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竞赛专栏——有奖解题擂台(71)


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中学数学教学  

2 0 0 5 年第 l 期 

竞 贡  兄 赛 专。仁  栏 
主持人 郭要红 

l  

有奖解题 擂 台( 7 1 )  
广州大学数学与信息科学学院 吴伟朝 ( 邮编: 5 1 0 4 0 5 )  
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题 设R 是全体实数的集合。试解决下列两个问 题:   ( 1 ) 试求出所有的函数 厂 : l 卜   R , 使得对于任何的  、   E R , 都有 
f ( f ( z ) + f ( z‘ Y ) ) =f ( z) +  ? f ( Y ) ;  

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( 2 ) 试求出所有的函数 厂 : R —R , 使得对于任何的  、  ∈R , 都有 
f ( z   +Y+ f ( Y ) +Y ‘ f ( z ) ) =2 ? Y+Y ? f ( z ) +( f ( z ) ) 2 o  

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( 注 供题人对第一位完整且正确的应征解答者授予奖金 8 0元, 每小题各设 奖金 4 0元。 )  



个三角形不等式的证明 
兼擂题( 6 9 ) 的解答 
湖北省黄石二中 杨志明 ( 邮编: 4 3 5 0 0 3 )  

本刊 2 0 0 4 年第 5 期有奖解题擂台( 6 9 ) 中, 孙文彩  和万家练老师提出了如下不等式问题 :   题 在AA B C中, a 、 b 、 C分别是顶点 A、 B、 C所  对边的边长, h  h  h 。 分 别是顶点 A、 B、 c所对边上 

∑  ≥ 2 - z . 丢  
由柯西不等式有 
∑   ≥ 

③  
④ 

的高线长,   r 6 、 r c 分别是顶点A、 B 、 c所对的旁切  圆半径, 证明或否定:  
∑   ≥∑   ① 

由 ④式知, 要证③式成立, 只需证 

② 

面  ‘   毒  
由r a =   ,  。 :  


⑤  
( 其中  , △分 别表示  

其中∑表示对 a 、 b 、 c 的循环和。  

经过探讨发现, 上述不等式是成立的, 本文给出一   AA B C的半周长和面积) 及常见三角形恒等式: ∑(   个证明。   b ) ( 5 一c ) =( 4 R +r ) r , (  —a ) (  —b ) (  —c ) =   证明 由文[ 1 ] 知 


2S

, a+ b +c =2 s , a b+   +f n=  2 +4 Rr+ r 2a b c=  


≤ ∑  ≤ 2 - z . 昙  
由②式知, 要证①式成立, 只需证 

s R r ( 其中 R 、 r 分别表示AA B C的外接圆半径和内   ②  4 切圆半径) , 可知  


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