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昌硕高中2015学年第二学期期末模拟测试卷


珍爱生命

保护生态

学会生存

昌硕高中 2015 学年第二学期期末模拟测试卷 高二年级数学试题
出卷人:张有才 审核人:黄超
一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.若 z+3-2i=4+i,则 z 等于( )

A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i → 2.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知AB=a, → → → AD=b,AA1=c,则用向量 a,b,c 可表示向量BD1等于( ) A.a+b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a-b+c

1 1 1 ? ? ??? ? (n ? N ? ) ,那么 f (n ? 1) ? f (n) 等于( ) 2 3 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? A. B. C. D. 3n ? 2 3n 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 2 3n 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 4.设 a, b, c ? (0, ??), 则 a ? , b ? , c ? ( ) b c a
3.设 f (n) ? 1 ? A.都小于 2 B.都大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2 5.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能 正确的是 ( ) ...

6.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则直线 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的 正弦值等于( ) A.

6 4

B.

10 4

C.

2 2

D.

3 2

7.某中学一天的功课表有 6 节课 , 其中上午 4 节, 下午 2 节, 要排语文、数学、英语、信 息技术、体育、地理 6 节课,要求上午第一节课不排体育,数学必须排在上午,则不同排 法共有( ) A A. 600 种 B. 480 种 C. 408 种 D. 384 种 8 . 如 图 四 边 形 ABCD , AB ? BD ? DA ? 2 , BC ? CD ?

?ABD 沿 BD 折起,当二面角 A ? BD ? C 的大小处于 [ , ] 变化过程 6 6 中,直线 AB 与 CD 所成角的余弦 值取值范围是( )

p 5p

2 .现将
B C
第 8 题图

D

5 2 2 , ] A. [ ? 8 8

2 5 2 , ] B. [ 8 8

2 ] C. [0, 8

5 2 ] D. [0, 8

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二.填空题: 本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. 已知向量 a ? (3, ?1, 2) , b ? (?6, 2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ____,若 a ∥ b , 则 x ? ___. 10.已知 i 是虚数单位, 若复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? z2 =_________, 所对应的点位于第___________象限. 11.用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性不 同,且 1 和 2 不相邻 ,这样的六位数的个数是 ... (用数字作答).

?

?

?

?

?

?

z1 在复平面内 z2

12. 已 知 函 数 f ( x) ? x cos 2 x , 则 f ?( x ) = _________, 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 切线的倾斜角是_________.

?

, ? ) 处的 2 2

?

13.已知函数 f ( x) ? x2e x ,则 f ( x ) 的极大值为____________,若 f ( x ) 在 ?t , t ? 1?

??? ? ???? ???? ??? ? 14. 设点 O 为四面体 ABCD 外接球的球心, 若| AB |=3, | AD |=4, 则 AO ? BD =_______.
15.设定义域为 (0, ??) 的单调函数 f ( x ) ,对任意的 x ? (0, ??) ,都有

不单调 ,则 t 的取值范围是___________. ...

f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 ,若 x0 是方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且

x0 ? (a, a ? 1)(a ? N * ) ,则 a ? ___________.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 16. (本小题满分 14 分) 设 i 为虚数单位 (Ⅰ)已知 x 2 ? y 2 ? 2 xyi ? 2i ,求实数 x, y 的值; (Ⅱ)关于 x 的方程 3 x ?
2

a x ? 1 ? (10 ? x ? 2 x 2 )i 有实根,求实数 a 的值. 2

2 97 3 (Ⅲ)求值: (C100 ? C100 ) ? A101

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17. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ?

x ?1 ? ln x . x ? 1 ? 1 ?? (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? , f ? ? ? 处的切线方程; ? 2 ? 2 ?? ?1 ? (Ⅱ)求 f ( x) 在 ? , e ? 上的最大值和最小值. ?4 ?

18. (本小题满分 15 分)当 n ? 2, n ? N ? 时,设 f (n) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? (Ⅰ)求 f (2), f (3), f (4) 的值; (Ⅱ)猜想 f ( n) 的表达式,并用数学归纳法证明.

1 4

1 9

1 1 ) ? ? ? ?(1 ? 2 ) . 16 n

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19. (本小题满分 15 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,

AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证:直线 A1B∥平面 ADC1; (Ⅱ)求二面角 C1-AD-C 的余弦值; (Ⅲ)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使直线 AE 与 DC1 成 60°角? 若存在,确定 E 点位置;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? e ( x ? ax ? 1) . (Ⅰ)当 a ? R 时 ,讨论 f (x)的单调性;
x 2

(Ⅱ)若实数 a 满足 a ? ?1 ,且函数 g ( x) ? 4 x 3 ? 3(b ? 4) x 2 ? 6(b ? 2) x(b ? R) 的极小值 点与 f ( x) 的极小值点相同,求证: g ( x) 的极小值小于等于 0.

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昌硕高中 2015 学年第二学期期末模拟测试卷

答案及评分标准
一.选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 D 6 A 7 C 8 D

二.填空题(多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.10 ,-4 10. 4 ? 2i , Ⅰ 11.32 12. cos 2 x ? 2 x sin 2 x , 13 .

1350

4 , e2

? ?3 , ? 2 ? ??

? 1, ?0

14.

7 2

15.1

三.解答题(共 52 分) 16. (本小题满分 14 分) 解 (Ⅰ)∵x2-y2+2xyi=2i,
?x=1, ?x=-1, ? ? 解得? 或? ----------5 分 ?y=1, ? ? ?y=-1.

?x2-y2=0, ? ∴? -------------3 分 ?2xy=2, ?

(Ⅱ)设方程的实数根为 x=m,则原方程可变为

a ? ?3m2- m-1=0, 2 3m - m-1=(10-m-2m )i,∴? 2 ? ?10-m-2m2=0,
2

a

2

--------9 分

解得 a ? 11 或 a ? ? (Ⅲ)

71 . --------------------------------11 分 5

1 --------------------------------14 分 6
1 1 1? x ? ? 2 ------ -------------------------------------------------------3 分 x2 x x

17.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

?1? f ?? ? ? 2 , ?2?

?1? f ? ? ? ?1 ? ln 2 ------------------------------------------------------------5 分 ?2?

所以切线方程为: y ? 1 ? ln 2 ? 2 ? x ?

? ?

1? ? ? y ? 2 x ? 2 ? ln 2 ----------------7 分 2?

[来源:学科网 ZXXK]

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(Ⅱ) f ? ? x ? ?

1 1 1? x ? ? 2 x2 x x

所以 x ? ? ,1? 时,函数单调递增; x ??1, e? 时,函数单调递减------ --------9 分 所以 fmax ? f ?1? ? 0 -------------------------------------------------------------------11 分

?1 ? ?4 ?

?1? f ? ? ? ln 4 ? 3 ?4?
因为 ln 4 ? 3 ? ?

1 f ? e ? ? ? ------------------------------------------------13 分 e

1 ?1? ,所以 f min ? f ? ? ? ln 4 ? 3 ----------------------------------15 分 e ?4?
------------------------------------------------2 分 ------------------------------------------------4 分 -------------------------------------------------6 分

18. (本小题满分 15 分) (Ⅰ) f (2) ?

3 4

4 6 5 f (4) ? 8 f (3) ?
(Ⅱ)猜想 f ( n) ? 证明

n ?1 ? n ? 2, n ? N ? ----------------------------------------------8 分 2n

2+1 3 1 3 (1)当 n=2 时,左边=1- = ,右边= = ,∴n=2 时等式成立.------10 分 4 4 2×2 4

(2)假设当 n=k(n≥2, n∈N*)时等式成立, 1 1 1 1 k+1 1- ??1- ??1- ?…?1- 2?= 即? 4 9 16 k ? ?? ?? ? ? ? 2k ,----------------------------------------------11 分 那么当 n=k+1 时,

?1- 1 ? ?k+1? -1 k+2 ?1-1??1-1??1- 1 ?…?1- 12??1- 1 2?=k+1· ? 4?? 9?? 16? ? k ?? ?k+1? ? 2k ? ?k+1?2?= 2k?k+1? =2?k+1?
= ?k+1?+1 . 2?k+1?

2

∴当 n=k+1 时,等式也成立.---------------------------------------------------------------------14 分 根据(1)和(2)知,对任意 n≥2,n∈N ,等式都成立.---------------------- ----------------- 15 分 19. (本小题满分 15 分) (Ⅰ)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD.
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

*

由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,得四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点.

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又 D 为 BC 的中点,所以 OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD. 因为 OD? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1.-------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ)解:由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°,得 BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BC,BA,BB1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 B-xyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0), → → 所以AD=(1,-2,0),AC1=(2,-2,1). → ? ?n·AD=0, 设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z),则有? ?n·→ AC1=0. ?
?x-2y=0, ? 所以? ? ?2x-2y+z=0.

取 y=1,得 n=(2,1,-2).

易知平面 ADC 的一个法向量为 v=(0,0,1). n·v 2 所以 cos〈n,v〉= =- . |n|·|v| 3 因为二面角 C1-AD-C 是锐二面角, 2 所以二面角 C1-AD-C 的余弦值为 .----------------------------------------------------10 分 3 (Ⅲ)解: 假设存在满足条件的点 E. 因为点 E 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设 E(0,λ ,1),其中 0≤λ ≤2. → → 所以AE=(0,λ -2,1),DC1=(1,0,1). 因为 AE 与 DC1 成 60°角, → → |AE·DC1| 1 → → 所以|cos〈AE,DC1〉|= = , → → 2 |AE|·|DC1| 1 1 即 = ,解得λ =1 或λ =3(舍去). 2 (λ -2) +1· 2 2 所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角.----------------------------------15 分 20. (本小题满分 15 分) (Ⅰ) f ( x) ? e [ x ? (a ? 2) x ? a ? 1]
/ x 2

f / ( x) ? ex ( x ?1) ? x ? a ?1?

-----------------------------------------------------------3 分

[来源:学科网]

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由 f / ( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ,或 x ? ? a ? 1 ⑴当 a ? 0 时, f / ( x) ? e x ( x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 在 ? ??, ??? 上为增函数;------------- 5 分 ⑵当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? ?a ?1, ?1? 上为减函数; f ( x) 在 ? ??, ?a ?1? 、 ? ?1, ?? ? 上为增 函数;----------------------------------------------------------------------------------------7 分 ⑶当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? ?1, ?a ?1? 上为减函数; f ( x) 在 ? ??, ?1? 、 ? ?a ?1, ??? 上为增 函数;----------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (Ⅱ)∵ a ? ?1 ,∴ ? a ? 1 ? ?1 , 又 f ( x) ? e [ x ? (a ? 2) x ? a ? 1] ? e ( x ? a ? 1)(x ? 1) ,
/ x 2 x

∴ f ( x)的极小值点是 x ? ?a ? 1 ,从而 g ( x) 的极小值点也是 x ? ?a ? 1 又 g ( x) ? 12( x ? 1)( x ?
/

b?2 b?2 ) ?? ? ?a ? 1, 即b ? 2a ---------------------------- -------11 分 2 2
2

因为 a ? ?1 , 故 g ( x) 的极小值 g (?a ? 1) ? ? ?1 ? a ?

? 4 ? 2a ? ? 0 ,

即 g(x)的极小值小于等于 0.-----------------------------------------------------------------------15 分


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