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黄冈市蕲春一中高一数学同步单元测试(2)


黄冈市蕲春一中高一数学同步单元测试(2)
第四章:三角函数 第二单元 和差倍半角公式测试题 命题人 黄冈蕲春一中 高级教师刘杰峰

一、选择题: 1.(05 春北京)在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 2cos10°-sin20° 2. 的值是( sin70° 1 A. 2 B. 3 2 ) - 2-1 B.[ ,―1) ∪(―1, 2 - 2-1 2-1 D.[ , ] 2 2 ) 24 D.- 7 ) 2-1 ] 2 ) C. 3 D. 2

sinx cosx 3.f(x)= 的值域为( 1+sinx+cosx A.(― 3―1,―1) ∪(―1, - 3-1 3-1 C .( , ) 2 2 3―1)

π 4 4.已知 x∈(- ,0),cosx= ,则 tan2x 等于( 2 5 7 A. 24 7 B.- 24

24 C. 7

5.(2004 春北京)已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中必定成立的是( θ θ θ θ A.tan <cot , B.tan >cot , 2 2 2 2 θ θ θ θ C.sin <cos , D.sin >cos . 2 2 2 2 )

π α α 5 π 6.(04 江苏)已知 0<α < ,tan +cos = ,则 sin(α - )的值为( 2 2 2 2 3 4+3 3 A. 10 4-3 3 B. 10 3 3-4 C. 10

4+3 3 D.- 10 ) 7 D.[― ,―1] 3 D.非充分非必要条件 )

4m-6 7.等式 sinα + 3cosα = 有意义,则 m 的取值范围是( 4-m 7 A.(-1, ) 3 7 B.[-1, ) 3 7 C.[-1, ] 3

8.在△ABC 中,tanA tanB>1 是△ABC 为锐角三角形的( ) A.充要条件 B.仅充分条件 C.仅必要条件

3 9.已知α .β 是锐角,sinα =x,cosβ =y,cos(α +β )=- ,则 y 与 x 的函数关系式为( 5 3 4 3 A.y=― 1―x2+ x ( <x<1) 5 5 5 3 4 3 C.y=― 1―x2― x (0<x< ) 5 5 5 B.y=― 3 4 1―x2+ x (0<x<1) 5 5

3 4 D.y=― 1―x2― x (0<x<1) 5 5 ) 4 3 D. 或- 3 4 )

1 10.已知α ∈(0,π ),且 sinα +cosα = ,则 tanα 的值为( 5 4 A.- 3 4 3 B.- 或- 3 4 3 C.- 4

A+B 11.(05 全国)在△ABC 中,已知 tan =sinC,则以下四个命题中正确的是( 2 (1)tanA·cotB=1. (3)sin2A+cos2B=1. A.①③ B.②④ 3sinx 12.函数 y= 的值域为( 2-cosx A.[- 3, 3] 题号 B.[- 3,1] 1 2 ) C.[-1, 4 5 3] 6 D.[-1,1] 7 8 (2)1<sinA+sinB≤ 2. (4)cos2A+cos2B=sin2C. C.①④ D.②③

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12

答案 二、填空题: π 13.(03 上海)若 x= 是方程 2cos(x+α )=1 的解,α ∈(0,2π ),则α =______. 3 14.已知 cosθ +cos2θ =1,则 sin2θ +sin6θ +sin8θ =____________ 15.函数 y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是_________ ︵ ︵ ︵ ︵ 16.若圆内接四边形 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 把圆周分成AB∶BC∶CD∶DA=4∶3∶8∶5,则四边形四个内角 A、B、 C、D 的弧度数为_________________________ β α π π 1 2 17.设 cos(α - )=- ,sin( -β )= ,且 <α <π ,0<β < ,求 cos(α +β ). 2 9 2 3 2 2 π ],值域是[-5,1],求 a、b 的值. 2

18.已知 f(x)=2asin2x-2 2asinx+a+b 的定义域是[0,

π π 19.(04 湖北)已知 6sin2α +sinα cosα -2cos2α =0,α ∈[ ,π ),求 sin(2α + )的值. 2 3 2 ,AC=2,AB=3,求 tanA 的值和△ABC 的面积. 2

20.(05 北京)在△ABC 中,sinA+cosA=

21.在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=2a,在 BC 上取一点 P,使得 AB+BP=PD,求 tan∠APD 的值. 2π α 22.是否存在锐角α 和β ,使α +2β = ①,且 tan tanβ =2- 3②,同时成立?若存在,求出α 和β 的值;若不存在,请 3 2 说明理由.

答案:
1.B 由 2sinAcosB=sin(A+B) ? sin(B-A)=0 ? B=A. 2cos(30°―20°)―sin20° 3cos20° 2.C 原式= = = 3. cos20° cos20° π 3.B 令 t=sin x+cos x= 2sin(x+ )∈[― 2,―1)∪(―1, 4 t2-1 2 t-1 - 2-1 则 f(x)= = ∈[ ,―1)∪(―1, 2 2 1+t 4.D θ θ 5.B ∵sinθ >0,cosθ <0,tan -cot = 2 2 θ θ ∴tan >cot . 2 2 α α 2 5 4 3 6.B tan +cot = = .∴sinα = .cosα = . 2 2 sinα 2 5 5 π 4-3 3 1 3 sin(α - )= sinα - cosα = . 3 2 2 10 7.C8.A 9.A y=cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα 3 4 3 =― 1―x2+ x>0 ?4x>3 1―x2 ? <x<1. 5 5 5 10.A 解:当α ∈(0, π π π )时,sinα +cosα = 2sin(α + )>1.故α ∈( ,π ). 2 4 2 θ θ cos 2 2 2cosθ - =- >0. θ θ sinθ cos sin 2 2 sin 2-1 ]. 2 2].

∴sinα >0,cosα <0.且|sinα |>|cosα |∴|tanα |>1. 2tanα 1 24 24 由(sinα +cosα )2= ?sin2α =- ? =- . 25 25 1+tan2α 25

?tanα =-3或 tanα =-4(舍).
11.B A+B 1-cos(A+B) 1+cosC 解:由 tan = = =sinC 2 sinC sin(A+B)

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3

π ∴cosC=0,C= . 2 π π ∴A+B= .故①式=tan2A≠1。②式=sinA+cosA= 2sin(A+ )∈(1, 2], 2 4 ③式=2sin2A≠1,④式=cos2A+sin2A=1=sin2C. 3sinx |2y| 12.D 解:y= 3sinx+ycosx=2y ?|sin(x+φ )|= 2 ≤1. ? 2-cosx y +3 ?-1≤y≤1 4π 13. 3 14.1 解:cosθ =sin2θ ,∴sin6θ =cos3θ ,sin8θ =cos4θ . ∴sin2θ +sin6θ +sin8θ =cosθ +cos3θ +cos4θ =cosθ +cos2θ (cosθ +cos2θ ) =cosθ +cos2θ =1. 15.7 解:y=3sin(x+20°)+5[sin(x+20°)cos60°+cos(x+20°)sin60°] 11 5 3 = sin(x+20°)+ cos(x+20°) 2 2 =7sin(x+20°+φ )≤7. 13π 9π 7π 11 16. π , , , 20 20 20 20 2π π 4π 3π 8π 5π 解:∵ = .故四条弧所对圆心角分别为 , , , . 10 10 10 10 4+3+8+5 10

13π 9π 7π 1 3π 8π 11 1 8π 5π 四内角分别为 ( + )= π . ( + )= , , . 2 10 10 20 2 10 10 20 20 20 α +β β α 17.分析:∵ =(α ― )―( -β ). 2 2 2 π π 解:∵α ∈( ,π )β ∈(0, ). 2 2 π β π α π ∴ <α - <π ,- < -β < . 4 2 4 2 2 β β 1 4 5 ∴由 cos(α - )=- 得 sin(α - )= , 2 9 2 9 α α 2 5 由 sin( -β )= .得 cos( -β )= . 2 3 2 3 α +β β α 7 5 ∴cos =cos[(α ― )―( ―β )]=…= . 2 2 2 27 7 52 239 ∴cos(α +β )=2×( ) -1=- . 27 729 18.解:令 sinx=t,∵x∈[0, π ].∴t∈[0,1]. 2 22 ) +b. 2

f(x)=g(t)=2at2-2 2at+a+b=2a(t-
?b=-5 ?a=6 ? 当 a>0 时,则? ? ?a+b=1 ?b=-5

?b=1 ?a=-6 ? 当 a<0 时,则? . ? ?a+b=-5 ? b= 1

π 19.解:依题知α ≠ ,cosα ≠0. 2 2 1 方程可化为 6tan2α +tanα -2=0. ? tanα =- 或 (舍). 3 2

π π π ∴sin(2α + )=sin2α cos +cos2α ·sin 3 3 3
2 2 sinα cosα 3 3 cos α -sin α 2 2 =sinα cosα + (cos α -sin α )= 2 + · 2 2 sin α +cos2α cos2α +sin2α



2 tanα 3 1-tan α 6 5 3 + × =- + . 2 1+tan2α 13 26 1+tan2α

20.解:sinA+cosA= 2cos(A-45°)= 1 ∴cos(A-45°)= . 2 ∵0°<A<180°, ∴A-45°=60°,A=105°, ∴tanA=tan(60°+45°)=―2― 3, sinA=sin(60°+45°)= 6+ 2 , 4

2 , 2

6+ 2 3 1 1 ∴S△ABC= AC·AB.sinA= ×2×3× = ( 6+ 2). 2 2 4 4 21.解:如图作 PE⊥AD 于 E.设 BP=X. 则 x+a= (2a-x)2+a2, 2a ∴x= , 3 2a 4 ∴AE=BP= ,DE=PC= a, 3 3 2 4 + 3 3 ∴tan∠APD=tan(∠1+∠2)= =18. 2 4 1- × 3 3 α π 22.解 1:由①得 +β = , 2 3 α tan +tanβ 2 α ∴tan( +β )= = 3. 2 α 1-tan tanβ 2 α 将②代入得 tan +tanβ =3- 3. 2 α ∴tan ,tanβ 是方程 x2―(3― 3)x+2- 3=0 的两根. 2 解得 x1=1,x2=2- 3. α π 若 tan =1,则α = 与α 为锐角矛盾. 2 2 α ∴tanβ =1, tan =2- 3, 2 π π α ∴β = .代入①得α = .满足 tan =2- 3. 4 6 2 α π 解 2:由①得 = -β ,代入②得: 2 3 π 3-tanβ tan( -β )·tanβ =2- 3 ? ·tanβ =2- 3. 3 1+ 3tanβ B A E D

12

P

C

?tan2β ―(3― 3)tanβ +2- 3=0;tanβ =1 或 2- 3.
π π 若 tanβ =1,则β = ,α = . 4 6 α π 若 tanβ =2- 3.代入②得 cot =1,则α = 不合题意. 2 2

π π 故存在α = ,β = 使①、②同时成立. 6 4


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