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全称量词 存在量词


1 . 4 全称量词与存在量词

1 . 2 . 2 充要条件

1 . 4 . 1 全称量词

思考 下列语句 是命题吗? ?1?与?3?, ?2?与?4 ? 之间有什么关 系? ?1?x ? 3 ; ?2?2 x ? 1是整数; ?3?对所有的x ? R, x ? 3; ?4 ?对任意一个x ? Z ,2 x ? 1是整数.

我们知道, 命题是可以判断真假 的陈述句.语句 ?1 ??2 ?含有变量 x, 由于不 知 道 变 量 x 代表什么数 , 无法判断它们的真假,因而不是 命题. 语句?3?在?1?的基础上, 用 短语" 对所有的" 对变量x进行限 定 ; 语句 ?4 ?在 ?2?的基础上, 用短 语" 对任意一个 " 对变量x进行限 定, 从而使 ?3? ?4 ? 成为可以判断 真假的语句,因此语句 ?3? ?4 ? 是 命题 .

短语" 所有的"" 任意一个" 在逻辑中通常叫做 全称 ?, 并用符号"?" 表示.含有 量词?universal quantifier 全称量词的命题,叫做全称命题 .

常见的全称量词还有"一切""每一个""任给"等.

例如, 命题 : 对任意的n ? Z ,2n ? 1是奇数; 所有的 正方形都是矩形都是全 称命题.
通常, 将含有变量 x 的语句用 p? x ? , q? x ? , r ? x ?,? ? ?表 示, 变量x的取值范围用M表示.那么, 全称命题" 对 M中任意一个x, 有p? x ?成立" 可用符号简记为?x ? M , p? x ?, 读作" 对任意x属于M , 有p? x ?成立".

?2? ?x ? R, x ? 1 ? 1 ; 2 ?3? 对每一个无理数 x, x 也是无理数. 分析 要判定全称命题 " ?x ? M , p? x ?"
2

例1 判断下列全称命题的真 假: ?1?所有的素数是奇数;

是真命题,需要对集合M中每个元素x, 证明 p? x ?成立; 如果在集合M中找到一 个元素x0 , 使得 p? x0 ?不成立, 那么这个 全称命题就是假命题.

例1 判断下列全称命题的真 假: ?1?所有的素数是奇数 ;
2

?2? ?x ? R, x ? 1 ? 1 ; ?3? 对每一个无理数x, x 2 也是无理数. 解 ?1? 2 是素数, 但 2 不是奇数.所以, 全称命题 "
所有的素数是奇数" 是假命题 .

?2? ?x ? R, 总有x
?3?

2

? 0,因而x ? 1 ? 1.所以, 全称
2

命题" ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1"是真命题 .
2 是无理数, 但

? 2?

2

? 2 是有理数.所以, 全称
2

命题" 对每一个无理数x, x 也是无理数 "是假命题 .


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