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北师大必修五课本习题


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必修五基础练习

教师:张凡

第一章 数列
第一节 数列 1.1 数列的概念 例 1、根据下面的通项公式,分别写出数列的前五项. ⑴ an ?

n ; n?2

⑵ a n ? ?? 1? cos
n

n? . 4

例 2、写出下面数列的一个通项公式. ⑴ 3 , 5 , 7 , 9 ,? ⑵ 1 , 2 , 4 , 8 ,? ⑶ 9 , 99 , 999 , 9999 ,?

练习 1、已知数列 ?an ? 的通项公式,写出他的前 5 项. ⑴ an ? 2n ? 1 ; ⑵ an ?

3 ? (?1) n . n
)不是 ?an ? 的项.

2、已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 25 ? 2n ,在下列各数中, ( A. 1 B. ? 1 C. 2 D. 3

3、数列 ?an ? 的前 4 项依次是 20 , 11 , 2 , ? 7 , ?an ? 的一个通项公式是( A. an ? 9n ? 11 C. an ? 15.5 ? ?? 1?
n?1



B. an ? ?9n ? 29

4.5

D. an ? 9n ? 16

4、写出下面数列的一个通项公式. ⑴ 2 , 4 , 6 , 8 ,? ⑵ 10 , 20 , 30 , 40 ,?

1

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1.2 数列的函数性质 例 3、判断下列无穷数列的增减性. ⑴ 2 , 1 , 0 , ? 1 ,?, 3 ? n ,? ⑵

1 2 3 n , , ,?, ,? 2 3 4 n ?1

1 1 1 1 ? 1? 例 4、作出数列 ? , , ? , ,?, ? ? ? ,?的图像,并分析数列的增减性. 8 16 2 4 ? 2?

n

例 5、一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A 、 B )共有 8 站,从 A 地出发时,装上发往 后面 7 站的邮件各一个,到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件,同时装上该站发往下面 各站的邮件各一个.试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列,画出该数列的图像,并 判断该数列的增减性.

练习 1、在 1984 年到 2004 年的 6 届夏季奥运会上,我国获得的金牌数依次排成数列:15 , 5 ,16 ,16 , 28 ,

32 .试画出该数列的图像.
2、已知下列数列 ?an ? 的通项 an ,画出数列的图像,并判断数列的增减性. ⑴ an ? ?n ? 1 ; ⑵ an ? 2 n?1 .

2

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习题 1-1 A组 1、根据下面图形及相应的点数,在横线上面及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式. ⑴

(1) ⑵

(4)

(7)

( )

( )

(3)

(8)

(15)

( )





2、根据数列的通项公式填表.

n
an

1

2

? ?

10

? ? 420

? ?

n
n?n ? 1?

3、在商店里,如图分层堆砌易拉罐,最顶层放 1 个,第二层放 4 个,第三层放 9 个.如此下去,第六层 放几个? 4、求下列数列的一个通项公式: ⑴ 3 , 8 , 13 , 18 ,? ⑵ 5 , 50 , 500 , 5000 ,? 5、数列 ?an ? 的通项公式是 an ? n 2 ? 3n ? 28 ,画出该数列的图像.根据图像判断从第几项起,这个数列 是递增的. 6、已知 an ? 2n ? 15n ? 3 ,画出数列的图像,求数列 ?an ? 的最小项.
2

3

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B组 1、求下列数列的一个通项公式. ⑴ ? 1 , 2 , ? 3 , 4 ,? ⑵

1 4 9 16 ,? , ,? ,? 2 17 5 10


2、观察下列各图,并阅读图形下面的文字.像这样,10 条直线相交,交点的个数最多是( A.40 个 B.45 个 C.50 个 D.55 个

2 条直线相交 最多有 1 个交点

3 条直线相交 最多有 3 个交点

4 条直线相交 最多有 6 个交点

4

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第二节 等差数列 2.1 等差数列 例 1、判断下面数列是否为等差数列. ⑴ an ? 2n ? 1 ; ⑵ an ? ?? 1? .
n

例 2、已知等差数列 ?an ? , a1 ? 1 , d ?

2 ,求通项 an .

例 3、⑴求等差数列 9 , 5 , 1 ,?的第 10 项; ⑵已知等差数列 ?an ? , an ? 4n ? 3 ,求首项 a1 和公差 d .

例 4、已知在等差数列 ?an ? 中, a5 ? ?20, a20 ? ?35 .试求出数列的通项公式.

练习 1 1、 全国统一鞋号中, 成年男鞋共有 14 中鞋码, 其中最小的尺码是 23 把全部尺码从小到大列出. 2、求下列等差数列的第 n 项. ⑴ 2 ,5 ,8 ? ⑵ 13 , 9 , 5 ,? ⑶1 ,

1 1 Cm, 相邻的两个尺码都相差 Cm, 2 2

1 1 , ? ,? 3 3

3、⑴一个剧场设置了 20 排座位,这个剧场从第一排起各排的座位数组成数列:

38 , 40 , 42 , 44 , 46 ,?
这个剧场最后一排有多少个座位? ⑵蓝白两种颜色的正六边形地面砖,按图示规律拼成若干个图案,前 3 个图案中白色地面砖的块数依 次为多少?第四个图案中有白色地面砖多少块?第 n 个图案中有白色地面砖多少块?

第1个

第2个

第3个

5

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例 5、已知 ?1,1? , ?3,5? 是等差数列 ?an ? 图像上的两. ⑴求这个数列的通项公式; ⑵画出这个数列的图像; ⑶判断这个数列的单调性.

例 6、一个木制梯形架的上、下两底边分别为 33Cm,75Cm,把梯形的两腰各 6 等分,用平行木条连接各 对应分点,构成梯形架的各级.试计算梯形架中间各级的宽度.

练习 2 1、求下列各题中两个数的等差中项. ⑴ 100 与 180 ; ⑵? 2 与6 .

2、已知等差数列的通项公式为 an ? ?2n ? 7 . ⑴求首项和公差; ⑵画出这个数列的图像; ⑶判断这个数列的单调性. 3、已知△ ABC 的三内角的度数成等差数列,求其中间一项的度数. 4、在通常情况下,从海平面到 10km 的高空,海拔每增加 1km,气温就下降一固定数值.如果海拔 1km 高 空的气温是 8.5℃,海拔 5km 高空的气温是 ? 17.5 ℃,那么海拔 2km,4km 和 8km 的高空的气温各是 多少?

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2.2 等差数列的前 n 项和 例 7、求 n 个正奇数的和. (思考与右图的关系)

例 8、在我国古代,9 是数学之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与 9 有关的设计.例 如,北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图) ,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第 一圈有 9 块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多 9 块,共有 9 圈.请问: ⑴第 9 圈共有多少石板; ⑵前 9 圈一共有多少石板.

练习 1 1、一个剧场设置了 20 排座位,这个剧场从第一排起各排的座位数组成数列:

38 , 40 , 42 , 44 , 46 ,?
这个剧场一共有多少个座位? 2、求前 n 个正偶数的和. 3、在等差数列 ?an ? 中, ⑴已知 S8 ? 48 , S12 ? 168,求 a1 和 d ; ⑵已知 a6 ? 10 , S 5 ? 5 ,求 a8 和 S8 ; ⑶已知 a3 ? a15 ? 40 ,求 S17 .

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例 9、在数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 3 ,求这个数列自第 100 项到第 200 项之和 S 的值.

例 10、在新城大道一侧 A 处,运来 20 棵新树苗.一名工人从 A 处沿大道一侧路边每隔 10m 栽一棵树苗, 这名工人每次只能运一棵.要栽完这 20 棵树苗,并返回 A 处,植树工人共走了多少路程?

例 11、九江抗洪指挥部接到预报,24h 后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤 坝作为第二道防线. 经计算, 需调用 20 台同型号翻斗车, 平均每辆工作 24h 后方可筑成第二道防线. 但 目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔 20min 能有一辆车到达,指挥部 最多可调集 25 辆车,那么在 24h 内能否构筑成第二道防线?

练习 2 1、已知数列 ?2n ? 11 ?,那么 S n 的最小值是( A. S1 B. S 5 C. S 6 ) D. S11 .

2、一凸 n 边形,各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小内角 100°,则边数 n ?

3、某车间全年共生产 2250 个零件,又已知 1 月份生产了 105 个零件,每月生产零件的个数按等差数列递 增.平均每月比前一月多生产多少个零件?12 月份生产多少个零件?

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习题 1-2 A组 1、 ?an ? 为等差数列,填表: 题次 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3

a1
8 2

d
?3

n
20 9

an

18

3 4
2

30

15

3 4

21

思考填表过程你能得出什么结论? 2、已知等差数列 ?an ? 的前三项为 a ? 1 , a ? 1 , 2a ? 3 ,则此数列的通项为( A. 2 n ? 5 B. 2 n ? 1 C. 2 n ? 3 D. 2 n ? 1 )

3、已知数列 1 , 3 , 5 , 7 , 3 , 11 ,?, 2n ? 1 ,?,则 21 是这个数列的( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 12 项 D.第 21 项 )

4、设数列 ?an ? 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( A.1 B.2 C.4 D.8

5、设数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,它们相应项的和 a n ? bn 是否仍是等差数列?若 a1 ? 25 , b1 ? 75 ,

a2 ? b2 ? 100,则由 a n ? bn 所组成的数列的第 37 项为(
A.1 B.0 C.100 D.3700



6、 夏季高山上气温从山脚起每升高 100m 降低 0. 7℃, 已知山顶的气温是 14. 1℃, 山脚的气温是 26℃. 那 么,此山相对山脚的高度是( A.1500m B.1600m ) C.1700m D.1800m

7、⑴求等差数列 8 , 5 , 2 ,?的第二十项; ⑵ ? 401 是不是等差数列 ? 5 , ? 9 , ? 13 ,?的项?如果是,是第几项?

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8、某城市环境噪声平均值(DB)见下表: 年份 噪声/DB 1999 57.8 2000 57.2 2001 56.6 2002 56.0

如果噪声平均值依此规律逐年减少,那么从 2002 年起,经过多少年,噪声平均值将小于 42DB? 9、安装在一根公共轴上的 5 个皮带轮的直径成等差数列,其中最大和最小的皮带轮的直径分别是 216mm 与 120mm.求中间三个皮带轮的直径. 10、在下表的等差数列 ?an ? 中,根据已知的三个数,求未知的两个数.
题次
a1

d

n

an

Sn

题次

a1

d

n

an

Sn

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

5.2
? 37 1 2

0. 4 4
? 1 3

43
46 1 2
? 158 2 3

⑸ ⑹ ⑺ ⑻

0. 2 2 3 2.5 15 31

5.2
?10

137. 7

5 6

0 27 157. 5

5

26

105

11、在 10 与 100 之间插入 50 个数,使之成等差数列.求插入的数之和. 12、如图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下 面一层多放一支,最上面一层放 120 支.这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 13、一个物体第 1s 降落 4.90m,以后每秒比前一秒多降落 9.80m. ⑴如果它从山顶下落,经过 5s 到达地面,那么这山的高度是多少米? ⑵如果它从 1960m 的高空落到地面,要经过多长时间? 14、甲、乙两物体分别从相距 70m 的两处相向运动,甲第一分走 2m,以后每分比前一分多走 1m,乙每分 走 5m.问甲、乙开始运动后多长时间相遇? 15、你能通过画图来表示数列 1,8,16,24,32,40 的和么?(参考本节例 7)

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B组 1、有一个阶梯教室,共有座位 25 排,第一排离教室地面高度为 17Cm,前 16 排前后两排高度差 8Cm,从 17 排起,前后两排高度差是 10Cm(含 16,17 排之间高度差) .求最后一排离教室地面的高度. 2、将等差数列 3,8,13,18,?按顺序抄在练习本上,已知每行抄 13 个数,每页抄 21 行.求数 33333 所在 的页和行. 3、在编号为 1~9 的九个盒子中,共放有 351 粒米,已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米. ⑴如果 1 号盒子内放了 11 粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米? ⑵如果 3 号盒子内放了 23 粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米? 4、已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 31 ,公差 d ? ?8 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式,并作出它的图像; ⑵数列 ?an ? 从那一项开始小于 0 ; ⑶求数列 ?an ? 前 n 项和的最大值,并求出对应 n 的值. 5、数列 ?an ? 前 n 项 S n ? n 2 ? 1 . ⑴试写出数列的前 5 项; ⑵数列 ?an ? 是等差数列吗? ⑶你能写出数列 ?an ? 的通项公式吗?

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第三节 等比数列 3.1 等比数列 例 1、以下数列中,哪些是等比数列? ⑴1 , ?

1 1 1 1 , ,? , ; 8 16 2 4

⑵ 1 , 1 , 1 ,?, 1 ; ⑶ 1 , 2 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ; ⑷ a , a , a ,?, a . 例 2、一个等比数列的首项是 2,第二项与第三项的和是 12.求它的第 8 项的值.
2 3 n

练习 1 在等比数列 ?an ? 中,填写下表. 题次 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

a1
3

q
?2

n
5 4 4 5

an

1 2
1 2
3 3 2

1 16 1 16
48 24

例 3、在各项为负数的数列 ?an ? 中,已知 2an ? 3an?1 ,且 a 2 ? a 5 ? ⑴求证: ?an ? 是等比数列,并求出通项; ⑵试问 ?

8 . 27

16 是这个等比数列中的项么?如果是,指明是第几项,如果不是,请说明理由. 81

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2

例 4、据报载,中美洲地区毁林严重.据统计,在 20 世纪 80 年代末,每时平均毁林约 48 hm ,森林面积 每年以 3.6%~3.9%的速度减少,迄今被毁面积已达 1.3 ? 10 hm ,目前还剩 1.9 ? 10 hm .请回
7 2 7 2

答以下几个问题: ⑴如果以每时平均毁林约 48 hm 计算,剩下的森林经过多少年将被毁尽? ⑵根据⑴计算出的年数 n ,如果以每年 3.6%~3.9%的速度减少,计算 n 年后的毁林情况; ⑶若按 3.6%的速度减少,估算经过 150 年后、经过 200 年后、经过 250 年后及经过 300 年后森林面 积的情况,经过多少年森林将被毁尽?
2

练习 2 1、已知数列 a , a(1 ? a) , a(1 ? a) 2 ,?是等比数列,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. a ? 0 或 a ? 1 C. a ? 0 )

D. a ? 0 且 a ? 1

2 、将公比为 q 的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 ,?依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a 2 , a2 a3 ,

a3 a4 ,?.此数列是(
A.公比为 q 的等比数列 C.公比为 q 3 的等比数列 3、求下列各组数的等比中项. ⑴ ? 45 和 ? 80 ; ⑵7 ?3 5 和7 ?3 5 ; ⑶ (a ? b) 2 和 (a ? b) 2

) B.公比为 q 2 的等比数列 D.不一定是等比数列

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3.2 等比数列的前 n 项和 例 5、⑴已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , q ? 3 .求 S 3 ; ⑵求等比数列 1,

1 1 1 , , ,?的前 10 项和. 2 4 8

例 6、五洲电扇厂去年实现利税 300 万元,计划在以后 5 年中每年比上年利税增长 10%.问从今年起第 5 年的利税是多少?这五年的总利税是多少(结果精确到万元)?

练习 1 1、求下列等比数列 ?an ? 的前 n 项的和. ⑴ a1 ? 1 , q ? 3 , n ? 10 ; ⑶ a1 ? ⑵ a1 ?

1 1 , q ? ? ,n ? 6; 2 3

1 1 1 , q ? , an ? ; 3 3 6561

⑷ a1 ? 6 , q ? 2 , an ? 192.

2、某超市去年的销售额为 a 万元,计划在今后 10 年内每年比上一年增加 10%.从今年起 10 年内这家超 市的总销售额为( A. 1 .1 a
9

) B. 1 . 1 a
5

C. 10? (1.110 ? 1)a

D. 11? (1.110 ? 1)a

例 7、一个热气球在第一分上升了 25m 的高度,在以后的每一分里,它上升的高度都是它在前一分上升高 度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125m 吗?

例 8、如图,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三 角形,然后再作新三角形的内切圆.如此下去,求前 n 个内切圆的 面积和.

练习 2 1、求等比数列 1 , 2 , 4 ,?从第 5 项到第 10 项的和. 2、一个球从 a m 高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的 少米?

2 .那么当它第 5 次着地时,共经过了多 3

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习题 1-3 A组 1、等比数列 x , 2 x ? 2 , 3 x ? 3 ,?的第四项为( A. ? ) D. 27

27 2

B.

27 2

C. ? 27

2、计算机的价格不断降低,若每年计算机的价格降低 低为( A.300 元 ) B.900 元 C.2400 元

1 ,现在价格为 8100 元的计算机 3 年后的价格可降 3

D.3600 元 )

3、一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 q ? ( A.

3 , 2

B.

2 5 2

C.

5 ?1 2

D.

1? 5 2


4、等比数列 ?an ? 中,首项为 a1 ,公比为 q ,则下列条件中,使 ?an ? 一定为递减数列的条件是( A. q ? 1 C. a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 或 a1 ? 0 , q ? 1 B. a1 ? 0 , q ? 1 D. q ? 1

5、单摆一次摆动摆过的弧长为 36Cm,在连续的每次摆动中,每次摆动的弧长是前一次的 90%.请写出它 每次摆动弧长的表达式,并写出第六次摆动的弧长(结果精确到 1Cm) . 6、培育水稻新品种,如果第一代得到 20 粒种子,并且从第一代起,以后各代的每一粒种子都可以得到下 一代的 20 粒种子,那么到第五代大约可以得到这个新品种的种子多少粒? 7、某工厂 1996 年产值为 200 万元,计划从 1997 年开始,每年的产值比上年增长 20%.问从哪年开始, 该厂的年产值可超过 1200 万元? 8、在下表各题里, ?an ? 是等比数列,由已知的三个数,求另外两个未知数.
题次
a1

q

n

an

Sn

题次

a1

q

n

an

Sn

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

3 8 5 2

2
1 2

6
1 8

⑸ ⑹ 35 ⑺ ⑻

1
1 2
2 3

4 5 4 96
1 8

7

2 4 54

65 189

2

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9、如果某人在听到喜讯后的 1h 内将这一喜讯传给 2 个人,这 2 个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的 另 2 个人??如果没人只传 2 人,这样继续下去,要把喜讯传遍一个有 2047 人(包括第一个人)的 小镇,所需时间为( A.8h B.9h ) C.10h D.11h

10、某制糖厂第一年制糖 5 万 t,如果平均每年的产量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可 使总产量达到 30 万 t(结果精确到 1 年)?

B组 1、被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰—珠穆朗玛峰,海拔 8844m,是世界第一高峰.但一张报纸 却不服气,它说: “别看我薄,只有 0.01Cm 厚,但把我连续对折 30 次后,我的厚度就会远远超过 珠穆朗玛峰的高度. ”你认为这张报纸是不是在吹牛?你不妨算算看. 2、碘—131 是一种放射性物质,在医疗诊断中常会用到它,下表是 20g 碘—131 在 4 天内每天衰减的实验 数据: 时间/天 剩余/g 0 20.0 1 18.34 2 16.82 3 15.42 4 14.14

问 7 天后还能不能保证有 10g 该物质用于治疗,说明你的理由. 3、一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3n 项的和为( A.83 B.108 C.75 D.63 )

4、设 ?an ? 是由正数组成的等比数列,公比 q ? 2 ,且 a1 ? a2 ? a3 ??? a30 ? 230 .那么 a3 ? a6 ? ?a30 等于 ( A. 2 )
10

B. 2

15

C. 2

20

D. 2

16

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第四节 数列在日常生活中的应用 例 1、零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零 存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税) . ⑴若每月存入金额为 x 元,月利率 r 保持不变,存期为 n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式; ⑵若每月初存入 500 元,月利率为 0.3%,到第 36 个月末整取时的本利和是多少? ⑶若每月初存入一定金额,月利率是 0.3%,希望到第 12 个月末整取时取得本利和 2000 元.那么每 月初应存入的金额是多少?

例 2、定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔 1 年期定 期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第 2 年的本金就是第一年的本 利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税) ,我们来讨论以下问题: ⑴如果储户存入定期为 1 年的 P 元存款,定期年利率为 r ,连存 n 年后,再取出本利和.试求出储户

n 年后所得本利和的公式;
⑵如果存入 1 万元定期存款,存期 1 年,年利率为 2.79%,那么 5 年后共得本利和多少万元(精确到 0.001)?

说明:单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×存期 以符号 P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和(以下简称本利和) ,则有: S ? P (1 ? nr ) 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利计算公式是: S ? P(1 ? r )n

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练习 1 1、小蕾 2003 年 1 月 31 日存入银行若干万元,年利率为 1.98%,到 2004 年 1 月 31 日取款时,银行按国 家规定扣除了利息税(税率为 20%—利息税占利息的百分数)138.64 元,则小蕾存入银行的本金介 于( )元之间. B.2 万~3 万 C.3 万~4 万 D.4 万~5 万

A1 万~2 万

2、小峰 2000 年元旦在银行存款 1 万元,年利率为 1.98%,办理一年定期储蓄,以后按约定自动转存.请 计算小峰到 2008 年元旦得到的本利和.

例 3、 分期付款模型 小华准备购买一台售价为 5000 元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部 付清.商场提出的付款方式为:购买后 2 个月第一次付款,再过 2 个月第 2 次付款??购买后 12 个 月第 6 次付款,每次付款金额相同,约定月利率为 0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金 额是多少?

练习 2 小杨 2007 年向银行贷款 20 万元用于购房,小杨住房贷款的年利率为 7.11%,并按复利计息.若双 方协议自 2008 年元月起生效,每年底还银行相同金额的贷款,到 2017 年年底全部还清(即用 10 年时间 等额还款) .则小杨每年底还银行贷款的金额是多少元(结果精确到 1 元)?

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习题 1-4 1、一架摄像机售价为 1 万元.若采取分期付款,则需在 1 年内将款全部还清,商家提供下表所示的几种 付款方案:
方案 付款次数 付款方案

1

6次

购买后 2 个月第一次付款,再过 2 个月第 2 次付款??购买后 12 个月第 6 次付款

2

12 次

购买后 1 个月第一次付款,过 1 个月第 2 次付款??购买后 12 个月第 12 次付款

3

3次

购买后 4 个月第一次付款,再过 4 个月第 2 次付款,再过 4 个月第 3 次付款

注:1、每种方案中每次所付款额相同; 2、规定每月利率为 0.8%,每月利息按复利计算.

按各种方案付款每次需付款额分别是多少? 2、小王想用分期付款的方式购买一套价值 18 万元的商品房.首付 8 万元,贷款期限为 20 年,银行住房 贷款年利率为 7.1%,按复利计息.如果小王按年还款,每年还款的数额相同,那么每年需要还款多 少元?小王为购买此房共要付房款多少元?

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复习题一 A组 1、数列 ?an ? 中,

? 1 奇 数) ? 2n ? 1 (n为 an ? ? 1 ?(? ) n ?1 (n为 偶 数 ) ? 2
试写出这个数列的前 5 项. 2、已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2 ( n ? 2 ) ,且 a1 ? 1 ,则这个数列的第 10 项为( A.18 B.19 C.20 D.21 ) )

3、等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? A.48 B.49

1 , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33 ,则 n 为( 3
C.50 D.51

4、 等差数列 ?an ? 中, 已知公差 d ? A.170 B.150

1 , 且 a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60 , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 等于 ( 2
C.145 D.120 )



5、在 a 和 b 两数之间插入 n 个数,使它们与 a 、 b 组成等差数列,则该数列的公差为( A.

b?a n

B.

b?a n ?1

C.

a?b n ?1

C.

b?a n?2

6、⑴若数列 ?an ? , ?bn ? 是等差数列,公差分别为 d1 , d 2 ,则数列 ?a 2 n ?, ?an ? 2bn ?是不是等差数列? 如果是,公差是多少? ⑵若数列 ?an ? ,是等差数列, m ? n ? p ? q , m, n, p, q ? N ? ,试分析 am ? an 与 a p ? aq 的关系. 7、观察下面的数阵,容易看出,第 n 行最右边的数是 n ,那么第 20 行最左边的数是几?第 20 行所有数 的和是多少?
2

1 5 2 6 3 7 4 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ? ? ? ? ? ? ?
8、小明玩投放石子游戏,从 A 出发走 1m 放 1 枚石子,第二次走 4m 又放了 3 枚石子,第三次走了 7m 再 放 5 枚石子,再走 10m 放 7 枚石子??照此规律最后走到 B 处放下 35 枚石子.从 A 到 B 的路程有多 远?

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9、已知等比数列 ?an ? 中, an ? 2 ? 3n?1 ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和为( A. 3 ? 1
n



B. 3(3n ? 1)

C.

1 n (9 ? 1) 4

D.

3 n (9 ? 1) 4

10、一张报纸,其厚度为 a ,面积为 b ,现将此报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7 次.这是报纸的厚 度和面积分别为( A. 8 a , b ) B. 64a ,

1 8

1 b 64

C. 128 a ,

1 b 128

D. 256 a ,

1 b 256

11、生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约 10%的能量能够流到下一个营养级.在

H1 ? H 2 ? H 3 这个生物链中,若能使 H 3 获得 10 kJ 的能量,则需 H 1 提供的能量为(
A. 10 kJ
5



B. 10 kJ

4

C. 10 kJ

3

D. 10 kJ

2

12、1999 年 11 月 1 日起,全国储蓄存款开始征收利息税,利息税的税率是 20%,即储蓄利息的 20%由各 银行储蓄点代扣代收.某人在 1999 年 11 月存入人民币 1 万元,存期一年,年利率为 2.25%,到期 时可得税后本利和共计( A.10225 B.10180 )元 C.11800 D.12250

13、某国有企业随着体制改革和技术创新,给国家创造的利税逐年增加.下面是近四年的利税值(万元) : 1000,1100,1210,1331 如果按照这个规律发展下去,下一年应给国家创造多少利税? 14、⑴求数列 1

1 1 1 , 2 , 3 ,?前 n 项之和; 4 8 2

⑵求数列 5 , 55 , 555 ,?前 n 项之和. 15、某城市的绿化见识有如下统计数据: 年份 绿化覆盖率/% 1999 17.0 2000 17.8 2001 18.6 2002 19.4

如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过 23.4%? 16、⑴若 ?an ? , ?bn ? 都是等比数列,则数列 ?a 2 n ?, ?an ? bn ?是等比数列吗? ⑵已知 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ,试比较 am ? an 与 a p ? aq 的关系.

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B组 1、 ?an ? 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则数列 ?an ? 的首项是( ) A.1 B.2 C.4 D.6

2、一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了 5 个伙伴;第二天,6 只蜜蜂飞出去各自带了 5 个伙 伴??如果这个过程继续下去,那么第 6 天所有的蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( A. )只.

6(6 6 ? 1) 6 ?1

B. 6

6

C. 6

3

D. 6

2

3、 ?an ? 为等差数列, S n 为前 n 项和, S5 ? S 6 , S 6 ? S 7 , S 7 ? S8 ,则下列说法错误的是( A. d ? 0 B. a7 ? 0 C. S 9 ? S 5 D. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值



4、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一” .如 (1101 ) 2 表示二进制数,将它 转换成十进制的形式是 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 13,那么将二进制数 11 ? 1 转换成十进制数 ? ? ?
3 2 1 0

16位

的形式是( A. 2
17

) B. 2
16

?2

?1

C. 2

16

?2

D. 2

15

?1

5、假设老鼠每月生子一次,每次生 12 只,均雌雄各半,小鼠下月又生小鼠.现在有雌雄两只老鼠,在 1 月生小鼠 12 只, 2 月亲代和子代每对又生 12 只, 此后每月, 子又生孙, 孙又生子??那么到 12 月份, 你能算出总共有多少只老鼠么?

6、如图,有边长为 1 的正方形,取其对角线的一半,构成新的正方形,再取新正方形对角线的一半,构 成正方形??如此形成一个边长不断缩小的正方形系列. ⑴求这一系列正方形的面积所构成的数列,并证明它是一个等比数列; ⑵从原始的正方形开始,到第 9 次构成新正方形时,共有 10 个正方形, 求这 10 个正方形面积的和; ⑶如果把这一过程无限制的延续下去,你能否预言一下,全部正方形面积相加“最终”会到达多少? 7、摄影胶片绕在盘上,空盘时盘心直径 80mm,满盘时直径为 160mm,已知胶片厚度是 0.1mm.则满 盘时,一盘胶片长约为多少?(以胶片外侧为半径计算)

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C组 1、在一次人才招聘会上,甲、乙两家公司开出的工资标准分别是: 甲公司:第一年月工资 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元; 乙公司:第一年月工资 2000 元,以后每年月工资在上一年月工资基础上递增 5%. 设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作. ⑴若此人分别在甲公司或乙公司连续工作 n 年,则他在两公司第 n 年的月工资分别为多少? ⑵若此人在一家公司连续工作 10 年,则从那家公司得到的报酬较多? 2、假设某市 2004 年新建住房 400 万㎡,其中有 250 万㎡是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年 新建住房面积平均比上一年增长 8%. 另外, 每年新建住房中, 中低价房的面积均比上年增加 50 万㎡. 请 问: ⑴该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)到哪一年底将首次不少于 4750 万 ㎡? ⑵到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积约占该年新建住房面积的百分之几?

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第二章 解三角形
第一节 正弦定理与余弦定理 1.1 正弦定理 例 1、某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩如图,其一角已破损.现测得如下数据: BC ? 2.57 cm ,

CE ? 3.57 cm , BD ? 4.38cm , B ? 45? , C ? 120 ? .为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精
确到 0.01 cm ) .

E

D

B

C

例 2、台风中心位于某市正东方向 300km 处,正以 40km/h 的速度向西北方向移动,距离台风中心 250km 范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时 间(结果精确到 0.1h)

练习 1 1、在△ ABC 中, a ? 0.15 , C ? 103 .4? , B ? 75.85? ,求 c 的长. 2、在△ ABC 中, c ? 4 , a ? 2 , C ? 45 ? ,则 sin A ? .

y
例 3、如图,在△ ABC 中, AB ? ( x, y) , AC ? (u, v) . 求证:△ ABC 的面积 S ?

B( x, y) C (u , v)

1 | xv ? yu | . 2

A O
练习 2

x

1、在△ ABC 中, a ? 2 , b ?

2, A ?

?
4

,则 B ?

. )

2、在△ ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是( A. a ? 7 , b ? 14 , A ? 30? C. a ? 72 , b ? 50 , A ? 135 ?

A

B. a ? 30 , b ? 25 , A ? 150 ? D. a ? 30 , b ? 40 , A ? 26?

O
B

3、如图,△ ABC 中,是半径为 R 的⊙ O 的内接正三角形.求△ ABC 的边长 和△ OBC 的外接圆半径. 4、△ ABC 的三个顶点是 A(?5,0) , B(3,?3) , C (0,2) .求△ ABC 的面积.

C

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1.2 余弦定理 例 4、如图所示,有两条直线 AB 和 CD 相交成 80°角,交点是 O .甲、乙两人同时从点 O 分别沿 OA ,

OC 方向出发,速度分别是 4km/h,4.5km/h.3 时后两人相距多远(结果精确到 0.1km)?
C Q

80°

B O D 例 5、如图是公元前约 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 2 ,

P

A

3 , 5 ,?的图形.试计算图中线段 BD 的长度及 ?BAD 的大小(长度精确到 0.1,角度精确到
1°)

A 1

3

2
1

B

D

1

C

练习 1、在△ ABC 中,已知 b ? 1 , c ? 2 , A ? 60? ,则 a ? 2、△ ABC 的三边之比为 3 : 5 : 7 .求这个三角形的最大角. 3、在△ ABC 中,已知 b ? 2.730 , c ? 4.297 , A ? 58?30? .解这个三角形(边长精确到 0.001,角度 精确到 1′) . .

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习题 2—1 A组 1、在△ ABC 中,若 a ? 18 , b ? 24 , A ? 44 ? ,则此三角形解的情况为( A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不能确定 ) D.30° )

2、在△ ABC 中,若 (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? 3abc ,则 A ? ( A.150° B.120° C.60°

3、某体育学校决定修建一条三角形多功能比赛通道如图, AB 段是 跑到, BC 段是自行车道, CA 段是游泳道.试根据图中数据, 计算游泳道的长度(精确到 1m) .

4、平行四边形两对角线的长分别为 a 和 b ,两对角线的一个交角为 ? , 0? ? ? ? 90 ? .求该平行四边形的 面积.
2 2 2 5、在△ ABC 中,若 c ? a ? b ,则△ ABC 是直角三角形且 C ? 90? .试问:

⑴ a, b, c 满足什么关系时,△ ABC 是锐角三角形或钝角三角形? ⑵已知锐角三角形的边长分别为 1,2, a .求实数 a 的取值范围. 6、 F1 , F2 是作用于同一质点的两个力, F1 ? 86 N , F2 ? 83 N ,且 F1 , F2 的夹角为 77°12′.求 合力 F 的大小及合力与较大力所成的角 ? (力的大小精确到 1 N ,角度精确到 1°) 7、如图,某林场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点 A 和 B .某日两个观测点的林场人员分 别观测到 C 处有险情.在 A 处观测到火情发生在北偏西 40°方向,而在 B 处观测到火情发生在北偏 西 60°方向, 已知 B 在 A 的正东方向 10km 处. 那么火场 C 与两观测点 A ,B 的距离分别是多少 (精 确到 0.1km)?

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B组 1、下面是一道选择题的两种解法,两种解法看似都对,可结果并不一致,问题出在哪里?在△ ABC 中,

a ? x , b ? 2 , B ? 45? ,若△ ABC 有两解,则 x 的取值范围是( )
A. ?2,??? B. ?0,2? C. 2,2 2

?

?

D.

?

2 ,2

?

解法 1 △ ABC 有两解, a sin B ? b ? a , x sin 45? ? 2 ? x , 即 2 ? x ? 2 2 ,故选 C.

解法 2

a b a sin B x sin 45? 2x ? , sin A ? , ? ? sin A sin B b 2 4
△ ABC 有两解, b sin A ? a ? b , 2 ?

2x ? x ? 2 ,即 0 ? x ? 2 ,故选 B. 4
8 8

2、地球与金星的公转轨道分别是直径为 2.98? 10 km 和 2.14 ? 10 km 的近似圆,圆心为太阳.某时刻, 地球和金星的连线与地球和太阳的连线成 18°的角(如图) .求此时地球与金星之间的距离(地球、 金星、太阳均视为点,结果保留 3 个有效数字) .

金星 地球 18° 太阳

3、运用函数 y ? sin x , x ? ?0, ? ?的图像及正弦定理,说明平面几何中的定理“在三角形中,较大的边所 对的角也较大,较小的边所对的角也较小”的正确性.

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第二节 三角形中的几何计算 例 1、如图所示,在梯形 ABCD 中, AD // BC , AB ? 5 , AC ? 9 , ?BCA ? 30? , ?ADB ? 45? .求

BD 的长.
A 5

45°

D

9 30°

B

C

例 2、一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀速直线运动,到达 B 点时,发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 作匀速直线滚动.如图所示,已知 AB ? 4 2dm , AD ? 17 dm ,

?BAC ? 45? .若忽略机器人原地旋转所需时间,则该机器人最快可在何处截住足球?
B
45°

A

C

D

例 3、如图所示,已知⊙ O 的半径是 1,点 C 在之间 AB 的延长线上, BC ? 1 ,点 P 是⊙ O 上半圆上的 一个动点,以 PC 为边作等边三角形 PCD ,且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧. ⑴若 ?POB ? ? ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 ? 的函数; ⑵求四边形 OPDC 面积的最大值. P D

?
A 练习 如图,在 O B C

ABCD 中, ?DAB ? 45? .求证: AC 2 ? BD2 ? AB4 ? AD4 .
D C

A

B

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习题 2—2 A组 1、在△ ABC 中, A ? 60? , b ? 1 , S ?ABC ? 3 ,则

a 的值为( sin A



A.

8 3 81

B.

26 3 3

C.

2 39 3

D. 2 7

2、△ ABC 中, B ? 60? , C ? 45 ? , BC ? 8 , D 是边 BC 上的一点,且 BD ? 长为( ) B. 4( 3 ? 1) C. 4(3 ? 3)

3 ?1 BC ,则 AD 的 2

A. 4( 3 ? 1)

D. 4(3 ? 3)

3、在△ ABC 中,已知 B ? 45? , D 是 BC 边上的一点, AD ? 5 , AC ? 7 , DC ? 3 .求 AB 的长. A

2 4、 在△ ABC 中,AB ? 2 ,A ? 60? ,F 为 AB 的中点, 且 CF ? AC ? BC ,

B

D

C

求 AC 的长.

C

A

F

B

5、如图,在△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 4 ,线段 CB 的垂直平分线交线段 AC 于点 D , DA ? DB ? 1 , 求 BC 的长及 cos ?ACB 的值. D C

A

B

6、如图,在△ ABC 中, AB ? AC ? 3 , BC ? 2 , B 的角平分线交过点 A 且与 BC 平行的线于 D .求 △ ABD 的面积. A D

B

C

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B组 1、如图,一条直线上有三点 A, B, C 点 C 在点 A 与点 B 之间,点 P 是此直线外一点.设 ?APC ? ? ,

?BPC ? ? .
求证:

P

sin(? ? ? ) sin ? sin ? ? ? . PC PB PA
A

? ?
B C

2、如图,圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB ? 2 , BC ? 6 , CD ? DA ? 4 .求四边形 ABCD 的面 积. A B 2 6 C 4 4 D

3、在△ ABC 中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的 2 倍.求此三角形的三边长.

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第三节 解三角形的实际应用举例 例 1、自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠 BC 的长度,如图所示.已知车厢的最大仰 角为 60°(指车厢 AC 与水平线夹角) ,油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95m, AB 与水 平线之间的夹角为 6°20′, AC 长为 1.40m.计算 BC 的长度(结果精确到 0.01m) . C

A

60°

6 ?2 0 ?

B

例 2、如图所示,两点 C , D 与烟囱底部在同一水平直线上,在点 C1 , D1 ,利用高为 1.5m 的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是 ? ? 45? 和 ? ? 60? ,C , D 间的距离是 12m,计算烟囱的高 AB (结果精确到 0.01) . B

C1 C

?

D1 D

?

A1
A

练习 1 1、从地平面 A, B, C 三点测得某山顶的仰角均为 15°,设 ?BAC ? 30? ,而 BC ? 200 m .求山高(结果 精确到 0.1m) 2 、 如 图 所 示 , 在 加 工 缝 纫 机 挑 线 杆 时 , 需 要 计 算 A, C 两 孔 中 心 的 距 离 , 已 知 BC ? 60 .5mm ,

AB ? 15 .8mm , ?ABC ? 80? ,则 AC ?

. mm(结果精确到 0.01 mm)

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例 3、如图,是曲柄连杆机构的示意图.当曲柄 CB 绕点 C 旋转时,通过连杆 AB 的传递,活塞作直线往 复运动. 当曲柄在 CB0 位置时, 曲柄和连杆成一条直线, 连杆的端点 A 在 A0 处. 设连杆 AB 长为 l mm, 曲柄 CB 长为 r mm, l ? r . ⑴当曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转角为 ? 时,其中 0? ? ? ? 360 ? ,求活塞移动的距离(即连杆的端 点 A 移动的距离 A0 A ) ; ⑵当 l ? 340 mm , r ? 85 mm , ? ? 80? 时,求 A0 A 的长(结果 精确到 1 mm) .

B 80° C

A0

A

B0

例 4、如图所示, a 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在 a 上点 A 处有一个水声监测点,另两个监测 点 B, C 分别在 A 的正东方 20km 处和 54km 处.某时刻,监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波, 8s 后监测点 A ,20s 后监测点 C 相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是 1.5km/s. ⑴设 A 到 P 的距离为 x km,用 x 表示 B, C 到 P 的距离,并求 x 的值; 北 ⑵求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离(结果精确到 0.01km) . a

D A

P B C

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练习 2 1、下图为曲柄连杆机构示意图,当曲柄 OA 在水平位置 OB 时,连杆端点 P 在 Q 的位置.当 OA 自 OB 按 顺时针方向旋转角度 ? 时, P 和 Q 之间的距离是 x ,已知 OA ? 25cm , AP ? 125 cm .在下列条件 下求 P 和 Q 之间的距离(结果精确到 0.1 cm ) . ⑴ ? ? 50? ; ⑵ ? ? 90? ; ⑶ ? ? 135 ? ; ⑷ OA ? AP .

x
Q P B O

A

2、某观测站 B 在城 A 的南偏西 20°的方向,由 A 城出发的一条公路走向是南偏东 40°,在 B 处测得公 路上距 B 31km 的 C 处有一人正沿公路向 A 城走去, 走了 20km 之后到达 D 处, 此时 B, D 之间的距离 为 21km.这个人还要走多少路才能到达 A 城? N A 40° 20° D

B C

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习题 2—3 A组 1、从甲处望乙处的仰角为 ? ,从乙处望甲处的俯角为 ? ,则 ? 与 ? 的关系为( A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? ? 90? D. ? ? ? ? 180? )

2、海面上有 A, B, C 三个灯塔, AB ? 10 n mile ,从 A 望 C 和 B 成 60°视角,从 B 望 C 和 A 成 75°视 角,则 BC ? ( ) n mile . ( n mile 表示海里,1 n mile =1852m)

A. 10 3

B.

10 6 3

C. 5 2

D. 5 6

A

B

3 、 如 图 为 一 角 槽 示 意 图 , 已 知 AB ? AD , AB ? BE , 并 量 得

?

C

?

AB ? 85 mm, BC ? 78 mm, AC ? 32 mm,则 ? ?

, D E

??

(精确到 0.1°)

4、为了测量上海东方明珠塔的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5°,前进 38.5m 后,到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0°.试计算东方明珠塔的高度(精确大 1m) .

B组 1、如图,某日中午 12:00 甲船以 24km/h 的速度沿北偏东 40°的方向驶离码头 P ,下午 3:00 到达 Q 地.下 午 1:00 乙船沿北偏东 125°的方向匀速驶离码头 P ,下午 3:00 到达 R 地.若 R 在 Q 的正南方向,则 乙船的航行速度是多少(精确到 1km/h)? 2、如图飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 20250m,速度为 189km/h,飞行 员先看到山顶的俯角为 18 ?30? ,经过 960s 后,又看到山顶的俯角为 81 ? .求山顶的海拔高度(结果 精确到 1m) . Q 北

40° P 125°

第1题

R

第2题

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复习题一 A组 1、选择最佳方法求下列图形中的 x (角度精确到 1°,边长精确到 0.1) .
30° 10 35° ⑴ 42° x

x
12

120° 5

x
6

8





10 145° 14 4 3

x
2 ⑷ ⑸

x

2、求下列图形中的 x (角度精确到 1°,边长精确到 0.1) .

15

25

x
15 20

6 5 5 7

8 5

x

9 9

5 3 3

30°

40° 5 55°

x

x

25° 60° 35°









3、如图,有两条相交成 60°角的直路 xx ? , yy ? ,交点是 O ,甲、乙分别在 Ox , Oy 上,起初甲在离 O 点 3km 的 A 点,乙在离 O 点 1km 的 B 点,后来甲、乙两人同时以 4km/h 的速度,分别沿 xx ? 的方向 和 yy ? 的方向步行. ⑴起初两人的距离是多少? ⑵用含 t 的式子表示 t h 后两人的距离. ⑶什么时间两人的距离最短?

y B

60°

x?

P

O

A

x

y?

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4、在航海中,习惯用 n mile 表示距离,用 kn 表示航海速度,1 kn = 1 n mile /h,1 n mile =1852m.如图, 一艘船以 32.2km 的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 20°方向,30 min 后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 65°方向上.求灯塔 S 和 B 处的距离(结果精确到 0.1 n mile ) . N S
65°

B

20°

A 长 4 cm ,BD 长 3 cm .求 5、如图,已知梯形 ABCD 的上底 AD 长 1 cm ,下底 BC 长 4 cm ,对角线 AC 梯形 ABCD 的两腰 AB , CD 的长及面积. A D

B

C

6、如图, AB ? 3.2 , AC ? 4.8 , AB 与 AC 的夹角为 50°.求 | AB ? AC | 及 AB ? AC 与 AB 的夹角 (长度精确到 0.1,角度精确到 1′) .
B 3.2 50° D A 4.8

C

7、 如图,OA ? OB ? 1 ,OA 与 OB 的夹角为 125°,OC 与 OA 的夹角为 25°,OC ? 5 . 用 OA 和 OB 表示 OC (结果精确到 0.001) . C B
125°

O

25°

A

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B组 1、如图,某市三个新兴工业小区 A, B, C 决定平均投资共建一个中心医院 O ,使得医院到三个小区的距离 相等,已知这三个小区之间的距离分别为 AB ? 4.3 km , BC ? 3.7 km , CA ? 4.7 km .该医院应 建在何处(精确到 0.1 km 或 1°) . A

· O B C

2、如图, O 是正方形 ABCD 内的一点,且 ?OBC ? ?OCB ? 15? .求证: ?OAD 是等边三角形. A D

O B C

3、在 ?ABC 中, BC ? a , CA ? b , AB ? c ,当 c ? b : b ? a : a ? c ? 1 : 2 : 3 时,求 ?ABC 的三个内 角(结果精确到 1°) .

? ?? ?? ?

C组 1、如图,设一条河宽 800m,河水流速为 4km/h, A, B 两镇隔河相望, C 镇位于 B 镇上游 600m 处.某人 乘小艇想从 A 镇去 C 镇,若小艇的最快航速为 10km/h,则他要在最短时间到达 C 镇,应该按什么路 线航行?并求出最短时间(精确到 1°或 1min) . D C B

?
A 2、在一块直径为 30Cm 的圆形铁板上,截去直径分别为 20Cm,10Cm 的圆形铁板各一块,现要求在所剩 余的铁板中再截出同样大小的圆形铁板两块.求这两块圆形铁板的最大半径.

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第三章 不等式
第一节 不等关系 1.1 不等关系 例 1、2003 年 10 月 15 日 9 时,我国“神舟”五号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功,实现了中华民 族千年的飞天梦想.这是自 1970 年 4 月 24 日成功发射“东方红一号”人造卫星以来,我国航天史上 又一座新的里程碑,我国已成为继俄、美之后,世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船 的国家. “东方红一号”与“神舟”五号部分参数的对比表:
近地点 s/km “东方红一号” ( a ) 439 “神舟”五号( b ) 200 远地点 s′/km 2384 350 绕地球一周 t/min 114 90 飞船质量 m/kg 173 7790

a 与 b 进行比较

s a ? sb

例 2、 《铁路旅行常识》规定: “一、随同成人旅行身高 1.2~1.5 米的儿童,享受半价客票(以下称儿童票) ,超过 1.5 米时应买全 价票。每一成人旅客可免费带一名身高不足 1.2 米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票。 …… 十、旅客每人免费携带品的体积和质量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 160 厘米,杆状 物品不超过 200 厘米,质量不超过 20 千克……” 设儿童身高为 h (单位:m) ,物品外部尺寸长、宽、高之和为 p (单位:Cm) ,请在下表空格内填上 对应的数学符号( ? , ? , ? , ? ) ,并与同学交流.
文字表述 符号表示 1.2~1.5m 超过 1.5m 不足 1.2m 不超过 160Cm

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例 3、如图给出的是 2001 年我国长江流域部分省、自治区、直辖市水质状况直方图.

请根据图中提供的信息, 依河流水质状况, 将各省、 自治区、 直辖市污染程度按从小到大的顺序 ( ?, ? ) 进行排列.

例 4、如图, y ? f ?x ? 反映了某公司产品的销售收入 y 万元与销售量 x t 的关系, y ? g ?x ? 反映了该公司 产品的销售成本与销售量的函数关系.试问: ⑴当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本) ; ⑵当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本)?

y 万元

y ? f ?x ? y ? g ?x ?

b

O

a

x /t

例 5、某用户计划购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过 500 元.根据需 要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,问:软件数与磁盘数应满足什么条件?

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练习 1、航天育种是航天技术发展的产物,航天育种蔬菜个头更大,单产量更高.如太空黄瓜平均长 40Cm,重 1000g.太空茄子果实周长 62Cm,重 2200g.请同学们自己测量普通蔬菜的有关数据,并与太空蔬菜 进行比较. 2、有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形.从图 形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母 a , b 的不等式表示出来.

a

a
b

a

b
⑴ 1.2 不等关系与不等式 例 6、试比较 ?x ? 1??x ? 5?与 ?x ? 3? 的大小.
2

b


例 7、利用不等式的主要性质证明下列问题. ⑴当 x ? 0 时,函数 y ? x 2 是增加的; ⑵若 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,则等比数列 ?an ? 是递减数列.

例 8、建筑设计规定,居民住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比 值应不小于 10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面 积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.

练习
2 1、设 a ? x ? x , b ? x ? 2 ,则 a 与 b 的大小关系为(



A. a ? b

B. a ? b

C. a ? b

D.与 x 有关

2、甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食,两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方 式也不同.其中,甲每次购买 1000kg,乙每次购粮用去 1000 元,谁的购粮方式更合算?
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习题 3—1 A组 1、设 m ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , n ? ?5 ,则 m, n 的大小关系是( A. m ? n B. m ? n C. m ? n )

D.与 x, y 取值有关 ) D. a ? c ? a ? d

2、若 a ? b , c ? d ,则下列不等关系中不一定成立的是( A. a ? b ? d ? c B. a ? d ? b ? c

C. a ? c ? b ? c

3、如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19km,那么在 8 天内它的行程就超过 2200km;如果它每天行驶 的路程比原来少 12km, 那么它行同样的路程就得花 9 天多的时间. 这两汽车原来每天行驶的路程 (km) 范围是( ) B. ?258 ,260? C. ?257,260? D. ?256,260?

A. ?259,260?

4、 如图, 试用直观的方法比较以 a1 ? a 2 为边长的正方形的面积与四个阴影部 分的面积的大小,并把这种大小关系用不等式表示出来. 5、某粮食收购站分两个等级收购小麦.一级小麦 a 元/kg,二级小麦 b 元/kg (b ? a) .现有一级小麦 m kg,二级小麦 n kg,若以两种价格平均数收 购,是否合理?为什么?

a1 a2 a1 a2

B组 1、一家庭若干人去某地旅游,甲旅行社规定户主买全票一张,其余人享受半价优惠;乙旅行社规定家庭 旅游算集体票,按原价的

2 优惠.这两家旅行社原价是一样的,试就家庭里的人数,分别写出两家旅 3

行社的收费表达式,并讨论哪家旅行社更优惠,请画出函数示意图. 2、试比较 x 2 ? 2x ? 1 x 2 ? 2x ? 1 与 x ? x ? 1 x ? x ? 1 的大小.
2 2

?

??

? ?

??

?

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第二节 一元二次不等式 2.1 一元二次不等式的解法 例 1、解不等式: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 .
2

例 2、解不等式: 9 x ? 6 x ? 1 ? 0 .
2

例 3、解不等式: x ? 4 x ? 5 ? 0 .
2

练习 1 1、 如图, 请根据下列二次函数 y ? f ?x ? ,y ? g ?x ? ,y ? h?x ? 的图像, 分别写出不等式 f ?x ? ? 0 , g ?x ? ? 0 和 h?x ? ? 0 的解集.

y

y ? f ?x ?

y

y

1

y ? g ?x ?

y ? h?x ?
?1 O

O

x

?3

O

x

4

x







2、画出下列函数的图像,并分别确定使函数值大于零的 x 的取值范围. ⑴ y ? x ? 3x ? 3 ;
2

⑵ y ? 4 x ? 12x ? 9 ;
2

⑶ y ? 6 x ? 5x ? 6 .
2

3、解下列不等式: ⑴ 2 x ? 13x ? 20 ? 0 ;
2

⑵ 7 x ? 5x ? 1 ? 0 ;
2

⑶ 4x ? 4x ? 1 ? 0 .
2

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2

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例 4、解不等式: ? 2 x ? x ? 1 ? 0 .

例 5、解不等式: ? x ? 4 x ? 4 ? 0 .
2

练习 2 1、若 9 ? x ? 0 ,则(
2

) B. ? 3 ? x ? 0 ) D. ?? ?,?2? ? ?? 1,??? C. ? 3 ? x ? 3 D. x ? ?3 或 x ? 3

A. 0 ? x ? 3

2、不等式 ?x ? 1??2 ? x ? ? 0 的解集为( A. ?? 2,1? 3、解下列不等式: ⑴ ? x ? 8x ? 2 ? 0 ;
2

B. ?? 1,2?

C. ?? ?,?1? ? ?2,???

⑵ 12x ? 4 x ? 9 ? 0 ;
2

⑶ ?5 ? x ??x ? 4? ? 18 ;

⑷ ?3 ? x ??x ? 5? ? 0 .

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2

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2

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例 6、设 A, B 分别是不等式 3x ? 6 ? 19x 与不等式 ? 2 x ? 3x ? 5 ? 0 的解集,试求 A ? B 、 A ? B .

例 7、解关于 x 的不等式: x 2 ? (2m ? 1) x ? m 2 ? m ? 0 .

例 8、解关于 x 的不等式: x 2 ? ?1 ? a?x ? a ? 0 .

练习 3
2 1、已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的解集是 ? ,则(

) D. a ? 0 , ? ? 0

A. a ? 0 , ? ? 0

B. a ? 0 , ? ? 0

C. a ? 0 , ? ? 0

2、设 M ? x | x 2 ? 2x ? 15 ? 0 , N ? ?x | ?1 ? x ?(6 ? x) ? ?8?,求 M ? N , M ? N .
2 3、当 a ? 0 时,画出求解 ax ? bx ? c ? 0 的框图.

?

?

4、解关于 x 的不等式: x ? m ? m x ? m ? 0 .
2 2 3

?

?

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2.2 一元二次不等式的应用 例 9、 m 为何值时,方程 x 2 ? (m ? 3) x ? m ? 0 有实数解?

例 10、解下列不等式: ⑴

x ?1 ?0; x?3



5x ? 1 ? 3. x ?1

例 11、解不等式: ?x ? 1??x ? 2??x ? 3? ? 0 .

练习 1 1、 m 为何值时,方程 mx2 ? ?2m ? 1?x ? m ? 0 有两个不相等的实数解? 2、已知函数 y ? ?a ? 2?x 2 ? 2?a ? 4?x ? 4 的图像都在 x 轴上方,求实数 a 的取值的集合. 3、解下列不等式: ⑴

x?2 ? 0; 3x ? 4



2x ? 3 ? 1. x ?1

4、解下列不等式: ⑴ ?x ? 1??x ? 3??x ? 5? ? 0 ; ⑵ ?3x ? 1??x ? 3?( x ? 1) ? 0 ; ⑶ ?3x ? 5??x ? 1??x ? 2? ? 0 .

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例 12、国家原计划以 2400 元/t 的价格收购某种农产品 m t.按规定,农户向国家纳税为:每收入 100 元 纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点,即 8%) .为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规 律,税率降低 x 个百分点,收购量增加 2 x 个百分点.试确定 x 的范围,使税率调低后,国家此项税 收总收入不低于原计划的 78%.

练习 2 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离(m)与速度(km/h)的平方及汽车总质量成正比,设某辆卡 车不装货物以 59km/h 的速度行驶,从刹车到停车走了 20m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发 现前面 20m 处有障碍物,这时为了能在离障碍物 5m 以外处停车,最大限制时速应是多少(结果保留整数, 设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过 1s)?

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习题 3—2 A组 1、下面四个不等式中解集为 R 的是( A. ? x ? x ? 1 ? 0
2



B. x ? 2 5x ? 5 ? 0
2

C. x ? 6 x ? 10 ? 0
2

D. 2 x ? 3x ? 4 ? 0
2

2、若 x ? R ,则下列结论正确的是( A. x ? 4 的解集是 ?x | x ? ?2?
2



B. x ? 16 ? 0 的解集是 ?x | x ? 4?
2

C. ?x ? 1? ? 2 的解集是 x | 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2
2
2

?

?
2

D . 设 x1 , x 2 为 ax ? bx ? c ? 0 的 两 个 实 根 , 且 x1 ? x 2 , 则 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 是

?x | x1 ? x ? x2 ?
2 3 、 已 知 两 个 圆 的 半 径 分 别 为 2 和 3 , 圆 心 距 d 满 足 d ? 6d ? 5 ? 0 , 则 这 两 个 圆 的 位 置 关 系


2

. . .

4、不等式 2 ? x ? 2 x ? 8 的整数解集是

5、若对于任意实数 x ,不等式 x 2 ? 2(1 ? k ) x ? 3 ? k ? 0 恒成立,则 k 的取值范围是 6、通过函数图像比较下列式子在取不同的 x 值时的大小关系. ⑴ 2x ? x ? 5 与 6 ;
2

⑵ x ? 3 与 3x ;
2

⑶ x ?1 与
2

1 2 x . 2

7、解下列不等式: ⑴ 2x ? x ? 1 ? 0 ;
2

⑵ 3x ? x ? 6 ? 0 ;
2

⑶ 5 x ? 20 ? x ;
2

⑷ ? 2 x ? 3x ? 7 ? 0 ;
2

⑸ ? 3x ? x ? 6 ? 0 ;
2

⑹ x ? 20 ? x .
2

8、解下列不等式: ⑴

x ?1 1 ? ; x ?1 2

⑵ (2 x ? 5)(x ? 3)(x ? 4) ? 0 .

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B组 1、解关于 x 的不等式: ⑴ x( x ? a ? 1) ? a ;

2 2 ⑵ x ? ax ? 2a ? 0 ( a ? 0 ) ;

⑶ a 2 x ? b 2 (1 ? x) ? ?ax ? b(1 ? x)? ( a ? b ) .
2

2、已知不等式 (m 2 ? 4m ? 5) x 2 ? 4(m ? 1) x ? 3 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的范围.

3、某地要建一个水库,设计时,水库最大蓄水量为 128 000m?,在洪水爆发时,预测注入水库的水量 S n (m ?) ,与天数 n ( n ? N , n ? 10 )的关系是 S n ? 5000 n(n ? 24) ,此水库原有水量为 80 000m?, 泄水闸每天泄水量为 4 000m?, 若山洪爆发的第一天就打开泄水闸, 试问这 10 天中堤坝会发生危险吗? 若会,计算第几天发生危险;若不会,说明理由(水库蓄水量超过最大蓄水量时堤坝会发生危险) .

4、 去年, 某地区用电量为 a KW· h, 电价为 0. 8 元/ (KW· h) , 今年计划将电价降到 0. 55~0. 75 元/ (KW· h) 之间.用户心理承受价位是 0.4 元/(KW·h) .下调电价后,实际电价和用户心理价位仍然存在差值, 假设新增的用电量与这个差值成反比(比例系数为 0.2 a ) ,地区的电力成本价为 0.3 元/(KW·h) , 电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于 20%?

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第三节 基本不等式 3.1 基本不等式 例 1、设 a , b 均为正数,证明不等式: ab ?

2 1 1 ? a b



说明:这个不等式的一种几何解释。 如图,设 AC ? a , CB ? b , CD ? AB 交⊙ O 上半圆于 D ,过 C 作 CE ? OD 交 OD 于 E , 在 Rt?OCD 中,由射影定理可知
DC2 ? DE ? OD

D

即 DE ?

DC 2 ab 2 ? ? 。 a?b 1 1 OD ? 2 a b

E O C B

由 DC ? DE ,得 ab ?

2 1 1 ? a b

,当且仅当 a

? b 时,等号成立。

A

练习 如图,正方形的边长为 a ? b ( a ? 0 , b ? 0 ) ,请你利用 OA ? OB ? BA 写出一个含有 a , b 的不等 式来,并与前面的不等式比较,与同学交流体会. A

a

b
O

B

a

b

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3.2 基本不等式与最大(小)值 例 2、设 x, y 为正实数,且 2 x ? 5 y ? 20 ,求 u ? lg x ? lg y 的最大值.

例 3、已知 y ? x ?

1 (x ? 0) ,证明: y ? 2 . x

练习 1 1、设 x, y ? R ,且 x ? y ? 5 ,则 3 ? 3 的最小值是(
x y



A. 0

B. 6 3

C. 4 6 )

D. 18 3

2、在下列函数中,最小值是 2 的为( A. y ? x ?

1 x

B. y ? 3 x ? 3? x D. y ? sin x ?

C. y ? lg x ? 3、已知 0 ? x ?

1 ( 1 ? x ? 10 ) lg x

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

3 ,试用不同的方法求函数 y ? 2 x(3 ? 2 x) 和 y ? x(3 ? 2 x) 的最大值. 2

例 4、如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可以利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. ⑴现有可围 36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? ⑵若使每间虎笼面积为 24 ㎡,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小?

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例 5、某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第 一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

练习 2 1、制作一个面积为 1 ㎡,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济(够用, 又耗材最少)的是( A.4.6m ) C.5m D.5.2m

B.4.8m

2、要挖一个面积为 432 ㎡的矩形鱼池,周围长、宽分别为 3m 和 4m 的堤堰,要想占地总面积最小,鱼池 的长和宽应为多少?

3、某种变压器的截面是正十字形(如图所示) ,为了保证有一定得磁通量,需要确定截面积,如果十字形 芯片的截面积为 4 5 cm 应如何设计十字形的长 y 及宽 x , 才能使正十字形外接圆的周长最短 (从而 使绕在铁芯上的铜丝最短)?
2

x

y

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习题 3—3 A组 1、已知 0 ? x ? 1 ,则 x(3 ? 3x) 取最大值时 x 的值为( A. )

1 3

B.

1 2

C.

3 4

D.

2 3


2、设 x, y 是满足 2 x ? y ? 20 的正数,则 lg x ? lg y 的最大值是( A. 50 B. 20 C. 1 ? lg 5 D. 1

3、若 a ? b ? 1 , P ? lg a ? lg b , Q ? A. R ? P ? Q B. P ? Q ? R

1 a?b (lg a ? lg b) , R ? lg( ) ,则下列不等式成立的是( 2 2
C. Q ? P ? R D. P ? R ? Q



4、在直径为 d 的圆内接矩形中,最大的面积是多少?这样的矩形长宽之比是多少?

B组 1、如图所示,在⊙ O 上半圆中, AC ? a , CB ? b , CD ? AB , EO ? AB , FE ? CE ,请你利用

CF ? CE ,写出一个含有 a , b 的不等式.
E D

F G

A

a

O

C b

B

2 2、设计一幅宣传画,要求画面面积 4840 cm ,画面的宽与高的比为 ? ( ? ? 1 ) ,画面的上、下各留 8 cm

的空白,左、右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?

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第四节 简单线性规划 4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 例 1、试确定集合 ??x, y ? | x ? 2 y ? 3 ? 0? 表示的区域.

例 2、画出不等式 2 x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域.

例 3、画出一下不等式组表示的平面区域.

?x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 2 ?

练习 1 1、图中表示的平面区域满足不等式( A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 )

y

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

1

O
2、画出不等式 7 x ? 2 y ? 14 ? 0 表示的平面区域.

1

x

? x ? y ? 500 ? 3、画出 ? x ? 240 所表示的平面区域. ? y ? 180 ? ?3x ? 4 y ? 9 ? 4、画出不等式组 ?5 x ? 2 y ? 8 表示的平面区域. ? x ? 0, y ? 0 ?

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例 4、一工厂生产甲、乙两种产品,生产每吨产品的资源需求如表: 品种 甲 乙 电力/KW·h 2 8 煤/t 3 5 工人/人 5 2

该工厂有工人 200 人,每天只能保证 160KW·h 的用电额度,每天用煤不得超过 150t,请在直 角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.

例 5、某市政府准备投资 1 200 万元兴办一所中学.经调查,班级数量以 20 至 30 个班为宜,每个初、高 中班硬件配置分别为 28 万元和 58 万元.将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示 出来

练习 2 1、某工厂制造 A 型电子装置 45 台, B 型电子装置 55 台,需用薄钢板为每台装置配一个外壳.已知薄钢 板的面积有两种规格:甲种每张面积为 2 ㎡,可做 A, B 两型电子装置外壳 3 个或 5 个;乙种每张面积 3 ㎡,可做 A, B 两型电子装置外壳各 6 个.请用平面区域表示甲、乙两种薄钢板张数的取值范围.

2、某人 7:00 乘摩托艇以匀速 v kn( 4 ? v ? 20 )从 A 港出发,到相距 50 n mile 的 B 港,然后乘汽车以

w km/h( 30 ? w ? 100 )的速度从 B 港出发,驶向相距 300km 的 C 市,期望于当日 16:00~21:00
到达 C 市.请用图表示汽车、摩托艇的行驶时间的取值范围.

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4.2 简单线性规划 例 6、设 x, y 满足约束条件

? x ? ?3 ? y ? ?4 ? ? ?? 4 x ? 3 y ? 12 ? ?4 x ? 3 y ? 36
⑴求目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值与最大值; ⑵求目标函数 z ? ?4 x ? 3 y ? 24的最小值与最大值.

练习 1

?y ? x ? 1、求 z ? 2 x ? y 的最大值,式子中的 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?
在以上问题中,不等式组叫作变量 x, y 的 , z ? 2 x ? y 叫作 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是 ?y ? 0 ?



?2 x ? y ? 1 ? 3、在约束条件 ?6 x ? 8 y ? 3 下,求目标函数 z ? 6 x ? 4 y 的最小值,并判断有无最大值. ? x ? 0, y ? 0 ?

?? x ? 2 y ? 0 ? x ? 2 y ? 12 ? 4、在约束条件 ? 下,求目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最小值与最大值. 2 x ? y ? 16 ? ? ? x ? 0, y ? 0

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?x ? 2 y ? 4 ? 例 7、在约束条件 ? x ? y ? 1 下,求目标函数 z ? 3x ? y 的最小值和最大值. ?x ? 2 ? 0 ?

例 8、求 z ? 4a ? 2b 在约束条件 ?

?? 1 ? a ? b ? 2 下的最小值与最大值. ?2 ? a ? b ? 4

练习 2 1、已知 x, y 满足 ? A. ?? 6,0?

?2 ? x ? y 则 2 x ? y 的取值范围是( ?? 4 ? x ? y ? ?2
B. ?? 5,?1? C. ?? 6,?1?

) D. ?? 5,0?

2、在△ ABC 中,三个顶点的坐标分别为 A?2,4? , B?? 1,2? , C ?1,0? ,如果点 ? x, y ? 在△ ABC 内部和边 界上运动,那么 x ? y 的最大值是 .

3、4 枝玫瑰花与 5 枝茶花的价格之和不小于 22 元,而 6 枝玫瑰花与 3 枝茶花的价格之和不大于 24 元,试 求 2 枝玫瑰花和 3 枝茶花的价格之差的最大值.

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4.3 简单线性规划的应用 例 9、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种原料每 10g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质, 售价 3 元;乙种原料每 10g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元.若病人每餐至少需要 35 单位 蛋白质和 40 单位铁质,试问:应如何使用甲、乙原料,才既能满足营养,又使费用最省?

例 10、某厂生产一种产品.其成本为 27 元/kg,售价为 50 元/kg.生产中,每千克产品产生 0.3m?的污 水,污水有两种排放方式: 方式一:直接排入河流. 方式二: 经厂内污水处理站处理后排入河流, 但受污水处理站技术水平的限制, 污水处理率只有 85%. 污 水处理站最大处理能力是 0.9m?/h,处理污水的成本是 5 元/m?. 另外,环保部门对排入河流的污水收费标准是 17.6 元/m?,且允许该厂排入河流中污水的最大量是 0.225m?/h.那么该厂应选择怎样的生产与排污方案,可使其每时净收益最大?

练习

A, B 两个产地生产同一种规格的产品,产量分别是 1.2 万 t,0.8 万 t,而 D, E, F 三地分别需要该
产品 0.8 万 t,0.6 万 t,0.6 万 t,从产地 A 运往 D, E, F 三地每万吨的运价分别为 40 万元,50 万元, 60 万元;从产地 B 运往 D, E, F 三地每万吨的运价分别为 50 万元,20 万元,40 万元,怎样确定调运方案 可使总的运费最少?

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习题 3—4 A组 1、不等式组 ?

?x ? 3 y ? 6 ? 0 ,表示的平面区域是( ?x ? y ? 2 ? 0
y



y

y

y

2

2

2

2

?6

?2 O 2

x

?6

?2 O 2

x

?6

?2 O 2

x

?6

?2 O 2

x

A

B

C

D

y
2、图中阴影部分区域所表示的不等式组是( A. ? ) 5 4

?x ? y ? 5 ?2 x ? y ? 4

B. ?

?x ? y ? 5 ?2 x ? y ? 4 ?x ? y ? 5 ?2 x ? y ? 4

C. ?

?x ? y ? 5 ?2 x ? y ? 4

D. ?

O

5 2

x

3 在直角坐标系中标出 ??x, y ? | y ? 3,2 x ? y ? 3 ? 0, x, y ? N ? ?对应的点. 4、画出下列不等式组表示的平面区域:

? ?x ? 4 y ? 3 ? ⑴ ? y ? 2x ? 1 y? x ? 3 ?

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0 ? ? ⑵ ?x ? 8 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

5、三角形三边所在的直线分别是 x ? y ? 5 ? 0 , x ? y ? 0 , x ? 3 ? 0 ,求表示三角形内部的不等式组.

? x ? 2 y ? 10 ? 6、在约束条件 ?2 x ? y ? 6 下,求 z ? x ? 6 y ? 7 的最大值. ?y ? 0 ?

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B组 1、在约束条件

?x ? y ? 8 ?x ? y ? 2 ? ? ? 1 ?y ? 2 x ? 5 ? ? ? x ? 0, y ? 0
下,求 z ? 2 x ? y 的最小值与最大值.

2、某宾馆准备建造一幢住宿楼,它设有单人房与双人房若干间,按要求,必须符合下列条件:该住宿楼 最少能容纳 50 人住宿;单人房间每间面积 10 ㎡,双人房间每间面积 15 ㎡,且全部房间所占面积不 超过 480 ㎡;双人房的数目不得超过单人房数目.已知住宿楼建成开业后,每间单人房与双人房每月 获益分别为 250 元与 300 元,试问:如何安排单人间与双人间的数目,才能使每月总的获益最大?

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复习题三 A组 1、已知集合 M ? ?x | 0 ? x ? 2? , N ? x | x 2 ? 2x ? 1 ? 0 ,则集合 M ? N =( A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x | 0 ? x ? 2? )

?

?



D. ?x | 0 ? x ? 2?

2、已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是(

a?b ? ab ? b 2 a?b ? b ? ab C. a ? 2
A. a ?

a?b ? ab 2 a?b ?b D. a ? ab ? 2
B. a ? b ? )

3、不等式 x ? 2 y ? 1 ? 0 表示的平面区域在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 ( A.左上方 4、解不等式: ⑴ 2 x ? 7 x ? 15 ? 0 ;
2

B.左下方

C.右上方

D.右下方

⑵ x ? 4x ? 3 ? 0 ;
2

⑶ ?3x ? 1? ? 4 ? 0 ;
2

⑷ ?2 x ? 3??x ? 2? ? 4

5、 m 为何值时, y ? ? x 2 ? ?2m ? 6?x ? m ? 3 在实数集上恒正或恒负? 6、求表示直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 右上方区域的不等式.

?y ? x ? 7、画出不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ,表示的平面区域. ? y ? ?2 ?
8、已知 x, y 满足条件

?y ? x ? ? x ? 7 y ? 11 ? 0 ?4 x ? y ? 10 ? 0 ?
求 z ? 4 x ? 3 y 的最大值和最小值. 9、 点 P?a,3? 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 4, 且在 2 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域内, 求点 P 的坐标.

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B组 1、解不等式 ?x ? 1??x ? 2? ? ?x ? 3??x ? 4? ? 20 .

2、解关于 x 的不等式: ?a ? x?( x 2 ? x ? 2) ? 0 ,其中常数 a 是实数.

3、用不等式组表示以 ?3,?2? , ?? 3,0? , ?1,5? 为顶点的三角形区域.

4、咖啡馆配置两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉 9g,咖啡 4g,糖 3g;乙种饮料每杯含奶粉 4g,咖啡 5g, 糖 10g.每天原料的使用限额为奶粉 3600g,咖啡 2000g,糖 3000g.若甲种音量每杯获利 0.7 元, 乙种饮料每杯获利 1.2 元,则应配置两种饮料各多少杯时才能获利最大?

C组 1、设 f ( x) ? ax2 ? bx ,且 1 ? f ?? 1? ? 2 , 2 ? f (1) ? 4 ,求 f ?? 2? 的取值范围.

2、某工厂拟造一座平面为长方形,且面积为 200 ㎡的三级污水处理池.由于地形限制,长、宽都不能超 过 16m,处理池的高度一定.如果四周围池壁造价为 400 元/m,中间两道隔墙造价为 248 元/m,池底 造价为 80 元/m,那么如何设计污水池的长和宽,才能使总造价最低?

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