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1.2排列组合


1.2 排列与组合 一.排列: 1. 定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照 一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... ....
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2. 说明 (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2) 判断一个问题是否是排列问题:可具体地取出两元素 a,b,变换元素位置,结果是一种, 即为无序;结果是二种,即为有序。 (3)元素不能重复: n 个中不能重复,m 个中也不能重复。 (4) 按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键。 (5)两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同,且元素的排列顺序也完全相同。 (6)m<n 时的排列叫选排列,m=n 时的排列叫全排列。 (7)为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,有时也可采用“树形图” 。 二.排列数 1.定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中 取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示
m
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2.排列和排列数的区别: “一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素按照一定的 ... 顺序 排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所 .. 有排列的个数,是一个数,所以符号 An 只表示排列数,而不表示具体的排列 3.排列数公式:
m (1) An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)
m
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( m, n ? N , m ? n )

?

n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)?2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘)

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另外,我们规定 0! =1 . 说明: 公式特征(三个) : n ——第一个因数是 n , n 也最大的一个因数 m ——共有 m 个因数; 后面每一个因数比它前面一个少 1,最后一个因数是 n ? m ? 1 (2) An =
m

n! (n ? m)!

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(3) 排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。

(4)对于 m ? n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条件。 (5)常见变形 ① n ? n!? (n ? 1)!?n! 理由: n ? n!? [(n ? 1) ? 1] ? n!? (n ? 1) ? n!?n!? (n ? 1)!?n!



n ?1 1 1 ? ? n! (n ? 1)! n! n ? 1 (n ? 1)!(n ? 1) (n ? 1)!n ? (n ? 1)! n!?(n ? 1)! 1 1 ? ? ? ? ? n! (n ? 1)!n! (n ? 1)!n! (n ? 1)!n! (n ? 1)! n!

理由:

三.组合 1.定义:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合 2.组合定义的说明: ⑴定义两要素①“不同元素”——n 个元素与取出的 m 个元素均不能重复 ②只取不排“——无序性 (2)相同组合:元素相同 3. 排列与组合的定义比较: 相同——都要“从 n 个不同元素中任取 m 个元素” 不同——排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关. 四.组合数
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1.定义:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 C n 表示. ... 2.组合数的公式:
m

Cnm ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m 或C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) ? m m!(n ? m)! Am m!
0

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规定: C n ? 1 .
m n?m 3.组合数的性质(1) Cn . ? Cn

①规定: Cn ? 1 ;
0

②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标; n m n?m ③此性质作用:当 m ? 时,计算 C n 可变为计算 C n ,能够使运算简化. 2
2002 ? 2001 1 例如 C 2002 = C2002 = C2002 =2002;
2001

x ④ Cn ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n .

(2) Cn?1 = C n + Cn

m

m

m?1



①公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下标多 1 而上标与大 的相同的一个组合数; ②此性质的作用:恒等变形,简化运算 五.常见题型 1. 相邻问题: (1) 方法——捆绑法:把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列 (2) 步骤 ①捆绑后成为一个“元素” ,和其它一起排列,注意“元素”个数与原来发生了变化 ②捆绑的内部可以调换
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2. 不相邻问题: (1) 方法——插空法 (2) 步骤 ①先考虑不受限制的元素排列, ②再将不相邻元素插在前面元素排列形成的的“空”中 3. 机会均等问题 方法:把方法数除 2 即得 4. 部分元素(m 个)定序问题 (1)方法:运用公式

Ann m Am
n m n

(2)原理: n 个不同元素的全排列有 An 种排法, m 个元素的全排列有 Am 种排法。 因此 An 种 排法中,关于 m 个元素的不同分法有 Am 类,而且每一分类的排法数是一样的,当这 m 个
m

Ann 元素顺序确定时,共有 种排法. m Am
5. 部分元素相同问题 (1)方法:运用公式

Ann m Am

(2)原理:类似 4

6. 多面手问题 步骤 ① 确定既会 A 工作也会 B 工作的多面手的人数 ② 以会 A 工作的人中有 0 个多面手,1 个多面手,2 个多面手等分类 7.分组问题: (1)n 个元素全部均匀分成 m 堆 如:9 本不同课外书,分成三堆,每堆 3 本 方法数为 (2)n 个元素部分均匀分 如:9 本不同课外书,分成三堆,一堆 5 本,另两堆各 2 本,方法数为 C9 (3)n 个元素全都不均匀分 如:9 本不同课外书,分成三堆,一堆 4 本,一堆 3 本,一堆 2 本,方法数为 C9 C5 C2 8. 分配问题 法一:先分组再分配 法二:逐个“位置”解决 如:有 9 本不同课外书,分给甲、乙、 丙三名同学,甲、乙、 丙各得 3 本, 方法数可以是先分组再分配
3 3 3 C9 C6 C3 3 ? A3 3 A3 5 2 2 C4 C2 2 A2 3 3 3 C9 C6 C3 3 A3

4

3

2

3 3 3 也可以是逐个“位置” (即人)解决,第一步甲 C9 ,第二步乙 C6 ,第三步丙 C3 ,所以共 3 3 3 有 C9 C6 C3

9. 既不也不问题
7 6 6 5 如:7 人排纵队,甲不排头,乙不排尾,方法数是 A7 - A6 - A6 + A5

如: 10. 至少问题 方法:反面扣除或正面分类 六.两个常见错误 1. 至少问题中的“垫底重复” 如:4 个不同的球放入 3 个不同的盒子里,每个盒子至少要有一个球,问有多少种放法? 正确做法:可以从结果入手,先分组再分配 (C4
2 1 1 C2 C1 3 =36 ) ? A3 2 A2

3 1 常见错误: A4 C3 =72(先每个盒子里放一个球,再放第四个球)

如球 a 入 1 号盒,b 入 2 号盒,c 入 3 号盒,d 入 1 号盒和球 d 入 1 号盒,b 入 2 号盒,c 入 3 号盒,a 入 1 号盒重复了 2. 有序无序错误 如:空间 6 个点,任意四点都不共面,过其中任意两点均有一条直线,则成为异面直线的对数 正确做法:
2 C62C4 2

常见错误: C6 C4 如“直线 a 和直线 b 异面”与“直线 b 和直线 a 异面”重复了,
2 把两条异面直线当作了“左边墙,右边墙”逐个“位置”安排,相当于有序,而实际 C62 C4

2

2

上本题是无序的,所以错误了 七.难点 1. 相邻中有不相邻 如:4 个男同学和 3 个女同学站成一排,甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同 的排法?(校本 30) 2. 部分元素定序不唯一 如:6 人站成一排,甲、乙在丙的两侧,有多少种不同排法? 正确:
6 A6 2 (甲、乙、丙定序,但不唯一,甲、乙可对调) ? A2 3 A3

3. 元素中有部分有序的,也有部分是无序的 如:将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任 一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相邻的安排方 式的种数为多少?(校本 34)

正确解答:先将 5 人分成三组(1,1,3 或 2,2,1 两种形式),再将这三组人安排到 3 个房间,然 后将 2 个房间插入前面住了人的 3 个房间形成的空档中即可,故安排方式共有(错误!未找 到引用源。 +错误! 未找到引用源。 ) ·错误! 未找到引用源。 ·错误! 未找到引用源。 =900(种) 住人的房间是“有序” ,但空着的房间是“无序”的 4. 分类不易 如: 某公园有 P,Q,R 三只小船,P 船最多可乘 3 人,Q 船最多可乘 2 人,R 船只能乘 1 人,现有 3 个大人和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船 方法为多少种?(校本 34) 此题分两类:两小孩都乘 P 船和两小孩分在 P,Q 两只小船上 如: .用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字且个位上的数不是 5 的六位数( ? 校 本 30) 此题分两类:十万位是 5 和十万位不是 5


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