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广东省江门市 2013届高考第一次模拟数学试题(理)含答案


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试卷类型:B

江门市 2013 年高考模拟考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
⒈已知函数 f ( x) ? 1 ? x 定义域为 M , g ( x) ? ln x 定义域为 N ,则 M ? N ? A. ?x | x ? 1? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x | 0 ? x ? 1? D. ?x | 0 ? x ? 1?

⒉在复平面内, O 是原点,向量 OA 对应的复数是 2 ? i (其中, i 是虚数单位) ,如果点 A 关于实轴的对称点为点 B ,则向量 OB 对应的复数是 A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2i

⒊采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?, 1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8.抽到的 50 人中, 编号落入区间[1,400]的人做问卷 A,编号落入区间[401,750]的人做问卷 B,其余的人做 问卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 A.12 B.13 C.14 D.15
3 3 正视图 侧视图 4

⒋ 右图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为 A.72 B.36 C.24 D.12

⒌在 ?ABC 中,若 ?A ?

5 1 ? , ?B ? ? , 12 4
俯视图

3

AB ? 6 2 ,则 AC ?
A. 3 B. 2 3
2 2

C. 3 3

D. 4 3

⒍若 x ? 0 、 y ? 0 ,则 x ? y ? 1 是 x ? y ? 1 的 A.充分非必要条件 C.充要条件
2 2

B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

⒎已知 x 、 y 满足 x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? 4 y ? 5 的取值范围是

A. [ ? 5 , 15 ]

B. [ ? 10 , 10 ]

C. [ ? 2 , 2 ]

D. [ 0 , 3 ]
2

⒏设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当 x ? [ 0 , 1 ] 时, f ( x) ? x ? 2 x , 则 f ( x) 在区间 [ 0 , 2013 ] 内零点的个数为 A.2013 B.2014 C.3020 D.3024

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 开始
? ⒐已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,若 ?n ? N , a n ? a n ?1 ? ?2 ,

则 an ?

. .

输入 a

⒑执行程序框图,如果输入 a ? 4 ,那么输出 n ? ⒒如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内 (含正方体表面)任取一点 M , 则 AA1 ? AM ? 1 的概率

p ? 10 , q ? 1 , n ? 1

D1 A1

p?q
C1


否 输出 n 结束

p?

M D

B1

p ? p?a



q ? q?a
C n ? n ?1

A
⒓在平面直角坐标系 Oxy 中,若双曲线

B
x2 y2 ? 2 ? 1 的焦距为 8 ,则 m ? m m ?4
2



⒔在平面直角坐标系 Oxy 中,直线 y ? a ( a ? 0 )与抛物线 y ? x 所围成的封闭图形的面 积为

8 2 ,则 a ? 3



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
⒕(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? )中,曲线 ? sin ? ? 2 与

? cos? ? ?2 的交点的极坐标为



B
C

⒖(几何证明选讲选做题)如图,圆 O 内的两条弦 AB 、CD 相交于 P , PA ? PB ? 4 , PD ? 4PC .若 O 到 AB 的 距离为 4 ,则 O 到 CD 的距离为 .

P
O
?

D

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ⑴求 f (0) ; ⑵若函数 f ( x) 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度,得到的曲线关于 y 轴对称, 求 ? 的最小值. ⒘(本小题满分 14 分) 春节期间,某商场决定从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商品进行促销 活动。 ⑴)试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率; ⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元, 规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会: 若中一次奖, 则获得数额为 m 元的奖金; 若中两次奖,则共获得数额为 3m 元的奖金;若中 3 次奖,则共获得数额为 6m 元的奖金。 假设顾客每次抽奖中获的概率都是 促销方案对商场有利?

5? ) ( A ? 0 , x ? R )的最小值为 ? 2 . 6

1 ,请问:商场将奖金数额 m 最高定为多少元,才能使 3

⒙(本小题满分 14 分) 如图, 直角梯形 ABCD 中,AB // CD ,AB ? BC ,AB ? 1 ,BC ? 2 ,CD ? 1 ? 2 , 过 A 作 AE ? CD ,垂足为 E 。 F 、G 分别是 CE 、 AD 的中点。现将 ?ADE 沿 AE 折起, 使二面角 D ? AE ? C 的平面角为 135 .
0

⑴求证:平面 DCE ? 平面 ABCE ; ⑵求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值.

D
G?

E

F ?

C

D
G

E A B A

C

F B

⒚(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率 e ? ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共线? 若存在,求直线 AP 的方程;若不存在,简要说明理由.

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) . 2

⒛(本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 2 , ?n ? 2 , 3S n ? 4 、 2a n 、 2 ? S n ?1 总成等 差数列. ⑴求 S n ;

⑵对任意 k ? N ,将数列 ?a n ?的项落入区间 ( 3 , 3
*
k

2k

) 内的个数记为 bk ,求 bk .

21(本小题满分 14 分)

1 2 ,若对曲线 y ? f ( x) x ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a) ln x ( x ? 0 , a 是常数) 2 上任意一点 P( x0 , y 0 ) 处的切线 y ? g ( x) , f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.
已知 f ( x) ?

江门市 2013 年高考模拟考试 数学(理科)评分参考
一、选择题 BCAD DBAC

二、填空题

⒐ an ? ?

?1 ,

n 是正奇数

?? 2 , n 是正偶数 ⒓ 3 (未排除 ? 4 ,给 3 分) ⒔2 3? ⒕ (2 2 , ) (只对一个坐标,或书写错误,给 2 分) 4

,或 a n ? ?

1 3 ? (?1) n ?1 2 2

⒑4



3 4

⒖ 7

三、解答题

5? ) ( A ? 0 , x ? R )的最小值为 ? 2 , 6 5? 5? 所以 A=2 , f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ??2 分, f (0)=2sin ? 1 ??4 分 6 6 ⑵函数 f ( x) 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度,
⒗解:⑴因为函数 f ( x) ? A sin(2 x ?

5? ] ??6 分 6 5? 因为 y ? 2sin[2( x ? ? ) ? ] 的图像关于 y 轴对称, 6 5? ? 所以 2(0 ? ? ) ? ? ? k? , k ? Z ??8 分 6 2 ? k? 解得 ? ? ? ? , k ? Z ??10 分 6 2 ? 因为 ? ? 0 ,所以 ? 的最小值为 ??12 分 3
得 y ? 2sin[2( x ? ? ) ? ⒘解:⑴设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A,从 3 种服装、2 种家电、3 种日 用品中,选出 3 种商品,一共有 C8 种不同的选法??1 分, 选出的 3 种商品中,没有家电的选法有 C 6 种??2 分 所以,选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为 P ( A) ? 1 ?
3 C6 9 ? ??4 分 3 C8 14
3
3

⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ? , 其所有可能的取值为 0,m ,3m , (单元:元)??5 分 6m 。

1 8 ? ? 0 表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以 P(? ? 0) ? (1 ? ) 3 ? ??6 分 3 27 1 1 4 1 同理, P(? ? m) ? C3 ? (1 ? ) 2 ? ? ??7 分 3 3 9 1 1 2 P(? ? 3m) ? C32 ? (1 ? )1 ? ( ) 2 ? ??8 分 3 3 9 1 1 3 ??9 分 P(? ? 6m) ? C3 ? ( )3 ? 3 27
顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

E (? ) ? 0 ?


8 4 2 1 4 ? m ? ? 3m ? ? 6m ? ? m ??12 分(列式 2 分,计算 1 分) 27 9 9 27 3

4 m ? 100 ,解得 m ? 75 ??13 分 3 所以故 m 最高定为 75 元,才能使促销方案对商场有利??14 分。
⒙⑴证明:?DE ? AE,CE ? AE, DE ? CE ? E,DE, CE ? 平面CDE ,

? AE ? 平面 CDE , 3分 ? AE ? 平面 ABCE , ?平面 DCE ? 平面 ABCE .

5分 ⑵(方法一)以 E 为原点,EA、EC 分别为 x, y 轴,建立空间直角坐标系

6分

?DE ? AE,CE ? AE, ? ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC = 135 0 ,??7 分 ? AB ? 1 , BC ? 2 , CD ? 1 ? 2 , ?A(2,0,0) ,B(2,1,0) ,C(0,1,0) ,E(0,0,0) ,D(0, ?1 ,1) 。 9分 ? F 、 G 分别是 CE 、 AD 的中点, 1 1 1 ?( F 0,,0) ,G 10 分 (1, - ,) 2 2 2 ??? ? ? 1 ??? ? FG = , AE = , 11 分 (1, -1,) (-2,0,0) 2 ??? ? 由⑴知 AE 是平面 DCE 的法向量, 12 分 ? 设直线 FG 与面 DCE 所成角 ? , (0 ? ? ? ) 2 ??? ? ??? ? FG ? AE ?2 2 则 sin ? ? ??? ? , ? ??? ? ? 3 FG AE ?2 3 2 2 故求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 . 14 分(列式 1 分,计算 1 分) 3 (方法二)作 GH // AE ,与 DE 相交于 H ,连接 FH ??6 分

由⑴知 AE ? 平面 CDE ,所以 GH ? 平面 CDE , ?GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所 成角??7 分

G 是 AD 的中点, GH 是 ?ADE 的中位线, GH ? 1 , EH ?

2 ??8 分 2

因 为 DE ? AE , CE ? AE , 所 以 ?D E C是 二 面 角 D ? AE ? C 的 平 面 角 , 即 ?DEC = 135 0 ,??9 分 在 ?EFH 中,由余弦定理得, FH ? EF ? EH ? 2 ? EF ? EH ? cos ?FEH
2 2 2

1 1 1 2 2 5 5 )??11 分(列式 1 分,计算 1 分) ? ? 2? ? ? (? ) ? (或 FH ? 4 2 2 2 2 4 2

GH ? 平面 CDE ,所以 GH ? FH ,在 Rt?GFH 中, GF ? GH 2 ? FH 2 ?
??13 分(列式 1 分,计算 1 分) 所以直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 sin ?GFH ?

3 2

GH 2 ? ??14 分 GF 3

⒚解:⑴设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1分

?椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) , 2

?c?
a

3 ,c ? 3 , 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ,

? a ? 2, b ? 1, c ?
故椭圆 C 的方程为

3,

3分 4分 5分

x2 ? y 2 ? 1. 4

⑵假设椭圆 C 上是存在点 P ( x0 , y0 ) ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共线,

??? ? ??? ? ??? ? ? OP ? OA ? ( x0 , y0 ? 1) , FA ? (? 3,1) ,

?

x0 ? 3

?

y0 ? 1 ,即 x0 ? ? 3( y0 ? 1) , (1) 1

6分

又?点 P ( x0 , y0 )在椭圆

x2 x2 ? y 2 ? 1 上,? 0 ? y0 2 ? 1 4 4

(2)

7分

? 8 3 x ?? ? ? x0 ? 0 ? 0 7 , 由⑴、⑵组成方程组解得 ? ,或 ? y ? ? 1 ? 0 ?y ? 1 0 ? 7 ?

9分

? P(0, ?1) ,或 P(? 8

3 1 , ), 7 7

10 分

当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 , 当点 P 的坐标为 P(?

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7
12 分

故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3x ? 4 y ? 4 ? 0 .

⒛解:⑴ ?n ? 2 , 3S n ? 4 、 2a n 、 2 ? S n ?1 总成等差数列, 所以, 2 ? 2an =( 3S n ? 4 )+( 2 ? S n ?1 )??1 分 因为 an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ,所以 4( Sn ? Sn ?1 ) =( 3S n ? 4 )+( 2 ? S n ?1 ) , 即 Sn ? 3Sn?1 ? 2 ??3 分 又因为 a1 ? 2 , S n ?1 ? 1 ? 0 ,

Sn ? 1 3Sn ?1 ? 2 ? 1 ? ? 3 , S1 ? 1 ? 1 , Sn ?1 ? 1 Sn ?1 ? 1

所以数列 ? S n ? 1? 是首项等于 1,公比 q =3 的等比数列??6 分

Sn ? 1 ? 1? 3n ?1 ,即 Sn ? 1 ? 3n ?1 ??7 分
⑵由⑴得 ?n ? 2 , an ? Sn ? Sn ?1 ? (1 ? 3
n ?1

) ? (1 ? 3n?2 ) ? 2 ? 3n?2 ??8 分

n ? 1 时, 2 ? 3n?2 ? 2 ?1 ? 2 ? a1 ,所以,任意 n ? N * , an ? 2 ? 3n ?2 ??9 分
* k n?2 任意 k ? N ,由 3 ? a n ? 3 ,即 3 ? 2 ? 3 ? 32k ??11 分,
k 2k

( k ? log 3 2 ? (n ? 2) ? 2k , k ? 2 ? log 3 2 ? n ? 2k ? 2 ? log 3 2 ??12 分 因为 0 ? log 3 2 ? 1 ,所以“若学生直接列举,省略括号内这一段解释亦可” )

n 可取 k ? 2 、 k ? 3 、??、 2k ? 1 ??13 分,所以 bk ? k ??14 分
a2 ? a 21.解:依题意, f ( x) ? x ? (2a ? 1) ? ??1 分 x
/

y 0 ? f ( x0 ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , y 0 ) 处的切线为

y ? y 0 ? f / ( x0 )( x ? x0 ) ??2 分,
即 y ? y 0 ? f ( x0 )( x ? x0 ) ,所以 g ( x) ? y 0 ? f ( x0 )( x ? x0 ) ??3 分
/ /

直接计算得 g ( x) ? x0 x ?

1 2 x x0 ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a)(ln x0 ? ? 1) ??5 分, 2 x0

直接计算得 f ( x) ? g ( x) 等价于 记 h( x ) ?

1 x x ( x ? x0 ) 2 ? (a 2 ? a)(ln ? ? 1) ? 0 ??7 分 2 x 0 x0

1 x x ( x ? x0 ) 2 ? (a 2 ? a)(ln ? ? 1) ,则 2 x0 x0

1 1 a2 ? a h / ( x) ? ( x ? x0 ) ? (a 2 ? a)( ? ) ? ( x ? x0 )(1 ? ) ??8 分 x x0 xx0
2 若 a ? a ? 0 ,则由 h ( x) ? 0 ,得 x ? x0 ??9 分,且当 0 ? x ? x0 时, h ( x) ? 0 ,
/ /

当 x ? x0 时, h ( x) ? 0 ??10 分,所以 h( x ) 在 x ? x0 处取得极小值,从而也是最小值,
/

即 h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,从而 f ( x) ? g ( x) 恒成立??11 分。
2 若 a ? a ? 0 ,取 x0 ?

a 2 ? a ,则 h / ( x) ? ( x ? x0 )(1 ?

a2 ? a ) ? 0 且当 x1 ? x0 时 xx0

h / ( x) ? 0 , h( x) 单 调 递 增 ? ? 12 分 , 所 以 当 0 ? x ? x0 时 , h( x) ? h( x0 ) ? 0 , 与
2 所以 a ? a ? 0 ??13 分, 从而 a 的取值范围为 ? 1 ? a ? 0 ?? f ( x) ? g ( x) 恒成立矛盾,

14 分


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