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2011年全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编


1、2011 年浙江省高中数学竞赛试题 2、2011 年河北省高中数学竞赛试题 3、2011 年全国高中数学联赛广东省预赛 4、2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 5、2011 年浙江省高中数学竞赛试题 6、2011 年湖北省高中数学竞赛试题 7、2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题 8、二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
9、2011 年全国高中数学

联赛陕西赛区预赛试卷

10、2011 年全国高中数学联赛山东省预赛试题

11、2011 年全国高中数学联赛江西省预赛试题 12、2011 年全国高中数学联赛山西省预赛
13、2011 年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
14、 2011 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
15、2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛

试 题

16、2011 年新知杯上海市高中数学竞赛试题
17、2011

年湖南省高中数学竞赛试卷 A 卷

2011 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知 ? ? [

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( 4 2 A. 2 sin ? B. ?2sin ? C. ?2 cos ? D. 2 cos ?




2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( A. 2 B. 2 2 C.

?2

D. ?2 2

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( ) A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 4. 过椭圆 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件 )

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2
B.

A.

2 6 3

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?

4 4 2 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 。正确答案为 C。 3 3

5. 函数 f ( x) ? ?

?1 ? 5? x ? 5 ?1
x

x?0 x?0

,则该函数为(



A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( ) 2 2 2 2 2 2 3 正视图 A. 4+ 1 侧视图 B. 4+ 1

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

5? 2

3? 2

C. 4+

? 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( ) A.64 B.32 C.16 D.8

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 , 则动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积 为( A. 4 ) B.8 C. 16 D. 32

?

?

9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( 6 ? 2?
C. ? , 1? ?2 ?



A. ? , 1?

?1 ?2

? ?

B ? , 1? ?2 ?
2

?1

?

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?
) D. 1 ? x ? 3

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( A. x ? 3 或 x ? 2 11. 函数 f ( x) ? 2sin B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)

x ? 3 cos x 的最小正周期为______ ____。 2

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____ ______. 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为

?

?

? ?



14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端 点) 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ ,D 15.设 x, y 为实数,则 _。

5 x 2 ? 4 y 2 ?10 x

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____ ________。

16. 马路上有编号为 1,2,3,?,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯, 但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___ ______种。 (用组合数符号表示) 17. 设 x, y , z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? _ _。

18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

19.

给 定 两 个 数 列

?xn ?



?yn ?

满 足 x0 ? y0 ? 1 , x n ?

xn ?1 (n ? 1) , 2 ? xn?1

2 y n?1 yn ? (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得 yn ? x jn 。 1 ? 2 y n?1

x2 y 2 20. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ,过其左焦点 F 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F 右侧 1 1 5 4
一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F ,求 a 的值。 1

2011 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( D ) 4 2 A. 2 sin ? B. ?2sin ? C. ?2 cos ? D. 2 cos ? 5? 3? , ] ,所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? 解答:因为 ? ? [ 4 2 ? 2 c o? 。正确答案为 D。 s
1. 已知 ? ? [ 2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( C ) B. 2 B. 2 2 C.

?2

D. ?2 2

解答:由题意得 2 ? a2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 4. 过椭圆 2
A.

C )

2 6 3

B.

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?
5. 函数 f ( x) ? ?

4 4 2 。正确答案为 C。 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 3 3
,则该函数为( A )

?1 ? 5? x ? 5 ?1
x

x?0 x?0

B. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 2 3 正视图 方形) A. 4+ 1 侧视图 1

俯视图(圆和正 D. 4+ ?

5? 2

B. 4+

3? 2

C. 4+

? 2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分 (

? ? 5? ) ,所以该几何体的体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ? ? 4 ? 。正确答案 2 2 2

为 A。 7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( B ) A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D.8

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 , 则动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积 为( A A. 4 ) B.8 C. 16 D. 32

?

?

解答:平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1)(—1,1)(1,—1)(1,1) , , , 满足 ax ? 2by ? 2 ,即有

?

?

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2
由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( C ) 6 ? 2?
C. ? , 1? ?2 ?

A. ? , 1?

?1 ?2

? ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?

解答: 问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点, 所以 m 的取值 6 ? 2?

范围为 ? , 1? 。正确答案为 C。 10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C )
2

?1 ?2

? ?

A. x ? 3 或 x ? 2

B. x ? 2 或 x ? 1

C. x ? 3 或 x ? 1

D. 1 ? x ? 3
2

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4) 由 f (?1) ? x ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。
2 2

正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 函数 f ( x) ? 2sin

解答:最小正周期为 4 ? 。

x ? 3 cos x 的最小正周期为______4 ? ____。 2

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______. 解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3] 。 解答: a ? b ? (1 ? cos ? ) ? (sin ? ? 3) ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? )
2 2

?

?

? ?

? ?

= 5 ? 4sin(

?
6

?? )

,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端
? 点) 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90 _。 ,D

解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15.设 x, y 为实数,则
2 2
5 x 2 ? 4 y 2 ?10 x
?

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____4________。
2 2

解答: 5x ? 4 y ? 10x ? 4 y ? 10x ? 5x ? 0 ? 0 ? x ? 2

4( x2 ? y 2 ) ? 10x ? x2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x2 ? y 2 ? 4
16. 马路上有编号为 1,2,3,?,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,
300 但不能同时关闭相邻两只, 也不能关闭两端的路灯, 则满足条件的关灯方法共有___ C1710 _______

种。 (用组合数符号表示)
300 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。

17. 设 x, y , z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x ? y ? z ? 3 ,则 x ? y ? z ? _3 或 57_。
3 3 3 2 2 2

解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x ? y ? z ? 3
3 3 3

得到

xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?

8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x? y

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解;后两个方程组解得 ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16
x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。 解答:当 x ? 0, y ? ?( x ?1) ? 1,
2

当 x ? 0, y ? ( x ? 1) ? 1,
2

---- 5 分

由此可知 ymax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, ymin ? a ? 2a ;当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ;
2

---------------------------------- 10 分

当 a ? 1 ? 2, ymin ? ?a2 ? 2a 。 ---------------------------------- 17 分 19. 给 定 两 个 数 列

?xn ?



?yn ?

满 足 x0 ? y0 ? 1 , x n ?

xn ?1 (n ? 1) , 2 ? xn?1

2 y n?1 yn ? (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得 yn ? x jn 。 1 ? 2 y n?1

解答:由已知得到:

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2, xn xn ?1 xn xn ?1 xn
所以

1 1 。 ? 1 ? 2n?1 ? xn ? n?1 xn 2 ?1

----------------- 5 分

又由已知, yn ? 1 ?

( yn?1 ? 1)2 y ? 1 yn?1 ? 1 2 1 1 2 ? n ?( ) ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n?1 yn y n?1 yn yn?1

由1 ?

n 1 1 1 , ? 2 ? 1? ? 22 ? yn ? n y0 yn 22 ? 1
n
------------------- 17 分

所以取 jn ? 2 ? 1 即可。 20. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 右侧一 52 42

点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F ,求 a 的值。 1 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 25 16
x1 ? x2 ? ?
设 M (?

? ( 1 6? 2 5 x2 ? 1k 2 0 ? k2 ) 5 x

2 22 ? k 5

4得 0 ?0

0

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ? ----10 分 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 。 ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )
, 得



????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , 整理 ? =? y3 y 4? ? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? 2 9 16 ? 25k 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9(a ? x1 )(a ? x2 )



(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。--------------17 分

2011 年河北省高中数学竞赛试题
一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 9 分,满分 72 分) 1. 已知数列 ?an ? 满足: an ?1 ?

an ? 2 ? an , a1 ? 1, a403 ? 2011, 则 a5 的最大值为 2

.

2. 若 x, y 均为正整数,且 x5 ? y 5 的值恰好是由一个 2,一个 0,两个 1 组成的四位数,则满足条 件的所有四位数是
2 2 2

. .

3. 已知 a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? bc ? ac 的值域为

4. 标号 1,2,?,13 号共 4 种颜色的卡片共计 52 张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的 盒子,若某个盒子中有两张空白卡片,4 张 1,且 2,3,?,13 号卡片各一张,称该盒是“超 级盒“。则出现超级盒的概率为 (列出算式即可).

5. 已知 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? (n ? 3)an ?1 ? (n ? 2)an , 当 m ? n 时, am 的值都能被 9 整除,则 n 的 最小值为 6. 函数 f ( x) ? .

x x ?1 x ? 2 x ? 2010 ? ? ??? 的图像的对称中心为 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 2011
.

.

7. 6 名大学毕业生到 3 个用人单位应聘,若每个单位至少录用其中一人,则不同的录用情况的种 数是

8. 已知 O 为坐标原点,B(4,0),C (5,0), 过 C 作 x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点, O 为圆心, 以

OB 为半径作圆, MT1, MT2 是圆的切线,则 ?MT1T2 垂心的轨迹方程是

.

二、解答题(本大题共 6 小题,每题的解答均要求有推理过程,9、10、11、12 小题各 12 分,13、 14 小题各 15 分,共 78 分) 9. 解不等式 x ?

1 1 1 ? x? 2 ? . 2 x x x
2 2

10、如图,已知 A, B 是圆 x ? y ? 4 与 x 轴的两个交点, P 为直线 l : x ? 4 上的动点。 PA, PB 与圆 x ? y ? 4 的另一个交点分别为 M , N .
2 2

求证:直线 MN 过定点。 11、求证: n ? 23 时,总有 2 ? 1 ?

1 2
3

?

1 3
3

???

1 n3

? 3 成立。

3 3 2 2 2 2 12、已知: f ( x, y) ? x ? y ? x y ? xy ? 3( x ? y ? xy) ? 3( x ? y) ,且 x, y ?

1 , 求 f ( x, y) 的 2

最小值。 13、 (1)在 ?ABC 中, ?BCA ? 90? ,则有 AC ? BC ? AB ,类比到三维空间中,你能得到什
2 2 2

么结论?请给出证明。 (2) ?A C 中,?BCA ? 90? , 在 B 若点 C 到 AB 的距离为 h, ?ABC 的内切圆半径为 r , 求 的最小值。 (3)推广(2)的结论到三维空间,并证明之。 14. 已知数列 ?an ??bn ?满足: a1 ? 2 p, an ?1 ? 、 (1)求数列 ?bn ?的通项; (2)证明:
n ?1 an ? p ? 32 ? 1; an ?1 ? p

r h

1 p2 a ?p (an ? ),bn ? n (n ? N * , p ? 0). 2 an an ? p

(3)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,当 n ? 2 时, Sn 与 ( n ? 明理由。

23 ) p 的大小关系是否确定?请说 18

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 , n ? 4,5,... ,则

a2011 ?

.

2. 不等式 sin 2 x ? a cos x ? a 2 ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值范围 为 . 3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件: (1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数; (2) f (3) ? 6 . 则 f (2011) ? 4. 方程
? x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011

.

一共有

个解.

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的 棱长最大等于 .
2

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x ?? 2 ? x ? 2? 绕 y 轴旋转而构成的.请问能 接触到杯底的球的半径最大是 . 1 1 1 ? ? ... ? ? _____ . 7. 计算: sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90? 8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要 求每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子 的方法共有 种.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求 1 1 1 ? ? ... ? n ?1 n ? 2 2n 的最小值. 2. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段 分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 3. (本小题满分 20 分) 数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0,当 n ? 3 时有

an ?

2 n (a0 ? a1 ? ... ? an ? 2 ) . 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an ? . n ?1 10

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 , n ? 4,5,... ,则

a2011 ?

.

答案:8041. 由题意, a2 ? a1 ? 3 , a3 ? a2 ? 5 ,且 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 (n ? 4). ∴ a2n ? a2n?1 ? 3, a2n?1 ? a2n ? 5 n ? N * . ∴ a2n?1 ? a2n?1 ? 8 , ∴ a2011 ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?1 ) ? a1 ? 1005 ? 8 ? 1 ? 8041 .
k ?1 1005

?

?

2. 不等式 sin 2 x ? a cos x ? a 2 ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值范围 为 . 答案: a ? 1 或 a ? ?2 . 由题意,a cos x ? a2 ? cos2 x ? cos x ,即 cos 2 x ? ?1 ? a?cos x ? a 2 ? 0 对 ?x ? R 成立. 令 f ?t ? ? t 2 ? ?1? a ? t ? a2 (?1 ? t ? cos x ? 1).
? f ?1? ? 0, ?1 ? ?1 ? a ? ? a 2 ? 0, ? ? ?? ∴? 2 ? f ? ?1? ? 0. ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0. ? ?

解得 a ? ?2或a ? 1 . 3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件: (1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数; (2) f (3) ? 6 . 则 f (2011) ? 答案:2023066. 在(1)中,令 n ? 1 得, f ?m ? 1? ? f ?m? ? f ?1? ? m . ① .

令 m ? n ? 1得, f ?2? ? 2 f ?1? ? 1 .

② ③

令 m ? 2, n ? 1 ,并利用(2)得, 6 ? f ?3? ? f ? 2? ? f ?1? ? 2 . 由③②得, f ?1? ? 1, f ? 2? ? 3 . 代入①得, f ? m ?1? ? f ? m? ? m ?1. ∴ f (2011) ? ? [ f (k ? 1) ? f (k )] ? f (1) ? ? (k ? 1) ? 1
k ?1 k ?1 2010 2010

? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2011

?

2011 ? 2012 ? 2023066 . 2

4. 方程
? x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011

一共有 答案:4.

个解.

方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0或 ? 2 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ?1或 ? 5 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 的所有解为 x ? ?3或 ? 9 ; 方程 方程

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为 x ? ?6或 ? 14 ;

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ?10或 ? 20 ;

一般地,方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? n ? n( n ? 2) 的所有解为
x?? n(n ? 1) n(n ? 3) 或? . 2 2

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的 棱长最大等于 答案:11 厘米. 设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径, .

所以, 3a ? 20(a ? N * ) ,即 a ? ∴ a ? 11 ,即 amax ? 11 .

20 3(a ? N * ) , 3

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x ?? 2 ? x ? 2? 绕 y 轴旋转而构成的.请问能
2

接触到杯底的球的半径最大是

.

1 答案: . 2
过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,
? x 2 ? ? y ? r ?2 ? r 2 ? ? x 2 ?1 ? 2r ? x 2 ? ? 0 . 由? 2 y?x ? ?

由题意,方程 x 2 ? 1 ? 2r ? 0 没有非零实数解.
1 ∴ x 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ? . 2 1 1 1 ? ? ... ? ? _____ . sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90? 1 答案: . sin1? 1 1 sin ? ? n ? 1? ? ? n? ? ? ? sin n? sin ? n ? 1? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ?

7. 计算:

? ?

1 sin ? n ? 1? ? cos n? ? cos ? n ? 1? ? sin n? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ? 1 ? ?cot n? ? cot ? n ? 1? ?? . ? sin1? ?

原式 ?
?

k ? 45

? sin1? ? cot k ? ? cot(k ? 1)??

89

1

1 ? cot 45? ? cot 90? ? sin1? 1 ? . sin1?

8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要 求每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子 的方法共有 种. 答案:1530.

推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 an , 则 a3 ? 6 , a4 ? 18 , an?1 ? 2an ? 6?n ? 3? . 从而, an?1 ? 6 ? 2?an ? 6? ? an ? ?a3 ? 6?? 2n?3 ? 6 . ∴ a10 ? 12? 27 ? 6 ? 1530.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求 1 1 1 ? ? ... ? n ?1 n ? 2 2n 的最小值. 1 1 1 37 解:当 n ? 3 时, ? ? ? . 4 5 6 60 1 1 1 37 ? ? ... ? ? . 假设 n ? k ?k ? 3? 时, k ?1 k ? 2 2k 60 则当 n ? k ? 1 时, 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? ? ? ... ? k ?1 k ? 2 2k 37 ? . 60 37 因此,所求最小值为 . 60 2. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段 分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设开始时 的线段为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1.

? x ? ( y ? x) ? 1 ? y ? ? ? x ? (1 ? y ) ? y ? x ? ? ? ?? y ? x ? ? ?1 ? y ? ? x ?

?y?

1 2

, 1 2 ,

?y?x? ?x ? 1 2 .

如下图所示, “成功”的区域是由不等式 y ?

1 2

,y?x?

1 2

和 x?

1 2

围成的三角

1 1 形,面积为 ,而整个区域的面积为 (因为 y>x). 2 8

1? ? ? ? 1 2? 2 2? ∴ P(成功) ? ? . 1 2

1?1

?1 ? 1?
1 . 4

4

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是

3. (本小题满分 20 分) 数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0,当 n ? 3 时有
an ? 2 n (a0 ? a1 ? ...? an ? 2 ). 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an ? . n ?1 10 证法 1:

证 明 : 由 已 知 得 (n ?1)an ? 2(a0 ? a1 ? ... ? an?2 ) , 在 上 式 中 以 n ? 1 代 替 n 得 到

nan?1 ? 2(a 0 ? a 1? . .? an? 1 , . )
两式相减得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均成立. 设 bn ?
an ,则 n?2

n(n ? 3)bn?1 ? (n ?1)(n ? 2)bn ? 2(n ? 1)bn?1.
由于 n(n ? 3) ? (n ?1)(n ? 2) ? 2(n ? 1) , bn ?1 应在 bn 与 bn ?1 之间. 由于 a3 ? 1, a4 ? 故
2 , 3

1 1 1 1 n?2 n ? ,证毕. 故 b3 ? , b4 ? . 因此当 n ? 3 时,均有 bn ? [ , ] ,故 an ? (n ? 2) bn ? 5 9 9 5 9 10
证法 2: n+2 证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 10 ?n ≥ 3?. 1? 当 n = 3, 4 时, 5 2 6 a3 = 1 ≥ 10 , a4 = 3 ≥ 10 . 结论成立. 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, 2 an + 1 = n ?a0 + a1 + ? + an-1? 2 = n ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? 2 5 6 n+1 > n ?1 + 10 + 10 + ? + 10 ? ?n + 6??n-3? 2 = n ?1 + ? 20 2 n 2 + 3n + 2 = n 20 n+3 > 10 . 所以结论对 n + 1 时亦成立. n+2 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ 10 ?n ≥ 3? 成立. n+2 n 因此 an ≥ 10 > 10 ?n ≥ 3? 成立. 从而本题得证.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示) . 4. 已知 cos 4? ?

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ??

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3

为邻边的平行四边形的面积为 . 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ?N * , 则 f [ f (2011)] ? . 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ?R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. 13.如图,P 是 ? ABC 内一点. .

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2
14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .答案:-8

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

3 2 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率

m?

.答案: ?

是 4. 已知 cos 4? ?

(结果用最简分数表示) .答案:

19 145
.答案:

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5

4 5

5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3
.答案: 10 3

6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 .

1 答案: (8n ? 48) 7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围 7 是 .答案:(0,2)
8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ?N * , 则 f [ f (2011)] ? 形的斜边长是 .答案:6 .答案:4 3 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角

10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 .答案:3,14,30 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程,

1 5 得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 2 4 ? 5 ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ? ? ,1? ? 4 ?
12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ?R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1 ,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? ?b ≤ ? 5 , ? f ( ?2) ≥ 0, ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ? ?4 ≤ b ≤ 4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减

故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 . 13.如图,P 是 ? ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2 证明: (1)

1 1 1 ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC) ? 90? ? ?BAC 2 2 2

A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?
q q2 ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?

p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ?

p 2 k 2 ? 2qk ?

q2 q ? pk ? ?Q . p2 p

2011 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知 ? ? [

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( 4 2 A. 2 sin ? B. ?2sin ? C. ?2 cos ? D. 2 cos ?




2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( C. 2 B. 2 2 C.

?2

D. ?2 2

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( ) A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 4. 过椭圆 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件 )

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2
B.

A.

2 6 3

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?
5. 函数 f ( x) ? ?

4 4 2 。正确答案为 C。 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 3 3
,则该函数为( )

?1 ? 5? x ? 5 ?1
x

x?0 x?0

C. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( ) 2 2 2 2 2 2 3 正视图 A. 4+ 1 侧视图 B. 4+ 1

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

5? 2

3? 2

C. 4+

? 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( ) A.64 B.32 C.16 D.8

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 , 则动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积 为( A. 4 ) B.8 C. 16 D. 32

?

?

9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( 6 ? 2?



A. ? , 1?

?1 ?2

? ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

C. ? , 1? ?2 ?

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?
) D. 1 ? x ? 3

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( A. x ? 3 或 x ? 2 11. 函数 f ( x) ? 2sin B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)

x ? 3 cos x 的最小正周期为______ ____。 2

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____ ______. 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为

?

?

? ?



14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端 点) 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ ,D 15.设 x, y 为实数,则 _。

5 x 2 ? 4 y 2 ?10 x

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____ ________。

16. 马路上有编号为 1,2,3,?,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯, 但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___ ______种。 (用组合数符号表示) 17. 设 x, y , z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x ? y ? z ? 3 ,则 x ? y ? z ? _
3 3 3 2 2 2

_。

18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

19.

给 定 两 个 数 列

?xn ?



?yn ?

满 足 x0 ? y0 ? 1 , x n ?

xn ?1 (n ? 1) , 2 ? xn?1

2 y n?1 yn ? (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得 yn ? x jn 。 1 ? 2 y n?1

20. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 右侧 52 42

一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F ,求 a 的值。 1

2011 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知 ? ? [

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( 4 2

D



A. 2 sin ? 解答:因为 ? ? [

B. ?2sin ?

C.

?2 cos ?

D. 2 cos ?

5? 3? , ] ,所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? 4 2

? 2 c o? 。正确答案为 D。 s
2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( C ) D. 2 B. 2 2 C.

?2

D. ?2 2

解答:由题意得 2 ? a2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件

解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 过椭圆

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2
B.

C )

A.

2 6 3

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?

4 4 2 。正确答案为 C。 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 3 3
,则该函数为( A )

?1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) ? ? x ? 5 ?1

x?0 x?0

D. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 2 3 正视图 1 侧视图 1

俯视图(圆和正方形)

A. 4+

5? 2

B. 4+

3? 2

C. 4+

? 2

D. 4+ ?

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?
2

? 4?

5? 。正确答案为 A。 2

? ) ,所以该几何体的体 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( B ) A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D.8

8. 在 平 面 区 域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上 恒 有 ax ? 2by ? 2 , 则 动 点

?

?

P(a, b) 所形成平面区域的面积为( A
A. 4 B.8 C. 16 D. 32



解答:平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1)(—1, , 1)(1,—1)(1,1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有 , ,

?

?

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2
由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( C ) 6 ? 2?
C. ? , 1? ?2 ?

A. ? , 1?

?1 ?2

? ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?

解答: 问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点, 所以 m 的取值 6 ? 2?

范围为 ? , 1? 。正确答案为 C。 10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C )
2

?1 ?2

? ?

A. x ? 3 或 x ? 2

B. x ? 2 或 x ? 1

C. x ? 3 或 x ? 1

D. 1 ? x ? 3
2

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)

由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 函数 f ( x) ? 2sin

解答:最小正周期为 4 ? 。

x ? 3 cos x 的最小正周期为______4 ? ____。 2

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______. 解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3] 。 解答: a ? b ? (1 ? cos ? ) ? (sin ? ? 3) ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? )
2 2

?

?

? ?

? ?

= 5 ? 4sin(

?
6

?? )

,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端
? 点) 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90 _。 ,D

解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15.设 x, y 为实数,则
2 2
5 x ? 4 y ?10 x
2

?

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____4________。 2
2 2

解答: 5x ? 4 y ? 10x ? 4 y ? 10x ? 5x ? 0 ? 0 ? x ? 2

4( x2 ? y 2 ) ? 10x ? x2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x2 ? y 2 ? 4
16. 马路上有编号为 1,2,3,?,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,
300 但不能同时关闭相邻两只, 也不能关闭两端的路灯, 则满足条件的关灯方法共有___ C1710 _______

种。 (用组合数符号表示)
300 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。

17. 设 x, y , z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x ? y ? z ? 3 ,则 x ? y ? z ? _3 或 57_。
3 3 3 2 2 2

解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x ? y ? z ? 3
3 3 3

得到

xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?

8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x? y

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解;后两个方程组解得 ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16
x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。 解答:当 x ? 0, y ? ?( x ?1)2 ? 1, 由此可知 ymax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, ymin ? a2 ? 2a ;当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ; 当 a ? 1 ? 2, ymin ? ?a2 ? 2a 。 ---------------------------------- 17 分 19. 给 定 两 个 数 列 当 x ? 0, y ? ( x ? 1)2 ? 1, ---- 5 分

---------------------------------- 10 分

?xn ?



?yn ?

满 足 x0 ? y0 ? 1 , x n ?

xn ?1 (n ? 1) , 2 ? xn?1

yn ?

2 y n?1 (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得 yn ? x jn 。 1 ? 2 y n?1

解答:由已知得到:

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2, xn xn ?1 xn xn ?1 xn
所以

1 1 。 ? 1 ? 2n?1 ? xn ? n?1 xn 2 ?1

----------------- 5 分

又由已知, yn ? 1 ?

( yn?1 ? 1)2 y ? 1 yn?1 ? 1 2 1 1 2 ? n ?( ) ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n?1 yn y n?1 yn yn?1

由1 ?

n 1 1 1 , ? 2 ? 1? ? 22 ? yn ? y0 yn 2n ? 1 2
n
------------------- 17 分

所以取 jn ? 2 ? 1 即可。 20. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 右侧一 52 42

点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F ,求 a 的值。 1 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 25 16
x1 ? x2 ? ?
设 M (?

? ( 1 6? 2 5 x2 ? 1k 2 0 ? k2 ) 5 x

2 22 ? k 5

4得 0 ?0

0

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ? ----10 分 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 。 ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )
, 得



????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

y3 y 4? ?


256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , 整理 ? =? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? 2 9 16 ? 25k 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9(a ? x1 )(a ? x2 )

(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。--------------17 分

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ?



2.函数 f ( x) ?

x 2 ?1 x ?1

的值域为



3.设 a, b 为正实数, ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ?

1 a

1 b



4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) ,? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是



5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项 目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答)

6.在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC ? ?CDA ? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则 四面体 ABCD的外接球的半径为 .

7 . 直 线 x ? 2 y ?1 ? 0 与 抛 物 线 y2 ? 4x 交 于
?ACB ? 90? ,则点 C 的坐标为

A, B

两点, C 为抛物线上的一点,



8 . 已 知 an ? C 为 .

n 3 200

? 6

? ?

200? n

? 1 ? ? (n ? 1,2, ? ,95) ?? ? ? ? 2?

n

, 则 数 列 {a n } 中 整 数 项 的 个 数

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 9. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | ,实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (?
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a, b 的值.

b ?1 ), b?2

10 . 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) , (
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t n ? 1
(n ? N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 a n 的大小.

11. (本小题满分 20 分) 作斜率为 的直线 l 与椭圆 C :

1 3

x2 y2 ? ?1 36 4

y P O x B A

交于 A, B 两点(如图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB的面积.

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷) 10 月 16 日 9:40—12:10

二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

三、 (本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任 意正实数 r ,满足 证明: f n (r ) ?
a j ? ai ak ? a j ? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n (r ) .

n2 . 4

四、 (本题满分 50 分)设 A 是一个 3? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正 整数.称 A 中的一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数. A 中的一个 1?1 的小方格为 称 “坏格” 若它不包含于任何一个 , “好矩形” 求 . A 中“坏格”个数的最大值.

二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分) 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ? 6) ? 3, x ? Z ,0 ? x ? 7} ,则 A 的非空子集的个数为 2. 若 f ? g ( x) ? ? sin 2x , g ( x) ? tan .

x (0 ? x ? ? ) ,则 2

? 2? f? ? 2 ?? ? ? ?

.

3. 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为

1 的球,则此正四棱锥的体积是 2

.

4. 在平面直角坐标系中, 已知点 A(1, 2) 和 B(4,1) . 圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的动点 P( x, y) 与 A, B 形成 三角形,则三角形 ABP 的面积的最大值为

.

5.将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 任意分成两组, 使每组至少有一个数, 则第一组数的和与第二组数的和 相等的概率是 6. 数列满足 a 0 ? .
2011 1 1 2 ,及对于自然数 n , an?1 ? an ? an ,则 ? 的整数部分是 4 n ?0 a n ? 1



7. 四次多项式 f (x) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ?( x ) 的所有根中最大根与最小根 之差是 .
2 2

8.设 [x ] 表示不超过实数的最大整数,则在平面上,由满足 [ x] ? [ y] ? 50 的点所形成的图形的 面积是 . 二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 ? 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n2 } 是公比不 大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式. 10. 已知 F 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF F2 的面积是 3 , 1 1
2 2

求 ?F PF2 . 1 11. 设 a1 , a2 ,?, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,求证:

? n2 ? 1? . 1 1 1 (a1 ? )2 ? (a2 ? ) 2? ? ? (an ? ) 2 ? a1 a2 an n
2

12.设 n ? 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连

续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛评分参考
一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分) 1. 63 . 2.

4 2 . 9

3.

16 1 4 (7 ? 5 10) .5 . 4. .6. 3 .7. 2 5 . 8. 12 . 9 2 63

二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 ? 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n2 } 是公比不 大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式. 由条件(3)知 nan ? n2 ? c ? qn?1 ,其中 c, q ? 0 ,于是 an ?



c ? q n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . n

由条件(1)可得 c ? 2011 ,由此 an ? 因为 a2 ?

2011q n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . ………………4 分 n

2011q 2011q k ? 2 是整数,故 是整数,于是 q 只能是分数,不妨设 q ? ,其中 k 2 2 m 与 m 互素. 注意到 2011 是素数,故 m 的取值只能是 1 和 2011 , k 只能为偶数.
……………8 分

k k 2011( )2 2011? 2 m ? 3 是整数,得知 m 是整数,于是 m 的取值只能是1 且 k 是 3 同理,由 a3 ? 3 3
的倍数,从而 q ? k 是 6 的倍数. q 不大于 10, 所以 q ? 6 ,故数列 {an } 的通项公式为

2

an ?

2011? 6n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . n
2 2

………………14 分

10. 已知 F 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF F2 的面积是 3 , 1 1 求 ?F PF2 . 1 解 不妨设点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线的右支,由题设易得 F F2 ? 2 2 . ………………2 分 1

注意到 S?PF1F2 ?

1 1 6 F1 F2 ? y0 ? ? 2 2 y0 ? 3 ,解得 | y0 |? ,……………4 分 2 2 2
2 2

2 2 2 2 又由 x ? y ? 1 有 x0 ? y0 ? 1,解得 x0 ? 1+y0 =1+

6 5 = . 4 2

………………6 分

由双曲线的第二定义得 | PF1 |? e[ x0 ? (?

a2 )] ? a ? ex0 ? 1 ? 2 x0 及 c

a2 | PF2 |? e[ x0 ? )] ? ex0 ? a ? 2 x0 ? 1 . 再由余弦定理有 c

cos ?F1PF2 ?
于是

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 , 2 | PF1 || PF2 |
2 2 2 2 2 ? 2 x0 ? 1? ? 8 2 2 ? 2 x0 ? 1?

………………9 分

?1+ cos ?F PF =
1 2

2 x0

? ? ? 2 ?1+ 2 x ?? 2 x ? 1?
2 x0 ? 1 ? 2 2
0 0

? ??

?

? 5 ? 2 ? 2 ? ? 1? ? 8 2 ? ? 5 ? 1? ? 8 2 ? 6 ? 8 1 2 ? ? ? ? ? ? . 2 ? ? 5 ? 1? 8 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? ?
由此得 ?F PF2 =600 . 1 11. 设 a1 , a2 ,?, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,求证:
2 1 2 1 2 1 2 ? n ? 1? (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? . a1 a2 an n 2

………………14 分

证明

因 a1 , a2 ,?, an 为正数,由 Cauchy 不等式得

(a1 ? a2 ? ? ? an )(

1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ) ? ( a1 ? ? a2 ? ? ? ? an ? ) a1 a2 an a1 a2 an
1 1 1 ? ? ? ? ) ? n2 . a1 a 2 an 1 1 1 ? ??? ? n2 . a1 a 2 an
………………6 分

即 (a1 ? a 2 ? ? ? a n )(

又 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,所以

………………9 分

对 a1 ?

1 1 1 , a2 ? ,?, a n ? 和实数 1,1,?,1 ,由 Cauchy 不等式得 ??? ? ? a1 a2 an n

1 2 1 1 1 1 1 (a1 ? ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2(?????) (a1 ? ) 1 ? a2 ? ) 1 ? ? ? an ? ) 1]2 [ ( ] 12 ? 12 ? ?12 ? [ ? ( ? ( ? ? ? a1 a2 an a1 a2 an n

即(a1 ? [

1 2 1 1 1 1 1 ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2 ]n ? (a1 ? ? a2 ? ? ? ? an ? )2 , ( a1 a2 an a1 a2 an
………………12 分

即(a1 ? [

1 2 1 1 ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2 ]n ? (n2 ? 1)2 ,………………15 分 ( a1 a2 an

2 1 2 1 2 1 2 ? n ? 1? 所以 (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? . a1 a2 an n 2

………………18 分

12.设 n ? 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连 续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。 解:显然 A ? {55 ? 10k | 0 ? k ? n ?10, k ? Z} , B ? {66 ? 11l | 0 ? l ? n ? 11, l ? Z } , ………………6 分 为求 A ? B 的元素个数,令

55 ? 10k ? 66 ? 11l ,则 10k ? (l ? 1)11。

………………9 分

再令 k ? 11m ,则得 l ? 10m ? 1.因为 0 ? k ? n ? 10 , m 可取值 0,1, 2,? ,[ 应取值为 ?1,9,19,? ,10[ 注意到

n ? 10 ] ,此时 l 的相 11

n ? 10 ] ?1。 11

………………12 分

10[

n ? 10 n ? 10 ] ? 1 ? 10 ? ? 1 ? n ? 11 11 11

符合 l 的取值范围,舍去不合乎要求的值 ?1 ,则知集合 A ? B 的元素个数为 [

n ? 10 ] 。令 11

n ? 10 n ? 10 ] , 则 181 ? ? 182 ……………15 分 11 11 即 2001 ? n ? 2012 ,于是 n 的最大值和最小值分别为 2011 和 2001. ……………18 分 181 ? [

2011 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 2011.5.22 第一试 一﹑填空题(每小题 8 分,共 80 分) 1.已知集合 M={2,0,11},若 A ? M ,且 A 的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集
?

合 A 的个数为 5

.

2. 设 a 、 b 都 是 正 实 数 , A ?

a?b 2 . 若 A+B=a-b, 则 a/b 的 值 是 ,B ? 1 1 2 ? a b

3? 2 3
3.满足

. .

1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? 2 的最大负角 ? 的弧度数为 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 2

4.设斜率为 2

x2 y 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点 P、Q,若点 P、Q 2 a b

在轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是 2

2

.

5.如图所示的数阵中,每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数
? a11a12 a13 ? ? ? 列. ? a21a22 a23 ? ?a a a ? ? 31 32 33 ?

若 a22 ? 2 ,则所有这 9 个数的和等于 18

.
B

6.如图,矩形 OABC 的四个顶点的坐标依次为(0,0)、( 2? ,0)、 ( 2? ,2)、(0,2),记 BC 边与函数 y ? 1 ? cos x(0 ? x ? 2? ) 的图像
C

围成的区域(图中阴影部分)为 ? .若向矩形 OABC 内任意投一 点 M,则点 M 落在区域内 ? 的概率是 1/2 . O

?
A

O q ?1 1 ? p ( x ? p ), 7.设函数 f ( x) ? ? 其中 p、q 互质(素),且 p ? 2 .则满足 x ? [0,1] ,且 f ( x ) ? ? 5 ?0( x ? q ), ? p ?

的 x 值的个数是 5

. 17 .

8.已知 p、q 都是质数,且 7p+q 和 2q+11 也都是质数.则 pq ? q p 的值是

9.在侧棱长和底面边长都为 4 的正四棱锥 P-ABCD 的表面上与顶点 P 的距离为 3 的动 点所形成的所有曲线段的长度之和为 6? .

10.现代社会对破译密码的要求越来越高.在密码学中,直接可以看到的内容为明码, 对 明 码 进 行 某 种 处 理 后 得 到 的 内 容 为 密 码 . 有 一 种 密 码 将 英 文 的 26 个 字 母 a,b,c, ?,z(不论大小写)依次对应 1,2,3,?,26 这 26 个自然数,见下表: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x 给 出 明 码 对 应 的 序 号 x 和 密 码 对 应 的 序 号 y 的 变 换 公 式 :
? x ?1 ? 2 , x为奇数,且1 ? x ? 26 5 ?1 ? ? 3 ,即 e y?? .利用它可将明码转换成密码,如 5 ? 2 ? x ? 13, x为偶数,且1 ? x ? 26 ?2 ?
8 ? 13 ? 17 ,即 h 变成了 q. 2 按上述公式,若将某明码译成的密码是 shxc,那么,原来的明码是 love

y

z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

变成了 c, 8 ?

.

第二试 二﹑解答题: 1.(本题满分 20 分)
x ? 设函数 f ( x) ? cos x cos( ?? ) 1 ? cos x ? R , 0 ? ? ? .已知当 x ? 时, f ( x) 取得的 ? , ? 2 3

最大值.

2? ) 3 3 ? 1 1 2) 设 g ( x) ? f ( x ) ,求函数 g ( x) 在 [0, ] 上的最小值.( [? , ] ) 2 3 4 2

1) 求 ? 的值;(

2.设 P 为直线 y ? x ? 2 上的动点,过点 P 作抛物线 y ?

1 2 x 的切线,切点分别为 A,B. 2

1)求证:直线 AB 过定点;(1,2) 2)求 ?PAB 面积 S 的最小值,以及取得最小值时 P 点的坐标.

3.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 E,且 ?ABD ? 60? ,AE=AD.延 长 AB﹑DC 交于点 F,求证:点 B 为 ?CEF 的外心.
D C E A B F

4.如图 4,M 为 ?ABC 的中线 AD 的中点,过点 M 的直线分别交两边 AB﹑AC 于点 P﹑Q, ??? ? ??? ???? ? ??? ? 设 AP ? xAB, AQ ? yAC ,记 y ? f ( x) . 1)求函数 y ? f ( x) 的表达式;( y ?
x (0 ? x ? 1) ) 4x ?1

1 2) 设 g ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 2a, x ?[0,1] . 若 对 任 意 x1 ? [ , 1 ] 总 存 在 x2 ?[0,1] , 使 得 , 3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

A

Q P B M C

(?1)[ 5.设正整数 n ? 4 ,求证: 0 ? 4

4]

(?1)[ ? 5

5]

(?1)[ ? ??? ? n

n]

? 1其中,[ x ]表示不超过

实数 x 的最大整数.

2011 年全国高中数学联赛山东省预赛试题

一、选择题(每小题 6 分,共 60 分)
1.已知集合

M ? {x |?( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ? 0,?x ? R?},??? N ? {x |?( x ? 2)( x ? 4)( x ? 6) ? 0,?x ? R }. ???
M ?N ?(
(A) (2,3) ) . (B) (3,?4) (C) (4,5) (D) (5,?6) ) . (D) 6 ) .

2.已知 z ? ( 3 ? 3i)n , 若 z 为实数,则最小的正整数 n 的值为( (A) 3 (B) 4 (C) 5

a 3.已知 p: , b, c, d 成等比数列,q: ad ? bc , 则 p 是 q 的(
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分且必要条件

(D) 既不充分也不必要条件 ) . (D) (1,?? ?) ) .

4.函数 f ( x) ? log0.3 ( x2 ? x ? 2) 的单调递增区间是( (A) (??, ?2) (B) (??,1) (C) (-2,1)

5.已知 x, y 均为正实数,则

x y 的最大值为( ? 2x ? y x ? 2 y
(C) 4

(A) 2

(B)

2 3

(D)

4 3

6.直线 y=5 与 y ? ?1 在区间 ?0,

? ? 4? ? ? 上截曲线 y ? m sin 2 x ? n (m ? 0, n ? 0) 所得的弦 ? ??
) .

长相等且不为零,则下列描述正确的是(

3 5 (A) m ? , n= 2 2 3 5 (C) m ? , n= 2 2

(B) m ? 3, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 2

7.有 6 名同学咨询成绩.老师说:甲不是 6 人中成绩最好的,乙不是 6 人中成绩最差的, 而且 6 人的成绩各不相同.那么他们 6 人的成绩不同的可能排序共有 ( ) . (A) 120 种 (B) 216 种 (C) 384 种 (D) 504 种 ) .

8.若点 P 在曲线 y ? ? x2 ? 1上,点 Q 在曲线 x ? 1 ? y 2 上,则 PQ 的最小值是( (A) 3 2 (B)

3 2 2

(C)

3 2 4

(D)

3 2 8

9.已知函数 f ( x) ? ( 则 f (lg lg 2) 的值是( (A) 8

1 1 ? ) x 2 ? bx ? 6 ( a , b 为常数,a ? 1 ),且 f (lglog 1000) 8 ? , 8 a ?1 2
x

) . (B) 4 (C) ?4 (D) ?8

10.在等差数列 ?an ? 中,若 时, n ? ( (A) 1 ).

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取最小正值 a10
(C) 19 (D) 20

(B) 10

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 11. 已知 f ( x) ? cos 2 x ? p | cos x | ? p , x ? R . f ( x ) 的最大值为 h( p ) , h( p ) 的 记 则 表达式为 . 则x? .

12.已知 sin( x ? sin x) ? cos( x ? cos x) , x ??0, ? ?,

2 13 . 设 A, B 为 抛 物线 y ? 2 px( p ? 0) 上 相 异两 点 ,则 OA ? OB ? AB 的 最 小 值为

??? ??? 2 ? ?

??? 2 ?

___________________. 14 . 已 知 ?ABC 中 , G 是 重 心 , 三 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 5 6 G A 4 0b G? 3 5 c G C ? B =__________. a ? B ? ,则 0
三、解答题(本大题共 5 题,共 66 分) 15.(12 分)不等式

? 2 2 sin 2? ? (2 2 ? 2a) sin(? ? ) ? ? ?3 ? 2a 4 cos(? ? ? ) 4
对 ? ? ?0,

? ?? 恒成立.求实数 a 的取值范围. ? 2? ?
D1 F A1 B1 G C1

16. (12 分)已知在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, O, E , F , G 分 1 别为 BD, BB1 , A D1 , D1C1 的中点,且 AB ? 1 . 求四面体 OEFG 的体积. 1

E D A O B C

17. (12 分) 在平面直角坐标系中, 已知圆 C1 与圆 C2 相交于点 P ,

Q , 点 P 的坐标为 ? 3, 2 ? , 两圆半径的乘积为
切,求直线 l 的方程.

13 .若圆 C1 和 C2 均与直线 l : y ? kx 及 x 轴相 2

18. (15 分)甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一 人的得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏, 比赛随之结束; 同时规定比赛次数最多不超过 20 次, 即经 20 次比赛, 得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局. 已知每次比赛甲获胜的概率为 p ( 0 ? p ? 1 ) 乙获胜的概率为 q ? 1 ? p .假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ? 次结束, , 求 ? 的期望 E? 的变化范围. 19. (15 分) 集合 M ? {1, 2, ? , 2011}, 若 M 满足: 其任意三个元素 a ,?b ,?c , 均满足 ab ? c , 则称 M 具有性质 P , 为方便起见, 简记 M ? P . 具有性质 P 的所含元素最多的集合称为最大集. 试 问具有性质 P 的最大集共有多少个?并给出证明.

解 答
1.B. 提示: M ? (??,1) ? (3,5) , N ? (2, 4) ? (6, ??) .所以 M ? N ? (3, 4) .

2.A. 提示: z ? ( 3 ? 3i) n ? (?2 3) n (?

1 3 n ? i) ,n ? 3 是使 z 为实数的最小的正整数. 2 2

3.A. 提示:充分性显然成立,必要性不成立.例: a ? 1,?b ? 2,?c ? 5,?d ? 10 . 4.A. 提示:由对数函数的性质知, x ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? ?2 .当 x ? ?2 时, f ( x )
2

为增函数;当 x ? 1 时, f ( x ) 为减函数. 5.B. 解法一 令 s ? 2 x ? y, t ? x ? 2 y ,则

1 x ? (2s ? t ), 3
所以

1 y ? (2t ? s ). 3

x y 4 1 t s 2 ? ? ? ( ? )? . 2x ? y x ? 2 y 3 3 s t 3
解法二 令 t ?

y , 则 t ? (0, ? ?) , 此时 x

x y 1 t ? ? ? ? f (t ) , 2 x ? y x ? 2 y t ? 2 2t ? 1
即有

f '(t ) ? ?

3(t 2 ? 1) . (t ? 2)2 (2t ? 1)2

' ' 显然当 t ? 1 时, f (t ) ? 0 ;当 t ? 1 时, f (t ) ? 0 ,所以函数 f (t ) 在 t ? 1 , 即 x ? y 时取得

最大值 f (1) ?

2 . 3

6.D. 提示:函数 y1 ? m sin

?x
2

, x ? ?0,

? 4? ? ? 的图象只有被 y ? a 及 ? y ? ?a,?0 ? a ? m 这 ? ??

样的两直线所截,截得的弦长才能相等,且不为零.所以截取函数

y ? m sin

?x

? 4? ? ? n, x ? ?0, ? 2 ? ??

的 图 象 所 得 弦 长 相 等 且 不 为 零 的 两 直 线 应 为 y ? n ? a,? y ? n ? a,? 0 ? a ? m , 即 有

n ? a ?5 , ? ? ?a ?. ? n ? 2 , a ? 3 .进而 m ? 3 . n 1 解得 ?
7.D. 解法一 以 A 记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集, 以 B 记乙成绩排名为最后 的所有可能的排序之集,则 A ? B ? 5!, A ? B ? 4! . 甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为

A ? B ? A ? B ? A ? B ? 216 .
按照老师所述,这6位同学成绩可能的排序数为 6!? 216 ? 504 . 解法二 以乙的成绩不在最后为前提,考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序.
5 (1)甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为 A5 ? 120 ;

1 1 4 (2)甲的成绩不在最后,又不在第一的所有可能排序数为 C4 ? C4 ? A4 ? 384 .

所以甲不在首,乙不在尾的所有可能排序数为 120 ? 384 ? 504 . 8.C. 提示: 两抛物线 y ? ? x2 ? 1, x ? 1 ? y 2 关于直线 y ? ? x 对 称. 所求 PQ 的最小值为抛物线 y ? ? x ? 1上的点到直线 y ? ? x 距离的
2

y o x

最小值的两倍.设 P( x, ? x ? 1) 为 y ? ? x ? 1上任意点, 则
2 2

d?

| x ? x2 ?1| 2

?

x2 ? x ?1 2

,

d min ?
9.B. 提示:由已知可得

3 2 3 2 , PQ min ? . 8 4

f (lg log8 1000) ? f (lg


3 ) ? f (? lg lg 2) ? 8. 3lg 2

1 1 ax 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ?? x ? . ?x x x a ?1 2 1 ? a 2 1? a 2 a ?1 2
令 F ( x) ? f ( x) ? 6 ,则有 F (? x) ? ? F ( x). 从而有

f (? lg lg 2) ? F (-lg lg 2) ? 6 ? -F (lg lg 2) ? 6=8.
即知

F (lg lg 2) ? ?2,

f (lg lg 2) ? F (lg lg 2) ? 6 ? 4.

10.C. 提示:设该等差数列的公差为 d .显然 d ? 0 .由

a11 ? ?1 ,知 a10 ? 0, a1 ?0, 且 1 a10

a11 ? a10 ? 0.因此

a1 ? a20 ? 20 ? 10(a10 ? a11 ) ? 0, 2 a ?a S19 ? 1 19 ? 19 ? 19a10 ? 0. 2 S 20 ?
由 a11 ? a10 ? 0, 知 2a1 ? 19d ? 0 .从而有

S19 ? S1 ? 19a1 ?

19 ?18 d ? a1 2 ? 18a1 ? 9 ?19d ? 9(2a1 ? 19d ) ? 0.

所以 n ? 19 .

11. ( p) ? ? h

? p ? 1, p ? ?2, 2 cos 提示: 2 x ? 2cos x ? 1 , 令 cos x ? u , 0 ? u ? 1 且 则 ?2 p ? 1, p ? ?2.
f ( x) ? 2u 2 ? pu ? p ?1 ? F (u) .

抛物线 y ? F (u ) 顶点的横坐标为 ?

p ,所以 4

p 1 ? ? F (1), ? 4 ? 2 , ? h( p ) ? ? ? F (0), ? p ? 1 . ? ? 4 2
即 h( p) ? ?

? p ? 1, p ? ?2, ?2 p ? 1, p ? ?2.

12.

? . 提示:原方程等价于: 4

cos( ? x ? sin x) ? cos( x ? cos x).. 2
所以

?

x ? cos x ? 2k? ?


?
2

? x ? sin x, k ? z, ??? (1)

x ? cos x ? 2k? ? ( ? x ? sin x),k ? z, ??? (2) 2
由(1)得:

?

2 x ? sin x ? cos x ? 2k? ?

?
2



且函数 f ( x) ? 2 x ? sin x ? cos x 在 ?0, ? ? 上为增函数.所以

?1 ? f (0) ? 2k? ?
由此得 k ? 0 .所以 2 x ? sin x ? cos x ? 令 g ( x) ? 2 x ? sin x ? cos x ? 当x?

?
2

? f (? ) ? 2? ? 1 .

?
2



?
2

, 易知 g ( x) 在 ?0, ? ? 上单调递增, 且当 x ?

?
4

时,g ( x) ? 0 ;

?
4

时, g ( x) ? 0 ,因此当且仅当 x ?

?
4

时, g ( x) ? 0 .

由(2)得: sin x ? cos x ? 无解.

?
2

? 2k? .因为 1 ?

?
2

? 2k? ? 2 ,故 k 无整数解,即此方程

综上所述, 原方程的解为 x ?

?
4



13. ?4 p 2 . 解法一 设 A( xA , yA ), B( xB , yB ) ,则

??? ??? 2 ? ? OA ? OB ? ( x A ? xB ) 2 ? ( y A ? yB )2, ??? 2 ? AB ? ( xA ? xB ) 2 ? ( y A ? yB ) 2, ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? OA ? OB ? AB ? 4( xA ? xB ? y A ? yB ).
设直线 AB 和 x 轴交于点 P (a, 0) .若直线 AB 的斜率存在,设为 m ,则直线 AB 的方程为

y ? m( x ? a) ,将其代入抛物线方程得
m 2 x 2 ? 2 ? am 2 ? p ? x ? m 2 a 2 ? 0 .
由二元一次方程根与系数的关系得 xA xB ? a2 , 由此得

yA yB ? m2 ( xA ? a)( xB ? a) ? ?2ap .
所以

??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? OA ? OB ? AB ? 4( xA ? xB ? y A ? yB ) ? 4[(a ? p)2 ? p 2 ] ? ?4 p 2 .
当直线 AB 的斜率不存在时,有 xA ? xB ? a, yA ? ? yB ? 2ap .所以仍有

??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? OA ? OB ? AB ? 4( xA ? xB ? y A ? yB ) ? 4[(a ? p)2 ? p 2 ] ? ?4 p 2 .
显然,当且仅当 a ? p 时,即直线 AB 的斜率不存在时等号成立, OA ? OB ? AB 有最 小值 ?4 p .
2

??? ??? 2 ? ?

??? 2 ?

解法二 设 A(

2 yA y2 , y A ), B( B , yB ) ,则 2p 2p

2 ??? ??? 2 ? ? y 2 ? yB 2 OA ? OB ? ( A ) ? ( y A ? yB ) 2 , 2p 2 2 ??? 2 ? y ? yB 2 AB ? ( A ) ? ( y A ? y B ) 2. 2p

所以

??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? OA ? OB ? AB
2 2 y A ? yB ? y A ? yB ) 4 p2 . y A ? yB ? 4[( ? p)2 ? p 2 ] 2p

? 4(

? ?4 p 2
当 yA yB ? ?2 p2 时,
?

??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? OA ? OB ? AB 取最小值 ?4 p 2 .

14. 60 . 提示:因为 GA ? GB ? GC ? 0 ,所以

??? ??? ??? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? 40bGA ? 40bGB ? 40bGC ? 0 .
所以

??? ? ??? ? ??? ? (56aGA ? 40b)?GA ? (35c ? 40b)?GC ? 0 .
因为 GA,?GC 不共线,所以有

??? ??? ? ?

7a ? 5b ? 0,??7c ? 8b ? 0 .
设 a ? 5k ,? 则 b ? 7k ,??c ? 8k ,由余弦定理可得

cos B ?
所以 ?B ? 60 .
?

25k 2 ? 64k 2 ? 49k 2 1 ? . 2 ? 5k ? 8k 2

15.设

x ? sin ? ? cos ? ,则有

? ? 2 sin 2? ? x 2 ? 1 , sin(? ? ) ? cos(? ? ) ? x , x ? ?1, 2 ? . ? ? 4 4 2

原不等式化为:

x 2 ? 1 ? (2 2 ? 2a)

2 2 2 x? ? ?3 ? 2a . 2 2 x 2



x 2 ? 1 ? (2 ? a) x ?
整理得

4 ? 3 ? 2a ? 0 , x

(2 ? x)a ? 2 x ? x 2 ?

4 ? 2x 2? x ? x(2 ? x) ? 2 ? . x x 2 . x

因为 x ? ?1, 2 ? , 2 ? x ? 0 ,即得 a ? x ?

?

?

令 f ( x) ? x ?

2 , x

则函数 f ( x ) 在 x ? ?1, 2 ? 上单调递减,所以 f ( x ) 在 x ? ?1, 2 ? 上的

?

?

?

?

最大值为 f (1) ? 3 .即知 a 的取值范围为 a ? 3 .

16. 连结 B1D1 交 FG 于 H , 连结 A1C1 , BD1 ?C1 则 1 A1

. 因为 F , G
D1 F A1 H B1 G C1

分别为 A1 D1, D1C1 的中点,所以 FG ??A1C1 ,因此 FG ? B1D1 .又因为

BB1 ? 面 A1B1C1D1 , FG 在平面 A1B1C1D1 内,所以 BB1 ? FG .
E

由此得 FG ? 面 BB1D1D .因为 FH ? GH ,所以
A

D O B

C

VO ? EFG ? VF ?OEH ? VG ?OEH ? 2VF ?OEH ?
在梯形 OBB1H 中

2 SOEH ? FH . 3

S?OEH ? S梯形OBB1H ? S?EB1H ? S?OBE ?
因此四面体 OEFG 的体积为

5 2 2 3 2 5 2 ? ? ? . 8 8 16 16

1 5 2 2 5 VO ? EFG ? 2 ? ? ? ? . 3 16 4 48
17. 由题意知, O, C1 , C2 共线. 设圆 C1 与圆 C2 的半径分别为 r , r2 ,直线 C1C2 的斜率为 1

tan ? ? 0 .令 m ? cot ? , 则圆 C1 与圆 C2 的圆心分别为 C1 (mr , r ) ,C2 (mr2 , r2 ) , 两圆的方程分 1 1
别为

( x ? mr1 )2 ? ( y ? r1 )2 ? r12 , ( x ? mr2 )2 ? ( y ? r2 )2 ? r22.
点 P(3, 2) 是两圆的公共点,所以 y C2 C1 O x

(3 ? mr1 )2 ? (2 ? r1 ) 2 ? r12, (3 ? mr2 )2 ? (2 ? r2 )2 ? r22.
由此可知 r , r2 是方程 1

m2 r 2 ? (6m ? 4)r ? 13 ? 0
的两个根,即有 r1r2 ?

13 , m ? 2 .从而知直线 l 的方程为 m2 2 tan ? y ? tan 2? ? x ? x ? 2 2x . 1 ? tan 2 ?

18. 以 p(? ? k ) 记比赛经 k 次结束的概率.若 k 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数, 因而 有 p(? ? k ) ? 0 . 考虑头两次比赛的结果: (1)甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为 p ? q ;
2 2

(2)甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为 2 pq . 比赛经 k 次结束, k 必为偶数,则 1,2 两次,3,4 两次,??, k ? 3,?k ? 2 两次均未分胜负. 若 k ? 20 ,则第 k ? 1,?k 两为有胜负的两次,从而有

p(? ? k ) ? (2 pq) 2 ( p 2 ? q 2 ) .
若 k ? 20 ,比赛必须结束, 所以 综上所述

k

?1

p(? ? 20) ? (2 pq)9 .

E? ? ( p 2 ? q 2 )? 2i(2 pq)i ?1 ? 20(2 pq)9.
i ?1

9

2 2 2 2 由 p ? q ? 1,知 p ? q ? 1 ? 2 pq .令 u ? 2 pq ,则 p ? q ? 1 ? u ,所以

E? ? (1 ? u )? 2iu i ?1 ? 20u 9 .
i ?1

9

令s ?

? 2iu
i ?1

9

i ?1

,



us ? ? 2iu i ? ? 2(i ? 1)u i ?1 ? ? 2(i ? 1)u i ?1 ,
i ?1 9 i?2 i ?1

9

10

10

(1 ? u ) s ? ? 2u i ?1 ? 18u 9 ?
i ?1

2(1 ? u ) ? 18u 9 , 1? u
9

E? ? (1 ? u ) s ? 20u 9 2 ? [1 ? u 9 ? 9u 9 (1 ? u ) ? 10u 9 (1 ? u )] 1? u 2(1 ? u10 ) ? . 1? u 1 1 8 因 0 ? u ? ,所以有 2 ? E? ? 4 ? ( ) . 2 2
19. 令 A ? {2,?3,?? , 44} , B ? {45,?46,?? ,?2011} ? {1} . 对任一 M ? P ,令
M

A

? M ? A,???M

B

? M ? B. ?

显然,集合 B ? P. 设最大集元素的个数为 n0 ,则 n0 ?| B |? 1968 . 若 M ? P ,设 M B 中除1之外的最小元为 45 ? p , 0 ? p ? 42 . 集合 A 中与 45+p 的乘积大于 2011 的元素个数记为 q ,则

q ? 44 ? ?
结论 1 当 p ? 4 时,有 q ? p . 事实上,若有 p ? q ? 45 ?

2011 ? 2011 ? ? 45 ? . 45 ? p ? 45 ? p ? ?

2011 45 ? p

,即

45 p ? p ? 45(45 ? p) ? 2011 ,
则可解得 p ? 3 . 不难验证,当 0 ? p ? 3 时,均有 p ? q .令

2

2 2 M A ? M 1 ? M A ,且 M 1 ? M A ? ? , A A

这里

M 1 ? ?k k ? 44 ? q, k ? M A ? , A
2 M A ? ?k k ? 44 ? q, k ? M A ? .

设 M A ? a1 , a2 , ? , at ? ,且 a1 ? a2 ? ? ? at . 结论 2 若 M ? P 是最大集,则 p ? 3 . 事 实 上 , 否 则 的 话 , p ? 4 , 由 结 论 1 , 知 q ? p , 因 为 ai ( 4 5 p ) 2 0 1 1 所 以 , ? ?

1

?

?

ai (45 ? p) ? M B ? (i ? 1,?2,??, t ) .因此

?? 45 ? p ? a1 ,?? 45 ? p ? a2 ,??? ? 45 ? p ? at ? ? M B ? ? .
容易求得: M A ? t , M A ? q , M B ? (1968 ? p ) ? t .
1 2 1 2

所以

M ? M A ? M A ? M B ? t ? q ? (1968 ? p ) ? t ? 1968 ? n0 ,
这与 M 为最大集矛盾. 结论 3 若 M ? P 是最大集,则 M A ? t ? 1 .假定 t ? 2 . (1) 当 p ? q ? 0 时, 由结论 2 的证明可知
1

?45a1 ,?45a2 , ? , 45at ? ? M B ? ? .
因为

45at ? 46at ?1 ? 45(at ? at ?1 ) ? at ?1 ? 45 ? at ?1 ? 0 ,


45at ?1 ? 46at ?1 ? 45at ? 2011.
由此知 46 和 46at ?1 中至少有一个不属于 M B ,所以

M ? t ? 1968 ? (t ? 1) ? 1967 ? n0 ;
(2)当 1 ? p ? q ? 3 时, 若 M A ? ? ,同理可得
2

M ? t ? (1968 ? p ) ? t ? 1967 ? n0 ;

若有 b ? M A ,则 44 ? q ? b ? 44 , 则必有 a1b ? 45 ? p ,所以 a1b ? M B ,同理可得

2

M ? t ? q ? (1968 ? p ) ? (t ? 1) ? 1967 ? n0 .
综合(1)(2) , ,以及结论 2 知, t ? 1 . 结论 4 若 M ? P 是最大集,则 M A ? 1 . 事实上, 若 M A ? 1 ,任取其中两个数 a ,?b ,由结论 3 知, 其中必有一数, 设为 b ? M A , 从而 ab ? M B , a(45 ? p) ? M B ,则
2

M ? 1 ? q ? (1968 ? p ) ? 2 ? 1967 ? n0 .
所以 M A ? 1 .由此可知,若 M ? P 是最大集,只有下述三种可能: (1) M A ? ? ,?M B ? B (2) M A ? 44 ,?M B ? B \ 45

? ?

? ?

(3) M A ? 44 ,?M B ? B \ 44 ? 45 注:1. A ? cardA; 2. A \ B ? x x ? A且x ? B .

? ?

?

?

?

?

2011 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分) 1、 2011 是这样的一个四位数,它的各位数字之和为 4 ;像这样各位数字之和为 4 的四位数
总共有 个. 20 . 答案: 解:这种四位数 x1 x2 x3 x4 的个数,就是不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 4 满足条件 x1 ? 1 ,

x2 , x3 , x4 ? 0 的整解的个数;即 y1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 3 的非负整解个数,其中 y1 ? x1 ?1 ,易知这
4?1 3 种解有 C3?4?1 ? C6 ? 20 个,即总共有 20 个这样的四位数.

2、设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对于其中任意三个连续项 an?1 , an , an?1 ,都有:

an ?

(n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ?1 .则通项 an ? 2n

.答案: 3 ?

2 . n

解:由条件得, 2nan ? (n ?1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ,所以,

(n ? 1)(an?1 ? an ) ? (n ?1)(an ? an?1 ) ,故
an?1 ? an ?

an ?1 ? an n ? 1 ,而 a2 ? a1 ? 1 ; ? an ? an ?1 n ? 1

an?1 ? an an ? an?1 a ?a n ?1 n ? 2 n ? 3 1 ? ??? 3 2 ? (a2 ? a1 ) ? ? ? ? ?? ? 1 an ? an?1 an?1 ? an?2 a2 ? a1 n ?1 n n ?1 3

?

2 2 1 1 ;于是 an ? an ?1 ? ? 2( ? ); n(n ? 1) n ?1 n n(n ? 1)
1 n 2 . n

由此得, an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(1 ? ) ? 1 ? 3 ?

3、 以抛物线 y ? x2 上的一点 M ?1,1? 为直角顶点, 作抛物线的两个内接直角三角形 ?MAB 与 ?MCD ,则线段 AB 与 CD 的交点 E 的坐标为
解:设 A( x1 , x ), B( x2 , x ) ,则 kMA
2 1 2 2

.答案: (?1, 2) .

2 x12 ? 1 x2 ? 1 ? ? x1 ? 1, kMB ? ? x2 ? 1 , x1 ? 1 x2 ? 1

k AB ?

2 x12 ? x2 ? x1 ? x2 ,直线 AB 方程为 y ? x12 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,即 x1 ? x2

y ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ,因为 MA ? MB ,则 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ?1 ,即 ? x1 x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ,
代人方程得 y ? 2 ? ( x1 ? x2 )( x ? 1) ,于是点 (?1, 2) 在直线 AB 上;
2 2 同理,若设 C( x3 , x3 ), D( x4 , x4 ) ,则 CD 方程为 y ? 2 ? ( x3 ? x4 )( x ? 1) ,即点 (?1, 2) 也在直线

CD 上,因此交点 E 的坐标为 E (?1, 2) .
4、设 x, y, z ? R , x ? y ? z ? 1 ,则函数 f ( x, y, z) ? xy z 的最大值是
2 3 ?



答案:

1 . 432

解:由 1 ? x ? y ? z ? x ?
6

y y z z z y y z z z ? ? ? ? ? 6 6 x ? ? ? ? ? ,所以, 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3

1 1 y z 1 1 ?1? ,当 x ? ? ? ,即 xy 2 z 3 ? ? ? ,即 xy 2 z 3 ? 4 3 ? 2 ?3 432 2 3 6 4 ? 27 ?6? 1 1 1 x ? , y ? , z ? 时取得等号. 6 3 2
5、 sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ?
? ? ? ?

.答案:

1 . 16

cos 6? sin 6? cos 48? cos 24? cos12? 解: sin 6 cos 48 cos 24 cos12 ? cos 6?
? ? ? ?

?

sin12? cos12? cos 24? cos 48? sin 24? cos 24? cos 48? sin 48? cos 48? ? ? 2cos 6? 4cos 6? 8cos 6?

?

sin 96? 1 ? . ? 16 cos 6 16
6、满足 x2 ? 7 y 2 ? 2011的一组正整数 ( x, y) ? .答案: (38,9) .

解:由于 2011 是 4 N ? 3 形状的数,所以 y 必为奇数,而 x 为偶数, 设 x ? 2 m ,

y ? 2n ? 1 ,代人得 4m2 ? 28n(n ? 1) ? 2004 ,即 m2 ? 7n(n ? 1) ? 501 ??①.
而 n(n ? 1) 为偶数,则 m 为奇数,设 m ? 2k ? 1 ,则 m ? 4k (k ? 1) ? 1 ,
2

2

n(n ? 1) n(n ? 1) ? 125 ??②,则 为奇数,且 n, n ? 1 中恰有一个是 4 的 4 4 n(n ? 1) ? 7 r (4r ? 1) 为奇数,且 7r (4r ? 1) ? 125 ,只有 倍数,当 n ? 4r ,为使 7 ? 4
由①得, k (k ? 1) ? 7 ?

r ? 1 ,②成为 k (k ? 1) ? 35 ? 125 ,即 k (k ? 1) ? 90 ,于是 n ? 4, k ? 9, x ? 38, y ? 9 ;
若 n ? 1 ? 4r ,为使 7 ?

n(n ? 1) ? 7 r (4 r ?1) 为奇数,且 7r (4r ? 1) ? 125 ,只有 r ? 1 , 4

②成为 k (k ? 1) ? 21 ? 125 ,即 k (k ? 1) ? 104 ,它无整解; 于是 ( x, y ) ? (38,9) 是唯一解: 38 ? 7 ? 9 ? 2011 .
2 2

(另外,也可由 x 为偶数出发,使 2011 ? x ? 2009 ? ( x ? 2) ? 7 ? 287 ? ( x ? 2) 为 7 的倍数,
2 2 2

那么 x ? 2 是 7 的倍数,故 x 是 7 k ? 3 形状的偶数,依次取 k ? 1,3,5 ,检验相应的六个数即可. )
2

7、正三棱锥 D ? ABC 的底面边长为 4 ,侧棱长为 8 ,过点 A 作与侧棱 DB, DC 都相交的截面

?AEF ,那么, ?AEF 周长的最小值是
解 1:作三棱锥侧面展开图,当 A, E, F , A1 共 线且 EF ∥ BC 时, ?AEF 周长最小,于是 等腰 ?DEF ? ?AEB , AE ? AB ? 4 ,

.答案: 11 .
D
F

D
F

A1

BE AB 1 ? ? ,即 BE ? 2 , DE ? 6 , AB DA 2 EF DE 6 3 ? ? ? ,所以 EF ? 3 , BC DB 8 4

E

C B A

E

C B

A

由 A1F ? AE ? 4 ,则 AA1 ? AE ? EF ? FA1 ? 11. 解 2:作三棱锥侧面展开图,易知当 A, E, F , A1 共线时, ?AEF 周长最小,设 ?ADB ? ? ,则

cos ? ?

7 82 ? 82 ? 42 7 , ? . ? cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 128 2 ?8?8 8 7 ? 121, ? AA1 ? 11. 128
2011 n ?1

? AA12 ? 82 ? 82 ? 2 ? 8 ? 8 ?

8 、用 S (n) 表示正整数 n 的各位数字之和,则 ? S (n) ?

.答案: 28072 .

解:添加自然数 0 ,这样并不改变问题性质;先考虑由 0 到 999 这一千个数,将它们全部用三 位数表示,得到集 M ? ?000,001,?,999? ,易知对于每个 a ??0,1,?,9? ,首位为 a 的“三位 数 ” 恰 有 100 个 : a0 0 a 0 1 , a ,, 9 9 样 , 所 有 三 位 数 的 首 位 数 字 和 为 这 , ?

100 ? (0 ? 1 ? ? ? 9) ? 45 ?100 ;再将 M 中的每个数 abc 的前两位数字互换,成为 bac ,得到的
一千个数的集合仍是 M ,又将 M 中的每个数 abc 的首末两位数字互换,成为 cba ,得到的一千 个数的集合也是 M ,由此知,

? S (n) ? ? S (n) ? 300 ? 45 .
n ?1 n ?0

999

999

今考虑四位数:在 1000,1001,?,1999 中,首位(千位)上,共有一千个 1 ,而在

0000,0001,?,0999 中,首位(千位)上,共有一千个 0 ,因此,
1999 n ?1

? S (n) ? ? S (n) ? 1000 ? 2? S (n) ? 1000 ? 600 ? 45 ? 28000 ;
n ?0 n ?0 2011 n ? 2000

1999

999

其次,易算出,

?

S (n) ? 72 。所以, ? S (n) ? ? S (n) ? 28072 .
n ?1 n ?0

2011

2011

二、解答题(共 3 题,合计 70 分)

9 、 20 分) ( 、已知 A ? B ? C ? ? ,


sin A ? sin B ? sin C ?1, cos A ? cos B ? cos C

cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2C 的值. cos A ? cos B ? cos C sin A ? sin B ? sin C sin cos A ? cos Bcos ? ? 1 ,即 sin A ?sin B ? C ? 解:由 cos A ? cos B ? cos C

C ,平方得

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 2(sin A sin B ? sin B sin C ? sin C sin A) ? cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? 2(cos A cos B ? cos B cos C ? cos C cos A) (10 分)

所以 (cos2 A ? sin 2 A) ? (cos2 B ? sin 2 B) ? (cos2 C ? sin 2 C)

? ?2[cos( A ? B) ? cos( B ? C ) ? cos(C ? A)] (15 分)
因为 A ? B ? C ? ? , 即 cos 2 A ? cos 2B ? cos 2C ? 2(cos A ? cos B ? cos C ) ,所以

cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2C ? 2. (20 分) cos A ? cos B ? cos C
10 、 25 分)如图, ?ABC 的内心为 I , M , N 分别是 (

A

AB, AC的中点, AB ? AC ,内切圆 ? I 分别与边 BC, CA 相
切于 D, E ;证明: MN , BI , DE 三线共点.
B

M

N

F

I D

E C

证:如图,设 MN , BI 交于点 F ,连 AF , AI , IE, EF ,由 于中位线 MN ∥ BC ,以及 BF 平分 ? B ,则 MF ? MB ? MA ,
0 E 所以 ?AFB ? 90 , I ?A 因E

F E I , A、 、 、 共圆. 分) 得 (10

所以 ?AEF ? ?AIF ;又注意 I 是 ?ABC 的内心,则

A B C ? ? 900 ? ,(15 分) 2 2 2 连 DE ,在 ?CDE 中,由于切线 CD ? CE ,所以 1 C ?CED ? ?CDE ? ?1800 ? C ? ? 900 ? ? ?AEF , 2 2 ?AEF ? ?AIF ? ?IAB ? ?IBA ?
因此 D, E, F 三点共线,即有 MN , BI , DE 三线共点. (25 分)

11 、 25 分)在电脑屏幕上给出一个正 2011 边形,它的顶点分别被涂成黑、白两色;某程 ( 序执行这样的操作:每次可选中多边形连续的 a 个顶点(其中 a 是小于 2011 的一个固定的正整
数) ,一按鼠标键,将会使这 a 个顶点“黑白颠倒” ,即黑点变白,而白点变黑;

(10 ) 、证明:如果 a 为奇数,则可以经过有限次这样的操作,使得所有顶点都变成白色,也
可以经过有限次这样的操作,使得所有顶点都变成黑色;

(20 ) 、当 a 为偶数时,是否也能经过有限次这样的操作,使得所有的顶点都变成一色?
证明你的结论.
0 证明 (1 ) :由于 2011 为质数,而 1 ? a ? 2011 ,则 (a, 2011) ? 1 ,据裴蜀定理,存在正整数

m, n ,使 am ? 2011n ? 1 ??①,如果 a 为奇数,则①中的 m, n 一奇一偶,
如果 m 为偶数, n 为奇数,将①改写成: a ? (m ? 2011) ? 2011? (n ? a) ? 1 ,令

m? ? m ? 2011, n? ? n ? a ,上式成为 am? ? 2011n? ? 1,其中 m? 为奇数, n? 为偶数.总之存在

奇数 m 和偶数 n ,使①式成立;据①, am ? 2011n ? 1 ??②, 现进行这样的操作:选取一个点 A ,自 A 开始,按顺时针方向操作 a 个顶点,再顺时针方向 操作接下来的 a 个顶点,??,当这样的操作进行 m 次后,据②知,点 A 的颜色被改变了奇数次 ( n ? 1 次) ,从而改变了颜色,而其余所有顶点都改变了偶数次( n 次)状态,其颜色不变;因 此,可以经过有限多次这样的操作,使所有黑点都变成白点,从而多边形所有顶点都成为白色; 也可以经过有限多次这样的操作, 使所有白点都变成黑点, 从而多边形所有顶点都成为黑色. (10 分)

(20 ) 、当 a 为偶数时,将有如下结论:
如果开初给定的正多边形有奇数个黑点、偶数个白点,则经过有限次操作,可以将多边形所 有顶点变成全黑,而不能变成全白;反之,如果开初给定的正多边形有奇数个白点、偶数个黑点, 则经过有限次操作,可以将多边形所有顶点变成全白,而不能变成全黑; (15 分) 为此,采用赋值法:将白点改记为“ +1 ” ,而黑点记为“ ?1 ” ,改变一次颜色,相当于将其 赋值乘以 ?1 ,而改变 a 个点的颜色,即相当于乘了 a 个(偶数个) ?1 ,由于 (?1) ? 1 ;因此当
a

多边形所有顶点赋值之积为 ?1 ,即总共有奇数个黑点,偶数个白点时,每次操作后,其赋值之 积仍为 ?1 ,因此无论操作多少次,都不能将全部顶点变白. 但此时可以变成全黑,这是由于,对于偶数 a ,则①②中的 n 为奇数,设 A, B 是多边形的两 个相邻顶点,自点 A 开始,按顺时针方向操作 a 个顶点,再顺时针方向操作接下来的 a 个顶 点,??,当这样的操作进行 m 次后,据②知,点 A 的颜色被改变了偶数次( n ? 1 次) ,从而颜 色不变,而其余所有 2010 个顶点都改变了奇数次( n 次)状态,即都改变了颜色;再自点 B 开 始,按同样的方法操作 m 次后,点 B 的颜色不变,其余所有 2010 个顶点都改变了颜色;于是, 经过上述 2m 次操作后,多边形恰有 A, B 两个相邻顶点都改变了颜色,其余所有 2009 个点的颜 色不变. 现将这样的 2m 次操作合并,称为“一轮操作” ;每一轮操作,可以使黑白相邻的两点颜色互 换,因此经过有限轮操作,总可使同色的点成为多边形的连续顶点; 于是当总共有偶数个白点时,每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点,使得有限轮操作后,多 边形所有顶点都成为黑色. 同理得,如果开初给定的正多边形有奇数个白点、偶数个黑点,经过有限次操作,可以使多边形 顶点变成全白,而不能变成全黑; (只需将黑点赋值为“ +1 ” ,白点赋值为“ ?1 ” ,证法便完全 相同)(25 分) .

2011 年全国高中数学联赛山西省预赛
试题解答
一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分) 1、在集合 A ? ?1,2,3,?,2011? 中,末位数字为 1 的元素个数为
答案: 202 . 解:将 集合 A ? ?0001,0002,?,2011 中的每个 数都截去 其末位数字, 都会得到 集合 ? .

B ? ?000,001,?,199,200,201? 中的数,而 A 中形如 abc1 的数,皆可看成由 B 中的元素 abc 后

面添加数字 1 而得到;故 A 中形如 abc1 的元素个数,等于 B 的元素个数,即 202 个.

2、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,如果椭圆上的一点 P 使 PF1 ? PF2 ,则 ?PF1F2 的面 52 32

积为 . 答案: 9 . 解 : 易 知 F1F2 ? 8 , PF ? PF2 ? 10 , 所 以 ( PF ? PF2 )2 ? 102 , 在 直 角 ?PF F2 中 , 1 1 1 ,由以上两式得, S?PF1F2 ? PF12 ? PF2 2 ? 8 2 3、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,

1 PF1 ? PF2 ? 9 . 2

a2 k a ? 2, 2 k ?1 ? 3, k ? 1 ;则其前 100 项的和为: a2 k ?1 a2 k

S100 ?
3 5


50

答案: (6 ? 1) . 解:

a2 k ?1 a2 k ?1 a2 k a a a ? ? ? 6, 2 k ?2 ? 2 k ?2 ? 2 k ?1 ? 6 , a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以, a2 k ?1 a2 k a2 k ?1 a2 k a2 k ?1 a2 k

a2k ?1 ? 6k ?1, a2k ? 2 ? 6k ?1 , S100 ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a99 ? a100 )
50 3 ? 3? 6k ?1 ? (650 ? 1) . 5 k ?1

4、若 4n ? 1, 6n ? 1 都是完全平方数,则正整数 n 的最小值是
答案: 20 .



解: 4n ? 1, 6n ? 1 都是奇平方数;设 6n ? 1 ? (2m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 1 ,则
2

3n ? 2m(m ? 1) ,而 m(m ? 1) 为偶数,所以 4 n ,设 n ? 4k ,则 4n ? 1 ? 16k ? 1 ,
6n ? 1 ? 24k ? 1 ,当 k ? 1, 2, 3, 4 时, 4n ? 1, 6n ? 1不同为平方数,而当 k ? 5 ,即 n ? 20 时,

4n ? 1 ? 81, 6n ? 1? 121皆为平方数,因此正整数 n 的最小值是 20 .
5、函数 y ? 2x ? 5 ? 11 ? 3x 的最大值是 答案: .

65 . 24

解:令 11 ? 3x ? t ,则 6 y ? 12x ? 30 ? 6 11 ? 3x ? ?4(11 ? 3x) ? 6 11? 3x ? 14

65 3 167 3 ? 65 65 ? ,当 t ? ,即 x ? 取得等号. ? ?4t ? 6t ? 14 ? ? ? 2t ? ? ? ? ,则 y ? 24 4 48 2? 4 4 ?
2

2

6、如图,单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , G 分别是棱 AA1 , C1D1 , D1 A1 的中点,则点 B1 到 EFG 所在平面的距离为 答案: .
G A1 E D B B1 C D1 F C1

3 . 2

解一、补形法,如图,过 E, F , G 的平面截正方体,所得截面是 一 个 正 六 边 形 , 易 知 该 平 面 垂 直 平 分 正 方 体 的 对 角 线 B1D , 而

A

B1D ? 3 ,
所以 B1 到面 EFG 的距离 h ? 解二:等体积法,

3 . 2

1 1 1 3 ? ? ? , 4 4 8 8 1 1 1 而点 E 到平面 B1FG 的距离 h 0 ? ,所以 VEB1FG ? h 0 S B1FG ? . 2 3 16 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 6, 又 EF ? EA1 ? A1 F ? EA1 ? ( A1 D1 ? D1F ) ? ? 1 ? ? ,即 EF ? 4 4 2 2
易知 S B1FG ? 1 ? S B1 A1G ? S B1C1F ? S D1FG ? 1 ?

GF ? GE ?
则 S ?EGF ?

GE 2 ? GF 2 ? EF 2 1 2 ? ? , ?EGF ? 1200 , , cos ?EGF ? 2GE ? GF 2 2

1 1 GE ? GF sin1200 ? 3 ,若 B1 到面 EFG 的距离为 h ,则 2 8

1 1 3 3 ? VEB1FG ? h ? S?EGF ? . h ,所以 h ? 16 3 24 2

7、 sin 2 1300 ? sin 700 cos800 ?
答案:



3 . 4
2 0 0 0 2 0 0 0

解: sin 130 ? sin 70 cos80 ? cos 40 ? sin 70 sin10

1 ? cos800 1 1 ? ? sin 700 sin100 ? ? (cos 700 cos100 ? sin 700 sin100 ) ? sin 700 sin100 2 2 2
? 1 1 1 1 3 ? (cos 700 cos100 ? sin 700 sin100 ) ? ? cos 600 ? . 2 2 2 2 4

8 、如果四位数 abcd 的四个数码满足 a ? b ? c ? d ,就称其为“好数” ;例如 2011 就是一
个“好数” .那么, “好数”的个数是 答案: 615 . .

解:由于 1 ? a ? 9, 0 ? b, c, d ? 9 ,记 k ? a ? b ? c ? d ,则 1 ? k ? 18 . 当 1 ? k ? 9 ,则上式中的 a 可取 ?1,?, k? 中的任意值, c 可取 ?0,1,?, k? 中的任意值,而当 a , c 取定后, b, d 便随之确定,因此满足 k ? a ? b ? c ? d 的四位数 abcd 有 k (k ? 1) 个; 从而满足 k ? 9 的四位数 abcd 共有

? k (k ? 1) ? 330 个;
k ?1

9

当 10 ? k ? 18 ,由 k ? a ? b ? c ? d 知, a, b, c, d 皆不能为 0 ,令 a1 ? 10 ? a, b1 ? 10 ? b ,

c1 ? 10 ? c, d1 ? 10 ? d ,则 1 ? a1, b1, c1, d1 ?9 ,记 k1 ? a1 ?b1 ? c1 ? d1 ,则 2 ? k1 ?10 ,且四位
数 abcd 与四位数 a1b1c1d1 一一对应. 上式中的 a1 及 c1 皆可取 ?1,?, k1 ?1? 中的任意值, 而当 a1 , c1 取定后, b1 , d1 便随之确定,因此满足 k1 ? a1 ? b1 ? c1 ? d1 的四位数 a1b1c1d1 有 (k1 ?1)2 个,从而 满足 2 ? k1 ? 10 的 a1b1c1d1 共有

k1 ? 2
9

? (k1 ?1)2 ? ? k 2 个,即满足
k ?1

10

9

10 ? k ? 18 的四位数 abcd 共有 ? k 2 ? 285 个.
k ?1

故“好数”的个数是 330 ? 285 ? 615 . 二、解答题(共 3 题,合计 70 分)

9 、 20 分)三角形 ABC 三个内角的度数满足: (
求 T ? cos A ? cos B ? cos C 的值.

A B 1 ? ? ; B C 3

解:设 A ? ? , B ? 3? , C ? 9? ,由 ? ? 3? ? 9? ? ? ,得 ? ?

?
13



T ? cos ? ? cos 3? ? cos 9? ? cos ? ? cos 3? ? cos 4?

? 2cos? cos 2? ? 2cos2 2? ? 1 ? 2cos2 2? ? 2cos2 2? ? 1 ? 1.

T 2 ? (cos? ? cos3? ? cos9? )2 ? cos2 ? ? cos2 3? ? cos2 9? ? 2cos? cos3?
?2 cos ? cos 9? ? 2 cos 3? cos 9? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 6? 1 ? cos8? ? ? 2 2 2

?(cos 2? ? cos 4? ) ? (cos8? ? cos10? ) ? (cos 6? ? cos12? ) ;

而 T ? cos ? ? cos 3? ? cos 9? ? ? cos12? ? cos10? ? cos 4? , 所以 2T ? T ? 3 ? 3(cos 2? ? cos 4? ? cos 6? ? cos8? ? cos10? ? cos12? ) ,
2

又令 P ? cos 2? ? cos 4? ? cos 6? ? cos8? ? cos10? ? cos12? , 则 P ? 2sin ? ? (sin 3? ? sin ? ) ? (sin 5? ? sin 3? ) ? (sin 7? ? sin 5? ) ? (sin 9? ? sin 7? )

1 ?(sin11? ? sin 9? ) ? ?(sin13? ? sin11? ) ? ? sin ? ,所以 P ? ? . 2 3 3 2 2 从而 2T ? T ? 3 ? ? ,即 4T ? 2T ? 3 ? 0 , 2 2
由于 T ? 1 ,解此方程得 T ?

1 ? 13 . 4

10 、 25 分)如图, D, E, F 分别是 ?ABC 的边 BC , CA, AB 上的点,且 DE ? AB ? F0 , (

EF ? BC ? D0 , FD ? CA ? E0 ;
A

证明: AD, BE , CF 三线共点, 当且仅当 D0 , E0 , F0 三点共线. 证明:据梅尼劳斯定理,D0 , E0 , F0 三点共线, 当且仅当
B

F

E D C D0

AE0 CD0 BF0 ? ? ? 1; E0C D0 B F0 A
F0

E0

而据塞瓦定理, AD, BE , CF 三线共点, 当且仅当

BD CE AF ? ? ? 1. DC EA FB

因直线 D0 EF 截 ?ABC ,得到

CD0 CE AF CE AF BD0 , ? ? ? 1 ,所以, ? ? EA FB D0C D0 B EA FB CE0 CD BF ,由直线 F0 DE 截 ?ABC 得, ? ? E0 A DB FA
2

同理,由直线 E0 DF 截 ?ABC 得,

BF0 BD CE AE0 CD0 BF0 ? BD CE AF ? .因此, ? ? ? ? ?? ? ? ? ; F0 A DC EA E0C D0 B F0 A ? DC EA FB ?
由于该等式中的一端取值为 1 当且仅当其另一端也取值为 1 ,故结论得证. 11 、 分)20 个巫师孤岛聚会.在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师; (25 证明:其中必存在某个巫师,他至少受到过其余九个巫师的诅咒.
3 证: 20 个巫师,共可作成 C20 个“三巫组” ,每个组至少诅咒过一人,故被诅咒过的巫师至

3 少有 C20 人次,设 W 是受到诅咒最多的一个巫师,他被 m 个“三巫组”诅咒过,则
3 C20 ? 57 ,若这 m 个“三巫组”中,总共含有 k 个巫师,这 k 人共可作成 Ck3 个“三巫组” , 20

m?

3 3 因此, Ck ? m ? 57 ,注意到,当 k ? 3 时,组合数 Ck 严格递增; 3 3 因为 C8 ? 56 ? 57, C9 ? 84 ? 57 ,由此得 k ? 9 .

2011 年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分) 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ? 6) ? 3, x ? Z ,0 ? x ? 7} ,则 A 的非空子集的个数为. 2. 若 f ? g ( x) ? ? sin 2x , g ( x) ? tan

x (0 ? x ? ? ) ,则 2

? 2? f? ? 2 ?? ? ? ?

.

3. 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为

1 的球,则此正四棱锥的体积是 2
2 2

.

4. 在平面直角坐标系中, 已知点 A(1, 2) 和 B(4,1) . 圆 x ? y ? 25 上的动点 P( x, y) 与 A, B 形成 三角形,则三角形 ABP 的面积的最大值为

.

5.将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数的和与第二 组数的和相等的概率是 6. 数列满足 a 0 ? . .

2011 1 1 2 ,及对于自然数 n , an?1 ? an ? an ,则 ? 的整数部分是 4 n ?0 a n ? 1

7. 四次多项式 f (x) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ?( x ) 的所有根中最大根与最小根 之差是 .
2 2

8.设 [x ] 表示不超过实数的最大整数,则在平面上,由满足 [ x] ? [ y] ? 50 的点所形成的图形的 面积是 . 二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 ? 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n2 } 是公比不 大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式.

10. 已知 F 、 F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF F2 的面积是 3 , 1 1 求 ?F PF2 . 1

11. 设 a1 , a2 ,?, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,求证:
2 1 2 1 2 1 2 ? n ? 1? . (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? a1 a2 an n 2

12.设 n ? 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

甘肃省预赛评分参考
1. 63 . 2.

4 2 . 9

3.

16 1 4 (7 ? 5 10) .5 . 4. .6. 3 .7. 2 5 . 8. 12 . 9 2 63

9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 ? 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n2 } 是公比不 大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式. 由条件(3)知 nan ? n ? c ? q
2 n?1



c ? q n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . ,其中 c, q ? 0 ,于是 an ? n
2011q n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . ………………4 分 n

由条件(1)可得 c ? 2011 ,由此 an ? 因为 a2 ?

2011q 2011q k ? 2 是整数,故 是整数,于是 q 只能是分数,不妨设 q ? ,其中 k 2 2 m 与 m 互素. 注意到 2011 是素数,故 m 的取值只能是 1 和 2011 , k 只能为偶数.
……………8 分

k k 2011( )2 2011? 2 m ? 3 是整数,得知 m 是整数,于是 m 的取值只能是1 且 k 是 3 同理,由 a3 ? 3 3
的倍数,从而 q ? k 是 6 的倍数. q 不大于 10, 所以 q ? 6 ,故数列 {an } 的通项公式为

2

an ?

2011? 6n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . n
2 2

………………14 分

10. 已知 F 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF F2 的面积是 3 , 1 1 求 ?F PF2 . 1 解 不妨设点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线的右支,由题设易得 F F2 ? 2 2 . ………………2 分 1

注意到 S?PF1F2 ?

1 1 6 F1 F2 ? y0 ? ? 2 2 y0 ? 3 ,解得 | y0 |? ,……………4 分 2 2 2
2 2

2 2 2 2 又由 x ? y ? 1 有 x0 ? y0 ? 1,解得 x0 ? 1+y0 =1+

6 5 = . 4 2

………………6 分

由双曲线的第二定义得 | PF1 |? e[ x0 ? (?

a2 )] ? a ? ex0 ? 1 ? 2 x0 及 c

| PF2 |? e[ x0 ?

a2 )] ? ex0 ? a ? 2 x0 ? 1 . 再由余弦定理有 c

cos ?F1PF2 ?
于是

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 , 2 | PF1 || PF2 |
2 2 2 2 2 ? 2 x0 ? 1? ? 8 2 2 ? 2 x0 ? 1?

………………9 分

?1+ cos ?F PF =
1 2

2 x0

? ? ? 2 ?1+ 2 x ?? 2 x ? 1?
2 x0 ? 1 ? 2 2
0 0

? ??

?

? 5 ? 2 ? 2 ? ? 1? ? 8 2 ? ? 5 ? 1? ? 8 2 ? 6 ? 8 1 2 ? ? ? ? ? ? . 2 ? ? 5 ? 1? 8 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? ?
由此得 ?F PF2 =600 . 1 11. 设 a1 , a2 ,?, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,求证:
2 1 2 1 2 1 2 ? n ? 1? (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? . a1 a2 an n 2

………………14 分

证明

因 a1 , a2 ,?, an 为正数,由 Cauchy 不等式得

(a1 ? a2 ? ? ? an )(

1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ) ? ( a1 ? ? a2 ? ? ? ? an ? ) a1 a2 an a1 a2 an
1 1 1 ? ? ? ? ) ? n2 . a1 a 2 an 1 1 1 ? ??? ? n2 . a1 a 2 an
………………6 分

即 (a1 ? a 2 ? ? ? a n )(

又 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,所以

………………9 分

对 a1 ?

1 1 1 , a2 ? ,?, a n ? 和实数 1,1,?,1 ,由 Cauchy 不等式得 ??? ? ? a1 a2 an n

1 2 1 1 1 1 1 (a1 ? ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2(?????) (a1 ? ) 1 ? a2 ? ) 1 ? ? ? an ? ) 1]2 [ ( ] 12 ? 12 ? ?12 ? [ ? ( ? ( ? ? ? a1 a2 an a1 a2 an n

即(a1 ? [

1 2 1 1 1 1 1 ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2 ]n ? (a1 ? ? a2 ? ? ? ? an ? )2 , ( a1 a2 an a1 a2 an
………………12 分

即(a1 ? [

1 2 1 1 ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2 ]n ? (n2 ? 1)2 ,………………15 分 ( a1 a2 an
2

2 1 2 1 2 1 2 ? n ? 1? 所以 (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? . a1 a2 an n

………………18 分

12.设 n ? 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连 续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。 解:显然 A ? {55 ? 10k | 0 ? k ? n ?10, k ? Z} , B ? {66 ? 11l | 0 ? l ? n ? 11, l ? Z } , ………………6 分 为求 A ? B 的元素个数,令

55 ? 10k ? 66 ? 11l ,则 10k ? (l ? 1)11。

………………9 分

再令 k ? 11m ,则得 l ? 10m ? 1.因为 0 ? k ? n ? 10 , m 可取值 0,1, 2,? ,[ 应取值为 ?1,9,19,? ,10[ 注意到

n ? 10 ] ,此时 l 的相 11

n ? 10 ] ?1。 11

………………12 分

10[

n ? 10 n ? 10 ] ? 1 ? 10 ? ? 1 ? n ? 11 11 11

符合 l 的取值范围,舍去不合乎要求的值 ?1 ,则知集合 A ? B 的元素个数为 [

n ? 10 ] 。令 11

n ? 10 n ? 10 ] , 则 181 ? ? 182 ……………15 分 11 11 即 2001 ? n ? 2012 ,于是 n 的最大值和最小值分别为 2011 和 2001. ……………18 分 181 ? [

2011 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 15 日下午 14:30——16:30)
题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 得 分 评卷人 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论, 、 、 、 其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题后的 括号内. 每小题选对得 5 分;不选、选错或选出的代表字母超过一 个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 一 二 三 13 14 15 16 总成绩

x2 y2 1、双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左、 a b
右焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于

A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

D、 2 3

【答】(

)

2、已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , (a, b, c, d ? R ), 命题 p : y ? f (x) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y ? f (x) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ) B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答】( )

A、充分但不必要条件 C、充要条件

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、 布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ? ,则随机变量 ? 的数学期 望 E? 的值为( A、 )

1 3

B、

4 9

C、

2 3

D、1 ) D、 3 3

【答】(

)

4、函数 f ( x) ? A、 【答】(

x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

3
)

F N

E

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面 成 60°角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN , 则线段 MN 的长的取值范围是 A、 [ , 2] C、 [ 2, 2]

A M D C

B

1 2

B、 [1, 2] D、 [ 3, 2] 【答】( )

6、设数列 {an } 为等差数列,数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 ,

b3 ? a4 ? a5 ? a6 ,??,若 lim
n ??

bn ? 2 ,则数列 {an } 的公差 d 为( n3
D、4



A、

1 2

B、1

C、2

【答】(

)

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 得 分 评卷人 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

7、已知实数 x 满足 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |? 6 ,则 x 的取值范围是 ?

1 5 ?x? 2 2



8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |? 1 , 则使得向量 a ? mb 与 a ? (1 ? m)b 互相垂直的所有实数 m 之和为 1 .

9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ? 得 分 评卷人 150 .

10 、 设 x 为 实 数 , 定 义 ?x ? 为 不 小 于 x 的 最 小 整 数 , 例 如

?? ? ? 4 ,

?? ? ? ? ?3 .
关于实数 x 的方程 ?3 x ? 1? ? 2 x ?

1 的全部实根之和等于 2

-4



11、已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an ? n ??? b n

3



12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2, 设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 三、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 13、已知 m ? 0 ,若函数 f ( x) ? x ? 100? mx 的最大值为 g (m) , 求 g (m) 的最小值.

3 3



得 分

评卷人

14、已知函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? m(sin x ? cos x)
4 4

4

在 x ? [0,

?
2

] 有最大值 5,求实数 m 的值.

15、抛物线 y ? x2 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P 两点. 1 2 (I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; 得 分 评卷人 (II) 求在线段 PP 上满足条件 1 2

1 1 2 的点 Q 的轨迹方程. ? ? PP PP2 PQ 1

得 分

评卷人

16、已知 m 为实数,数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 满足: S n ?

9 4 64 a n ? ? 3 n ? m ,且 a n ? 对任何的正整数 n 恒成立. 8 3 3

求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有

3k 3 ? S ? 16 . k ?1 k
n

四川初赛试题详细解答
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线 a2 b2
) . D、 2 3

的左、右焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

解:由题意得 2c ? 3 ?

2a 2 ,解得 e ? 3 . 故答案选 B. c

2、已知三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , (a, b, c, d ? R ),
3 2

命题 p : y ? f (x) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y ? f (x) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ) B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分但不必要条件 C、充要条件 解:选 A.

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、 石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ? ,则随机变量 ? 的数学 期望 E? 的值为( A、 ) B、

2 4 C、 D、1 9 3 3? 4 4 3? 4 4 3 ?1 1 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? , 解: P (? ? 0) ? 27 9 27 9 27 9 4 4 1 2 于是 E? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? . 故答案选 C . 9 9 9 3

1 3

4、函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为(



A、 3

B、3

C、 2 3

D、 3 3

解:法一: f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 , 由 f ?( x) ?

1 2 x ?5

?

?3 2 24 ? 3x

?

24 ? 3x ? 3 x ? 5 2 x ? 5 ? 24 ? 3x

? 0 ,解得 x ?

23 . 4

因为 f (5) ? 3 , f ( 故答案选 C.

23 23 ) ? 2 3 , f (8) ? 3 ,于是 f ( x) max ? f ( ) ? 2 3 . 4 4

法二: f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,

f 2 ( x) ? (1? x ? 5 ? 3 ? 8 ? x )2 ? (1 ? 3)(x ? 5 ? 8 ? x) ? 12
当且仅当

23 x ?5 8? x ,即 x ? 时, f ( x) 取到最大值 2 3 .故答案选 C. ? 4 1 3
F N A M D C B E

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面 60°角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN , 则线段 MN 的长的取值范围是 A、 [ , 2]



1 2

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

解:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则 又 AM=FN,AC=FB,∴

AM AH ? , AC AB

F N A M D H

E

FN AH ? ,∴NH//AF, FB AB

B C

∴NH⊥AB,MH⊥AB,∴∠MHN=60°. 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH ? 2 ? x , ∴ MN ?

x 2 ? (2 ? x) 2 ? 2 x(2 ? x) cos 60? ? 3x2 ? 6x ? 4 ? 3( x ? 1) 2 ? 1

∴ 1 ? MN ? 2 .选答案选 B. 6、 设数列 {an } 为等差数列, 数列 {bn } 满足: 1 ? a1 , 2 ? a2 ? a3 , 3 ? a4 ? a5 ? a6 , ??, b b b 若 lim

bn ? 2 ,则数列 {an } 的公差 d 为( n ?? n 3
1 2
B、1 C、2 D、4



A、

解: bn ? a n( n?1)
2

?1

? a n( n?1)
2

?2

? ? ? a n( n?1)
2

n ? [a n ( n?1) ? a n ( n?1) ] ?1 ?n ?n 2 2 2

n n(n ? 1) n(n ? 1) n ? [a1 ? d ? a1 ? ( ? n ? 1)d ] ? (2a1 ? d ? n 2 d ) 2 2 2 2
于是 lim

bn 1 2a ? d d ? lim ( 1 2 ? d ) ? ? 2 ,解得 d ? 4 .故答案选 D. 3 n ?? n n ?? 2 2 n

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、已知实数 x 满足 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |? 6 ,则 x 的取值范围是 解:因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |?| (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) |? 6 , 等号成立当且仅当 (2 x ? 1)(2 x ? 5) ? 0 ,即 ? .

1 5 1 5 ? x ? .故答案填 [? , ] . 2 2 2 2

8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |? 1 ,则使得向量 a ? mb 与 a ? (1 ? m)b 互相垂直的所有实数 m 之和为 .
2 2

解:由于 0 ? (a ? mb) ? [a ? (1 ? m)b] = a ? a ? b ? m(1 ? m)b ?| a |2 ?m(1 ? m) , 即 m2 ? m? | a | 2 =0, 所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1.故答案填 1. 9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ? 解:记 b1 ? S10 , b2 ? S20 ? S10 , b3 ? S30 ? S20 , b4 ? S40 ? S30 设 q 为 {an } 的公比,则 b1 , b2 , b3 , b4 构成以 r ? q10 为公比的等比数列, 于是 70 ? S30 ? b1 ? b2 ? b3 ? b1 (1 ? r ? r 2 ) ? 10(1 ? r ? r 2 )
2 即 r ? r ? 6 ? 0 ,解得 r ? 2 或 r ? ?3 (舍去) ,



故 S40 ? 10(1 ? r ? r 2 ? r 3 ) ? 150.故答案填 150. 10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 , ?? ? ? ? ?3 .关于实数 x 的方程 ?3 x ? 1? ? 2 x ?

1 的全部实根之和等于 . 2 1 2k ? 1 2k ? 3 解 : 设 2x ? ? k ? Z , 则 x ? , 3x ? 1 ? k ? 1 ? ,于是原方程等价于 2 4 4

2k ? 3 11 7 ? 2k ? 3 ? ? 4 ? ? ?1 ,即 ? 2 ? 4 ? ?1 ,从而 ? 2 ? k ? ? 2 ,即 k ? ?5或 ? 4 . ? ?
相应的 x 为 ?

9 7 ,? .于是所有实根之和为 ? 4 .故答案填 ? 4 . 4 4

11、已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim 解:由条件 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 , 于是 a n ?

an ? n ??? b n



1 1 [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ], bn ? [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ] , 2 2 3

1? 1? ( a (1 ? 3 ) ? (1 ? 3 ) 1? 故 lim n ? lim 3 ? ? lim 3 ? n n n ??? n ??? b n ??? 1? (1 ? 3 ) ? (1 ? 3 ) n 1? ( 1?
n n

3 3 3 3

)n ? 3. )
n

故答案填 3 . 12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,设 S、A、 B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 解:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射影是△ABC 的外心,即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是△ABC 的外心 H,即在等边△ SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS. 显然, OH ?

S

O A H C B

1 1 3 3 3 .故答案填 . SH ? ? 2 ? ? 3 3 2 3 3

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m ? 0 ,若函数 f ( x) ? x ? 100? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值.

100? t 2 解:令 t ? 100 ? mx ,则 x ? , m
∴y?

(5 分)

100 ? t 2 1 m 100 m ? t ? ? (t ? ) 2 ? ? , m m 2 m 4
m 100 m 100 m ? ,即 g (m) ? ? . 时, y 有最大值 2 m 4 m 4
(10 分)

∴当 t ?

∴ g (m) ?

100 m 100 m ? ?2 ? ? 10, m 4 m 4

(15 分)

等号当且仅当 m ? 20 时成立, ∴当 m ? 20 时, g (m) 有最小值 10. (20 分)

14、已知函数 f ( x) ? 2(sin 4 x ? cos4 x) ? m(sin x ? cos x) 4 在 x ? [0, 求实数 m 的值.

?
2

] 有最大值 5,

解: f ( x) ? 2(sin 2 x ? cos2 x) 2 ? 4 sin 2 x cos2 x ? m(sin x ? cos x) 4

? 2 ? (2 sin x cos x) 2 ? m(sin x ? cos x) 4
令 t ? sin x ? cos x ?
2

(5 分)

2 sin( x ?

?
4

) ? [1, 2 ] ,

则 2 sin x cos x ? t ? 1 ,从而 f ( x) ? 2 ? (t 2 ? 1) 2 ? mt4 ? (m ? 1)t 4 ? 2t 2 ? 1 (10 分) 令 u ? t 2 ? [1, 2] ,由题意知 g (u) ? (m ? 1)u 2 ? 2u ? 1在 u ? [1, 2] 有最大值 5. 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 在 u ? 2 时有最大值 5,故 m ? 1 符合条件; 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) max ? g (2) ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,矛盾! 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 ? 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m ? 1 . 15、抛物线 y ? x2 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P 两点. 1 2 (I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 PP 上满足条件 1 2 (20 分) (15 分)

1 1 2 的点 Q 的轨迹方程. ? ? PP PP2 PQ 1
2

解: (I)直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,与抛物线方程 y ? x 联立 得?

? y ? x2 ? y ? 1 ? k ( x ? 1)

,消去 y 得 x ? k ( x ? 1) ? 1 ,即 x ? kx ? (k ? 1) ? 0 ,
2 2

2 由 ? ? (?k ) ? 4(k ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 .

(5 分)

(II)设 Q 点坐标为 ( x, y ) , P 点坐标为 ( x1 , y1 ) , P 点坐标为 ( x2 , y2 ) , 1 2 则 x1 ? x2 ? k , x1 ? x2 ? ?(k ? 1) , 又 P 、 P 、 Q 都在直线 l 上,所以有 y ? 1 ? k ( x ? 1) , y1 ? 1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? 1 ? k ( x2 ? 1) , 1 2 由

1 1 2 得 ? ? PP PP2 PQ 1

1 ( x1 ? 1) ? ( y1 ? 1)
2 2

?

1 ( x2 ? 1) ? ( y2 ? 1)
2 2

?

2 ( x ? 1) ? ( y ? 1)2
2

化简得

1 1 2 ? ? | x1 ? 1| | x2 ? 1| | x ? 1|

(10 分)

又 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? ?(k ?1) ? k ? 1 ? 2 ? 0 ,点 Q 在线段 PP 上, 1 2 所以 x1 ? 1, x2 ? 1, x ? 1 同号.则

1 1 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 1
① ,

因此 x ? 2

x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 2?k ?1 ? x1 ? x2 ? 2 k ?2

2?k 3k ? 2 ? 1) ? 1 ? ② , k ?2 k ?2 2 ? 2x 3 ?2 2 ? 2x x ?1 k? 由① 得 代入② y ? 得 ? 1 ? 2 x ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 , (15 分) 2 ? 2x x ?1 ?2 x ?1 4 ? 1 的取值范围是 又因为 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 ,所以 x ? k?2 y ? k ( x ? 1) ? 1 ? k ? (

? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1 且 x ? ?1 ,
因此点 Q 的轨迹方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ( ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1 且 x ? ?1 ) (20 分) .

S 16、 已知 m 为实数, 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 满足: n ?
对任何的正整数 n 恒成立. 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 证明:当 n ? 1 时,由 a1 ?

9 4 64 an ? ? 3n ? m , an ? 且 8 3 3

3k 3 ? S ? 16 . k ?1 k
n

9 a1 ? 4 ? m 得 a1 ? 8(4 ? m) , 8 9 4 n 9 4 n ?1 当 n ? 1 时, S n ? a n ? ? 3 ? m , S n ?1 ? a n ?1 ? ? 3 ? m , 8 3 8 3 9 9 8 n 64 n ?3 , ∴ a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? ? 3 ,即 a n ?1 ? 9a n ? (5 分) 8 8 3 3 32 n ?1 32 ? 3 ? 9(a n ? ? 3 n ) ∴ a n ?1 ? 9 9 32 n 32 ? 3 ? (a1 ? ) ? 9 n ?1 , ∴ an ? 9 3 8 32 (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3 n 即 an ? (10 分) 27 9

8 32 64 (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3 n ? 对任何正整数 n 恒成立, 27 9 3 8 64 1 32 1 (16 ? 3m) ? ? ? ? n 对任何正整数 n 恒成立, 即 27 3 9n 9 3 64 1 32 1 64 1 32 1 96 ? n ? ? n 在 n ? 1 时取最大值 ? ? ? ? 由于 , 3 9 9 3 3 9 9 3 27 8 96 4 (16 ? 3m) ? 于是 ,解得 m ? . 27 27 3 4 由上式知道 m 的最大值为 . (15 分) 3 4 32 ?2 ? 9 n ? ? 3n , 当 m ? 时, a n ? 3 9 9 9 32 32 n 4 4 n ? 3 ) ? ? 3n ? 于是 S n ? ( ? 9 ? 8 9 9 3 3 4 4 ? [3 ? (3 n ) 2 ? 4 ? 3 n ? 1] ? (3 n ?1 ? 1)( 3 n ? 1) , 3 3
由条件知,

3 n 1 1 3k 3 n 3k 所以 ? ? ?( k ? k ?1 ) ? ? k ?1 k 4 k ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 8 k ?1 3 ? 1 3 ? 1 k ?1 S k
n

3 1 1 3 1 3 ? ( ? n ?1 ) ? ? ? . 8 3 ? 1 3 ? 1 8 2 16
2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛

(20 分)





一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B, C 满足 A ? B ? 20, B ? C ? 30,

C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2. a 是正实数. 若 f ( x) ? x 2 ? 6ax ? 10a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值为 10, 设 则a ? .

3. 已知实系数多项式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 , 则 f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为 .

4.设展开式 (5x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n,n ? 2011. 若 a2011 ? max(a0 , a1 ,?, an ) ,则

n?

.

5.在如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 中,设 P 是 矩形 EFGH 的中心, 线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若
AB ? 3


AD ? 2



AE ? 1





第5题

PQ ?

.

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的 外侧滚动,其扫过区域的面积为 .
第6题

7. 设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对

应. 若点 A, B 分别对应复数 z, z ?1 ( z ? R ) ,则直线 AB 与 x 轴的交点对应复数 (用 z 表示). 8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概 率为 .

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 9. 已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , a n ? 1 ?
a1 ? ? ? a n ? 2 (n ? 3) ,求 an 的通项公式. 4

10.已知正整数 a1 , a2 ,?, an 都是合数,并且两两互素,求证:

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 an 2

11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1. 求 b 的最大 可能值.

12. 设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) ,D 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支上,D ? A , 直线 CD 交双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ? 上.
1 2

解答
1. 2. 10. 2.

3. {32}. 4. 2413. 5. 6. 7. 8.

17 . 4
6ar ? 4 π r 2 .

z?z . 1 ? zz

3 . (n ? 1)(n ? 3)
a1 ? ? ? an ? 2 a ? an ?1 ? n ? 2 4 4

9. an ? 1 ?

? an ?

an?1 1 ? a ? 1 ? ? an?1 ? n?2 ? ? ? ? n?1 2 2? 2 ? 2
n 2 n ?1

? 2 n ?1 a n ? 2 n ? 2 a n ?1 ? 1 ? ? ? n ? a n ?

.

2 10.设 ak 的最小素因子 p k ,因为 ak 不是素数,所以 ak ? pk . 于是
n 1 1 ?? 2 ? a k ?1 p k ?1 k k n

? ?

1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2

1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4n 2

? f (0) ? c ? ? 11.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? a b 1 ? f ( 3) ? 3 3 ? 3 ?c ?

可知

2b ? 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ? 3 3

f ( x) ? 3 23 ( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .

12.设 D( x1 , y1 ),E( x2 , y2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则

x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以
x1 ? x2 ? ?4k 2 1 ? 4k 2 5 ,x1 x2 ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 2 2 1? k 1? k 4

y1 y ( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1

所以
y2 y ? 1 x ? 1 x1 ? 1 x? 2 ? y2 y ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 ? 。 x2 ? 2 x1 ? 2 3x2 ? x1 ? 4 ? x2 ? 1 x1 ? 1

把①代入上式,得 x ?

1 . 2

2011 年新知杯上海市高中数学竞赛试题
2011 年 3 月 27 日 上午 8:30——10:30 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每题 7 分,后 4 小题每题 8 分)

? y x ? 7 x ?12 ? 1 ? 1.方程组 ? 的解集为 ? x ? y ?1 ?
2

.

2.在平面直角坐标系中,长度为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动(点 A 在点 B 的左边) ,点 P 、 Q 的 坐标分别为 ? 0,1? 、 ?1, 2 ? ,则直线 AP 与直线 BQ 交点 R 轨迹的普通方程为 .

3.已知 M 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在第一象限弧上的一点, MN ? y 轴,垂足为 N ,当 ?OMN 的面 16 9

积最大时,它的内切圆的半径 r ? 4.已知 ?ABC 外接圆半径为 1,角 A 、 B 、 C 的平分线分别交 ?ABC 外接圆于 A 、 B1 、 C1 , 1



AA1 cos

A B C ? BB1 cos ? CC1 cos 2 2 2 的值为 sin A ? sin B ? sin C

.

5.设 f ? x ? ? a sin ?? x ? 1? ? ? ? b 3 x ? 1 ? 2 ,其中 a 、b 为实常数,若 f ? lg5? ? 5 ,则 f ? lg20 ? ? 的值为 .
0

?

6.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A?3, a ? , B ?3, b? 使 ?AOB ? 45 ,其中 a 、 b 均

为整数,且 a ? b ,则满足条件的数对 ? a, b ? 共有

组.

0 7.已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0(圆心为 C ) 直线 y ? tan10 x ? 2 与圆 C 交 ,

?

?

于 A 、 B 两点,则直线 AC , BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为 二、解答题: 9.(本题满分为 14 分)对于两个实数 a 、 b , min ?a, b? 表示 a 、 b 中较小的数,求所有非零实 数 x ,使 min ? x ?

1 ,则甲最后获胜的概率是 2

.

? ?

4 ? ? 1? , 4 ? ? 8 ? min ? x, ? . x ? ? x?

10. (本题满分为 14 分)如图,在 ?ABC 中,O 为 BC 中点,点 M , N 分别在边 AB , AC 上,
0 且 AM ? 6 , MB ? 4 , AN ? 4 , NC ? 3 , ?MON ? 90 .求 ? A 的大小.

11. (本题满分为 16 分)对整数 k ,定义集合 Sk ? n 50k ? n ? 50 ? k ? 1? , n ? Z ,问 S0 ,S1 ,

?

?

S2 ,?, S599 这 600 个集合中,有多少个集合不含完全平方数?

12. (本题满分为 16 分)求所有大于 1 的正整数 n ,使得对任意正实数 x1 , x2 ,?, xn ,都有 不等式 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ? n ? x1 x2 ? x2 x3 ? ??? ? xn x1 ? .
2

2011 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见 一. 填空题 (7 '? 4 ? 8'? 4 ? 60') 1. (0,1),(2, ?1),(?3,4),(?4,5)? ; 5.-1; 二.解答题 6. 6; 7. 200o ; 8.

?

2.

y(x-2)=-2;

3.

2 ; 2

4. 2;

11 . 16

4 4 4 ? 2 x ? ? 4, 当 x ? 0 时, x ? ? ?4 ? 4, 故 x x x x ? 0; ? 4, 4 ? min ? x ? , 4? = ? 4 x ? x ? x , x ? 0. ? ?1 ? 1 ? ? , ?1 ? x ? 0或x ? 1; 又 min ? x, ? = ? x (4’) ? x ? ? x, x ? ?1或0<x ? 1. ?
9.解:当 x ? 0 时, x ? 所以有以下四种情形:

8 , x ? 2 .此时, x??2, ??? . x 1 1 (2) 当 0 ? x ? 1 时,原不等式为 4 ? 8 x, x ? .此时, x ? (0, ] . 2 2
(1) 当 x ? 1 时,原不等式为 4 ?

(9’)

4 8 ? ? x 2 ? 4. 此时, x ? (?1, 0) . x x 4 4 2 (4) 当 x ? ?1 时, 原不等式为 x ? ? 8 x ? x ? .此时, x ? (??, ?1] . x 7
(3) 当 ?1 ? x ? 0 时,原不等式为 x ? 综上所述,满足题意的 x 的取值范围为

1 (??, 0) ? (0, ] ? [2, ??). 2

(14’)

10.解:延长 NO 至 P,使 OP=ON,又 BO=OC,可知 BPCN 为平行四边形, ? BP // AC ,BP=CN=3. (3’) 连接 MP, Q M 在 NP 的垂直平分线上, ? MP ? MN (6’) 令 MN=a,则在 V AMN 和 V MBP 中,由余弦定理得 6 M (10’) 4 B P O

A 4 N 3 C

a 2 ? MN 2 ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4cos A ? 52 ? 48cos A, a 2 ? MP2 ? 32 ? 42 ? 2 ? 3 ? 4cos A ? 25 ? 24cos A.
消去 a 2 ,得 27 ? 72 cos A ? 0 , 于是 cos A ?

3 3 , ?A ? arccos . (14’) 8 8
2 2

11.解: Q ( x ? 1) ? x ? 2x ? 1, 2x ? 1 ? 50( x ? N ) ? x ? 24( x ? N ) .

(24 ? 1)2 ? 625 ? S12 ,

? S0 , S1 ,L , S12 中含有的平方数都不超过 252 ,且每个集合都是由连续 50 个非负整数所组成
的,故每个集合至少含有 1 个平方数. (6’)

S13 , S14 ,L , S599 中 , 若 含 有 平 方 数 , 都 不 小 于 26 2 . 而 当 x ? 26 时 ,2x+1 ? 53, 从 而 S1 3, S 1 ,L , S 5中,每个集合至多含有 1 个平方数. 4 99
另一方面, S599 中最大数是 600 ? 50 ? 1 ? 29999 ,

1732 ? 29999 ? 1742 ,? S13 , S14 ,L , S599 中含有平方数.
则不超过 173 .
2

(12’)

? S13 , S14 ,L , S599 中有且仅有 173-25=148 个集合含有平方数.
综上所述, S0 , S1 ,L , S599 中, 有 600-13-148=439 个集合不含有平方数. 12.解:当 n=2 时,不等式为 ( x1 ? x2 )2 ? 2( x1 x2 ? x2 x1 ), 即 (16’)

( x1 ? x2 )2 ? 0, 故 n=2 满足题意.
当 n=3 时,不等式 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? 3( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ), 等价于 ( x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( x3 ? x1 )2 ? 0, 故 n=3 满足题意. 当 n=4 时,不等式为

(2’)

(5’)

( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )2 ? 4( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ) ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )2 ? 0 .故 n=4 满足题意.
下证当 n>4 时,不等式不可能对任意正实数 x1 , x2 ,L , xn 都成立. 取 x1 ? x2 ? 1, x3 ? x4 ? L ? xn ? (8’)

1 , 5(n ? 2)

则原不等式为 [1 ? 1 ? (n ? 2) ?

1 2 n?3 ]2 ? n(1 ? ? 5(n ? 2) 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2

?

121 2n n(n ? 3) ? n? ? , 25 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2
121 ? 5 ? n 矛盾. 25
(16’)

这与

所以满足题意的正整数 n 为 2,3,4.

2011 年湖南省高中数学竞赛试卷 A 卷
注意事项:1、首先填写所在县(市)学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3、本试卷共 14 题,满分 150 分 题号 分数 复核人 得分 评卷人 一 1~10 11 12 二 13 14 总分

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分) 1、已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在区间 (?

2 1 1 , ? )内为减函数,在区间(- ,+?) 3 3 3

内为增函数,则a=
2、设 A、B 是两个集合,称(A,B)为一个“对子” ,当 A≠B 时,将(A,B)和(B,A)视为

不同的“对子” ,满足集合 AUB={1,2,3,4}的不同对子(A,B)的个数为 3、 设函数f ( x) ? x2 ? x ? m(m ? R? ), 若f (t ) ? 0, 则你对函数y ? f ( x)在(t,t+1)中零点 存在情况的判断是 4、已知椭圆 C:

x02 x2 2 ? y 2 ? 1的两个焦点分别为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0 ? ? y0 ? 1 , 2 2

则|PF1|+|PF2|的取值范围是 5、已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i(i为虚数单位), 复数z2的虚部为 2,

则z1 ?z2为实数的条件是z2 ?
6、已知数列 {an }满足递推关系式an ?1 ? 2an ? 2n ? 1(n ? N ? ), 且 ? 取值是 7、过函数 f ( x) ? x ? cos x ? 3sin x 的图象上的一点的切线的斜率为 k,则 k 的取值范围是 8、已知平面内三点 A、B、C 满足

? a n +? ? 为等差数列,则λ 的 n ? ? 2 ?

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? AB?BC ? BC ? ? CA?AB 的值为 CA

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ????? | A B? 3 , B C? | 4C |A 则 | 5 , | | , ?

9、边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 的二面角,则 BC 中点与点 A 的距离为 10、规定一双筷子由同色的两支组成,现黑、白、黄筷子各 8 支,不用眼睛看,任意地取出筷子 来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 只筷子才能做得到。 二、解答题(本大题共 4 个小题,满分 80 分) 得分 评卷人

11、 (本小题满分 20 分) 如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条 件下,平面内 2011 条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作出判断,并证明你的结论。

得分 12、

评卷人 (本小题满分 20 分)

设 ak ?

1 1 1 1 2 2 ? 2 ? 2 ??? , ). ,求证:2011 ? ( 2 2 k k ?1 k ? 2 (k ? 1) ? 1 a2010 a2011

得分 13、

评卷人 (本小题满分 20 分)

(1)、设实数 t>0,求证: (1 ? ) ln(1 ? t ) ? 2 (2) 、从编号为 1 到 100 的 100 张卡片中,每次随机地抽取张,然后放回;用这种方式连续抽取 20 次,设抽的 20 个号码互不相同的概率为 p,求证: p ?

2 t

1 e2

得分

评卷人

14、 (本小题满分 20 分) 如图所示,已知由△ABC 的顶点 A 引出的两条射线 AX、AY 分别交 BC 于点 X、Y,

CX CY ? AC ?BX ?BY 成立的充要条件是∠BAX=∠CAY。 求证: AB ? ?
2 2

A
www.zxsx.com

B

C X Y


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