800 x 是 + ≥2 x 8 800 x 800 x · =20,当且仅当 = 时取等号,即 x=80.] x 8 x 8
x x x

?1? 1 ? ? 3e
e 3

1 e

1 3e

1 3

1 3

6.解析 分别画出函数 y=a (0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所示.

答案 2 7.解析 当 x=x0 时,

f(x0)=? ?x0-log3x0=0, 5
当 0<x1<x0 时,

?1? ? ? ?1? ?5?

f(x1)=? ?x1-log3x1>0,
如图所示.

答案 > 8.解析 由函数图象知,1<x0<2.

3

答案 1 1 ? ? 9.解 (1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)·?20- |t-10|? 2 ? ? =(40-t)(40-|t-10|)
?? 30+t? ? ? =? ? ?? 40-t? ?

40-t? ,0≤t<10, 50-t? ,10≤t≤20.

(2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 总之,第 5 天日销售额 y 取得最大值为 1 225 元;第 20 天日销售额 y 取得最小值为 600 元. 10.解 (1)∵函数 f(x)=x -16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有? ∴-20≤q≤12. (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是
? ?f? ? ?f?
2

1? ≤0, -1? ≥0,

? ?1-16+q+3≤0, 即? ? ?1+16+q+3≥0,

x=8.
①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t -15t+52=0, 15± 17 15- 17 解得 t= ,∴t= ; 2 2 ②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上 f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t -17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9,∴t=9. 15- 17 综上可知,存在常数 t= ,8,9 满足条件. 2
2 2

4

11.解 (1)f′(x)=3x -9x+6=3(x-1)(x-2), 因为 x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m, 即 3x -9x+(6-m)≥0 恒成立, 3 所以 Δ =81-12(6-m)≤0,得 m≤- , 4 3 即 m 的最大值为- . 4 (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0; 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a; 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a; 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时, 方程 f(x)=0 仅有一个实根. 5 解得 a<2 或 a> . 2
2

2

5


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