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可用---几何概型1


(第一课时)

下图是卧室和书房地板的示意图,图 中每一块方砖除颜色外完全相同,小猫分 别在卧室和书房中自由地走来走去,并随 意停留在某块方砖上。在哪个房间里,小 猫停留在黑砖上的概率大?

卧 室

书 房

问题情境:
问题1:取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得

两段的长都不小于1m的概率有多大?

3m
(1)试验中的基本事件是什么? 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置 可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
(2)每个基本事件的发生是等可能的吗? (3)符合古典概型的特点吗?

问题2:射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向

内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶 心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心 直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中 靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄 心的概率是多少?
(1)试验中的基本事件是什么? 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这 一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任 意一点.

(2)每个基本事件的发生是等可能的吗?
(3)符合古典概型的特点吗?

问题3: 有一杯1升的水,其中漂浮有1个
微生物,用一个小杯从这杯水中取出0.1

升,求小杯水中含有这个微生物的概率.
(1)试验中的基本事件是什么? 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微

生物出现位置可以是1升水中的任意一点. (2)每个基本事件的发生是等可能的吗?
(3)符合古典概型的特点吗?

?上面三个随机试验有什么共同特点?
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个; (2) 每个结果的发生都具有等可能性.
在 这 两个问题中 , 基 本 事 件有无限多个,虽然 类似于古典概型的 "等可能性" 还存在着, 但是 显然不能用古典概型的 方法求解.怎么办呢?

问题解决:
考虑第一个问题 , 如图 , 记"剪得两段绳长都不 小于 1 m " 为事件 A.
1 1

把绳子三等分 , 于是

3

当剪断位置处在中间一 段上时, 事件 A 发生.
由于绳子上各点被剪断 是等可能的, 1 且中间一段的长度等于 绳长的 , 3 1 所以事件 A 发生的概率P? A? ? . 3

对 于 问 题 2.记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B, 1 由于中靶点随机地落面 在 积 为 ?π ? 1222 cm 2 4 1 2 2 的 大 圆 内而 , 当中靶点落在面积为 ?π ? 12.2 cm 4 的 黄 心 内 时事 , 件 B发 生 .

于是事件B 发生的概率为
1 ? ? ?12.2 2 P ?B ? ? 4 ? 0.01. 1 ? ? ?1222 4

概念:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解 为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中 的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的 发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图 形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

几何概型的特 点:

(1)基本事件有无限多个; (2)基本事件发生是等可能的.

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其 内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
d的测度 P(A)? . D的测度

注:

(1)古典概型与几何概型的区别在于:几何概型是 无限多个等可能事件的情况,而古典概型中的等可 能事件只有有限多个;

(2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立
体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和

体积.

例1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳 子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距 离都大于3m的概率.
解:记“灯与两端距离都大于3m”为事件A, 由于绳长8m,当挂灯位置介于中间2m时, 事件A发生,于是

2 1 事件A发生的概率P( A)? ? 8 4

例2:取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机 地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率. 解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

圆面积 ?a 2 ? ? ? P(A)= 2 正方形面积 4a 4
答:豆子落入圆内的概率为
?
4

撒豆试验:向正方形内撒n颗豆子,其中有m颗落在圆 内,当n很大时,频率接近于概率. m ? m 4m P( A) ? ? ? ?? ? . n 4 n n

例3:一海豚在水池中自由游弋,水池长30m,宽20m的 长方形,求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率.
30m

20m
2m

解:设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”(见阴影部分)
d的测度 = P(A)= D的测度
30 ? 20 ? 26 ? 16 184 ? ? 0.31 30 ? 20 600

答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.

练一练:

1.某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电 台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.
解:记“等待的时间小于10分钟”为事件A, 打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件 A发生.
由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.

2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客到 达站 台立即乘上车的概率.
答案:P(A)=1/10

练一练: 3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆 架贮藏着石油.假如在上述海域中任意一点钻探, 钻到油层面的概率是多少?
答案:P(A)=40/10000=0.004 4.如右图,假设你在每个图 形上随机撒一粒黄豆,分别 计算它落到阴影部分的概 率.(图1为过圆心的等腰三 角形,图2把圆8等分) 答案:P(A)= ?
1

P(B)=3/8

课堂小结
?

1.古典概型与几何概型的区别.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

?

2.几何概型的概率公式.

d的测度(长度、面积 、体积) P(A)? . D的测度(长度、面积 、体积)

复习回顾:
1.几何概型的特点:
⑴、有一个可度量的几何图形S; ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点; ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.

2.古典概型与几何概型的区别.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

3.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域的测度(面积或体积) P ( A) ? 试验的全部结果所构成的区域的测度(面积或体积)
d的 测 度 (长 度 、 面 积 、体积) P(A)? . D的 测 度 (长 度 、 面 积 、体积)

4.几何概型问题的概率的求解.

例2.甲、乙二人约定在下午12点到17点之间在某地会面,先到 者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是 等可能的,且二人互不影响。求二人能会面的概率。
解: 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻,于是

0 ? X ? 5, 0 ? Y ? 5.
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形,即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的.

y

5 4 3 2 1
0

.M(X,Y)

1 2 3 4 5

x

记“两人会面”为事件A

二人会面的充要条件是:

| X ? Y |? 1,
y

y=x+1

阴影部分的面积 P(A)? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5

y=x -1

x

巩固练习:
1、某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过,乘 客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等车不 超过3分钟的概率. 3

p?

5

2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计 算它落到阴影部分的概率.

? 3 P2 ? 8

P 1 ?

1


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