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用向量方法求空间角修改


立体几何中的向量方 法

一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何 问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形)

空间中的角

角的分类 异面直线 所成的角

向量求法 设两异面直线所成的角为 θ,它 们的方向向量为 a,b,
|a· b| |b| 则 cos θ= |cos〈a,b〉| = |a|·

范围

π (0, ] 2

角的分类

向量求法 设直线 l 与平面 α 所成的角

范围

直线与平面 所成的角

为 θ,l 的方向向量为 a,

π [0, ] 2 平面 α 的法向量为 n,则
sin|a· |cos〈a,n〉| = θ= n| |a|· |n|

角的分类

向量求法 设二面角 α-l-β 的平面角为 θ,平面 α、β 的法向量为 n1,
|cos〈n1,n2〉|

范围

二面角

n2,则|cos θ|= |n1·2| n |n1|· 2| |n =

[0,π]

[小问题·大思维]
1.当一条直线 l 与一个平面 α 的夹角为 0 时,这条直线一定 在平面内吗?

提示:不一定,这条直线可能与平面平行.
2.为什么求空间角的公式中都带有绝对值?
π 提示:因为异面直线所成的角的范围是(0, ],斜线与平面 2 π π 所成的角的范围是(0, ), 二面角的锐二面角的范围是(0, ), 2 2 而两个向量的夹角的范围是[0,π].因此计算时加绝对值.

二、知识讲解与典例分析
例1:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,现将△AOB沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A1O1B1的位置,已知OA=OB=Oo1,取A1B1 、 A1O1的中点D1 、F1,求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
O1 B1 D1

F1
A1 O

B

A

例1:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,现将△AOB沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A1O1B1的位置,已知OA=OB=Oo1,取A1B1 、 A1O1的中点D1 、F1,求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。 z 解:以点O为坐标原点建立空间直角坐 O B 标系,如图所示,并设OA=1,则:
1 1

A(1,0,0)

1 F1( ,0,1) 2

B(0,1,0) 1 1 D1( , ,1) 2 2

F1
A1 O

D1

B

x 1 ? ? 0 ?1 AF1 ? BD1 ? cos AF1 , BD1 ? ? 4 5 3 AF1 ? BD1 ? 4 2

1 1 1 ? AF1 ? (? ,0,1), BD1 ? ( ,? ,1) 2 2 2

y

A

30 10

30 所以,异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为 10

[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为: (1)确定空间两条直线的方向向量; (2)求两个向量夹角的余弦值; (3)确定线线角与向量夹角的关系;当向量夹角为锐角时,

即为两直线的夹角;当向量夹角为钝角时,两直线的夹角为向
量夹角的补角.

例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、F分别为CD、 DD1的中点,
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;

(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
A1 D1 C1 A D

B1

F

B

E C

[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为:

(1)确定直线的方向向量和平面的法向量;
(2)求两个向量夹角的余弦值;

(3)确定线面角与向量夹角的关系:向量夹角为锐角
时,线面角与这个夹角互余;向量夹角为钝角时,线面等

于这个夹角减去90°.

A1 B1 A B E C C1

D1 F D

例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点,求二面角F-AE-D的 余弦值。

[悟一法] 利用法向量求二面角的步骤 (1)确定二个平面的法向量; (2)求两个法向量夹角的余弦值; (3)确定二面角的范围;二面角的范围要通过图形观察, 法向量一般不能体现.

练习 1

如图,四棱锥 P-ABCD 的底面

ABCD 是菱形, PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=60° , E、F 分别是 BC、PC 的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若 PA=AB=2,求二面角 E-AF-C 的余弦值.

[自主解答]

证明:(1)证明:由四边形ABCD为菱

形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形. 因为E为BC的中点,所以AE⊥BC. 又BC∥AD,因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
所以PA⊥AE. 而PA平面?PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A, 所以AE⊥平面PAD. 又PD?平面PAD,所以AE⊥PD.

(2)由(1)知AE、AD、AP两两垂直,以 A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系,又E、F分别为BC、PC的中点, 所以A(0,0,0),B( 3,-1,0), C( 3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 3 1 E( 3,0,0),F( , ,1), 2 2

???? ??? ? 3 1 所以 AE =( 3,0,0), AF =( , ,1).

2

2

设平面 AEF 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), ? ?m· ? AE =0, ? 则? ???? 因此? ?m· =0, AF ? ?
??? ?

3x1=0,

3 1 x + y +z =0. 2 1 2 1 1 ?

取 z1=-1,m=(0,2,-1). 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,

所以BD⊥平面AFC. ??? ? 故 BD 为平面AFC的一个法向量. ??? ? 又 BD =(- 3,3,0),
??? ??? ? BD m·? 所以cos〈m, BD 〉= ??? = ?

|m|| BD |

2× 3 15 = . 5 5× 12

因为二面角E-AF-C为锐角, 15 ∴二面角E-AF-C的余弦值为 . 5

练习 2:已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD.设 PA=AB=a,BC=2a,求二面角 B-PC-D 的余弦值.
建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(a,0,0),C(a,2a, 0),
??? ? P(0,0,a),D(0,2a,0), BC =(0,2a,0),

??? ? ??? ? ??? ? BP =(-a,0,a), CD =(-a,0,0), PD =
(0,2a,-a).

设平面 PBC, 平面 PCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1), n2=(x2,y2,z2),
??? ? ??? ? ?n · =0, ?n · =0, ? 1 BC 2 CD ? ? 则有? ??? 和? ??? ?n1· =0, ?n · =0. BP ? 2 PD
?2ay =0, ?-ax =0, ? ? 1 2 ? ? 即 和 ?-ax1+az1=0, ?2ay2-az2=0. ? ?

取 n1=(1,0,1),n2=(0,1,2), n1· 2 n 10 则 cos〈n1,n2〉= = . |n1||n2| 5 10 故二面角 B-PC-D 的余弦值为 . 5

[错因] 二面角的取值范围是[0,π],即二面角既可 能是锐角也可能是钝角,应仔细观察图形,加以区分.
[正解] n1 · 2 n 10 由错解得 cos〈n1,n2〉= = , |n1||n2| 5

观察图形知二面角 B-PC-D 为钝角. ∴二面角 B-PC-D 的余弦值为- 10 . 5


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