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2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题2009.05.03


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a

1=-5,则 k= . 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e = . A 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x .
R D B Q C

5. 如图,在四面体 ABCD 中, P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点, 且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 .

P 6 .设 f(x) = log3x - 4-x ,则满足 f(x) ? 0 的 x 的取值范围 是 . 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、 60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3.

→ → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC ·AO = . 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009

= 2,则此数列的前 2009 项的和为 . 2 10 . 设 a 是 整 数 , 0 ? b < 1 . 若 a = 2b(a + b) , 则 b = . 二 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 20 分 , 共 80 分 ) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭 9 4 圆的左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.

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12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD= 7,AB=28,CE=12.求 BC.

C

A

D

E

B

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14. ⑴ 写出三个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数, 请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方 数?请证明你的结论.

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2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ =-1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= . 填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、 短轴长、长轴长成等比数列, 则此椭圆的离心率 e= 填 -1+ 5 . 2 -1+ 5 . 2 .

解:由(2b)2=2c×2a?a2-c2=ac?e2+e-1=0?e= 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x 填 1. .

1 3x 解:即 x = x ?32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 3 -1 3(3 -1) 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ= 2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 . 1 填 . 4 解:A、B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角 形 PQR 为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比. 1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9 4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18
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B A

R D Q P C

∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值: 在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交 点. BM DQ CP DQ 1 CP 1 BM 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 = , = ,故 =4. MD QC PB QC 2 PB 2 MD 在面 ABD 内, 作射线 MR 交 AB 于点 N, 则 N 为面 PQR 与 AB 的交点. BM DR AN BM DR AN 1 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4.
B

A N R D M Q P C

6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 . 填[3,4]. 解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围为[3, 4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、 60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3. 填 78000. 解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200) =30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm3. → → 8. 设点 O 是△ABC 的外心, AB=13, AC=12, 则 BC · AO = 25 填- . 2
R O



A R R C

→ → → 解:设| AO |=| BO |=| OC |=R.则

B

→ → → → → → → → → BC · AO =( BO + OC )· AO = BO · AO + OC · AO =R2cos(π-2C)+R2cos2B 1 1 1 25 =R2(2sin2C-2sin2B)= (2RsinB)2- (2RsinC)2= (122-132)=- . 2 2 2 2 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列的前 2009 项 的和为 . 填 2008+ 2. 解:若 an+1≠0,则 an=2- 2 2 ,故 a2008=2- 2,a2007=2- =- 2,a2006=2+ an+1 2- 2
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2,a2005= 2. an+1-2 2 2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,a - = ,a - =a + an+1 an+1-1 n 2 2-an+1 n 3 n
1,故

an-4=an.
2009 k=1

于是,

Σ a =502(a +a +a +a )+a
n 1 2 3 4

2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+

2. 10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= 填 0, 3-1 , 3-1. 2



解:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0. 于是 a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2. a=0 时,b=0; a=1 时,2b2+2b-1=0?b= 3-1 ; 2

a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x]2=2{x}x.

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭 9 4 圆的左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
?4x2+9y2=36, 解:取方程组? 代入得,25y2-64y+28=0. ?x=2y-4.

14 此方程的解为 y=2,y= . 25 72 14 即得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25 连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积:
C B A F O

y

x

1 1 14 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5). 2 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 14 72 72 14 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× +(- 5)×0-0 2 25 25 25 25 1 144 14 1 ×0)= ( + 5)= (72+7 5). 2 25 25 25
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12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD= 7,AB=28,CE=12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 4 11 ∴ cosA= = = = . 2AC· AE 2· 14· 16 2· 14· 16 16
A D E B C

11 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 14· 28· =72· 9?BC=21. 16 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y)2?k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y?0 对于 x,y>0 恒成立. 令 t= x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)?0 对一切 t>0 恒成立. y

当 2k2-1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k2-1= 2 = . 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3?0,即 k? ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2
2 2 x 2 t +2t+1 >0,则 k ? 2 = y 2t +1

6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

( x+ y)2 x+2 xy+y 解法二:显然 k>0,故 k ? = .令 t= 2x+y 2x+y 4t+1 1 (1+ 2 ). 2 2t +1

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ? 9 u+ -2 2 u 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2 2 2t +1 9 u· -2 u 8

3 6 ∴k2? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 又:令 s(t)= 2 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且 2 2t +1 (2t2+1)2 (2t2+1)2 1 1 1 1 在 0<t< 时,s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2? (1 2 2 2 2 1 3 +s( ))= . 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2?( +1)(2x+y). 2
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即( x+ y)? 当 k<

6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式 2 4 2 2 2 2 2 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不等 2 2

不能恒成立. 而当 k? 式恒成立. ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2

14. ⑴ 写出三个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数, 请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方 数?请证明你的结论. 解:对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均 有 ab≡0(mod 4),此时,ab+10≡2(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b≡1(mod 4),或 a≡b≡3(mod 4),则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方 数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡ / b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整 除. ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13,则 2 ×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72. 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全平方数,如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个 数的积加 10 后不是完全平方数. 故证.

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