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高中数学【Word版题库】5.1 平面向量的概念及线性运算


5.1 平面向量的概念及线性运算
→ → 1.设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A、B、 →

D 三点共线,则实数 p 的值是________.
→ → → → ?2=2λ 即? ?p=-λ 答案 -1 → 其中 λ ,μ ∈R,则 λ +μ =________. → → → → 解析 如图

设AB=a,AD=b,则AC=AB+AD=a+b, → → → 1 AF=AB+BF=a+ b, 2 → → → 1 AE=AD+DE= a+b, 2 → → → 3 3 所以AE+AF= (a+b)= AC, 2 2 → → → 2 2 即AC= AE+ AF. 3 3 2 4 所以 λ =μ = ,λ +μ = . 3 3 答案 4 3 → → → 2.在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 CD 和 BC 的中点,若AC=λ AE+μ AF, → 解析 因为BD=BC+CD=2a-b,又 A、B、D 三点共线, 所以存在实数 λ ,使AB=λ BD. ,∴p=-1.

? ? ??? ? ???? ??? ??? 1 ??? ? 3.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA +λ CB ,则 3 λ = .?

??? ??? ??? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ? ? ? CD = CB + BD = CB - DB = CB - AB ? 3 ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? = CB - ( CB - CA )= CA + CB ,? 3 3 3 2 ∴λ = . 3 2 答案 ? 3 → → → 4.如图所示,设 O 是△ABC 内部一点,且OA+2OB+2OC=0,则△ABC 和△BOC

解析

的面积之比为________.



→ → → → → → → → → →

解析 以OB,OC为邻边作?OBEC,OE 交 BC 于 D,如图, 由已知条件 2OB+2OC=-OA,则AO=2OE=4OD,即AD=5OD,

因此

S△ABC |AD| 5 = = . S△BOC → 1 |OD|

答案 5∶1 → → → → → → 5.在△ABC 中,点 M 满足MA+MB+MC=0,若AB+AC+mAM=0,则实数 m 的值为 ________. → → → → → → → → → → → → → → 解析 由AB+AC+mAM=0,得MB-MA+MC-MA-mMA=0, 即-(2+m)MA+MB+MC=0.又MA+MB+MC=0, 所以-(2+m)=1,m=-3. 答案 -3 → → 6.已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线三点,动点 P 满足OP=OA+

→ → λ (AB+AC),λ ∈[0,+∞),则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心. → → → → → 解析 设 D 是 BC 边中点,则AB+AC=2AD,于是由条件得AP=λ AD,即 P 在中线 所在直线 AD 上,所以 P 点轨迹必过△ABC 的重心. 答案 重心 7.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λ b 与-(b-2a)共线,则 λ = ________. 解析 依题意知向量 a+λ b 与 2a-b 共线, a+λ b=k(2a-b), 设 则有(1-2k)a ?1-2k=0 +(k+λ )b=0,所以? ?k+λ =0 答案 - 1 2 → → → → → 1 1 解得 k= ,λ =- . 2 2

8.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△

ABC 的形状为________.
→ → → → → → → → → 解析 (等价转化法)OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → → → → → OB-OC=CB=AB-AC,∴|AB+AC|=|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 【点评】 本题采用的是等价转化法,将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中, 从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. → → → → → → → 1 9. 如图所示, 在△ABC 中, = DC, =3ED, AB=a, =b, BE=________(用 BD AE 若 AC 则 2

a,b 表示).

→ → → → → → → 3 3 3 3 解析 BE=BA+AE=BA+ AD=BA+ (AB+BD)=BA+ AB+ BD 4 4 4 4 → → 1 3 1 =- AB+ ? BC 4 4 3 → → → 1 1 =- AB+ (BA+AC) 4 4 → → 1 1 1 1 =- AB+ AC=- a+ b. 2 4 2 4 1 1 答案 - a+ b 2 4 10. 已 知 AD 是 △ABC 的 中 线 , λ +μ = .? ? ???? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? 解析 AD = AB + BD = AB + BC ? 2 ??? 1 ???? ??? ? ? 1 ??? 1 ???? ? = AB + ( AC - AB )= AB + AC . 2 2 2 答案 1? → → 11.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+
???? ???? ??? ? AD =λ AB +μ AC









(λ ,μ ∈R), 那 么

λ

?→ →? ? AB + AC ?,λ ?→ →? ?|AB| |AC|?


∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心.



解析

如图,设AM=

AB
→ |AB|

→ ,AN=



AC
→ |AC|





,以AM,AN为邻边构作?AMDN,则该?AMDN





是边长为 1 的菱形,所以 AD 平分∠BAC,于是由AP=λ AD知动点 P 必过△

ABC 的内心.

答案 内

→ → → 12.e1,e2 是平面内两个不共线的向量,已知AB=e1-ke2,CB=2e1+e2,CD=3e1 -e2.若 A,B,D 三点共线,则 k 的值是________. 解析 →=→-→=e -2e ,又 A、B、D 三点共线,则→=λ →, BD CD CB AB BD
1 2

?1=λ , 即? ?-k=-2λ , ∴k=2. 答案 2 13.在△ABC 中,过中线 AD 中点 E 任作一条直线分别交边 AB,AC 于 M,N 两点, → → → → 设AM=xAB,AN=yAC(xy≠0),则 4x+y 的最小值是________.

→ → → 1 1 解析 因为 D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,所以AE= AD= (AB+AC). 2 4 → → → → → → → 1 1 1 1 又AB= AM,AC= AN,所以AE= AM+ AN.因为 M,E,N 三点共线, x y 4x 4y 1 1 所以 + =1, 4x 4y 1 ? 1? 4x y? 1? ?1 所以 4x+y=(4x+y)? + ?= ?5+ + ?≥ ?5+2 y x? 4? ?4x 4y? 4? 答案 9 4x 4x



y? 9 ? ?= . y x? 4

二、解答题 14.设 a、b 是不共线的两个非零向量, → → → (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值; (3)设→=ma,→=nb,→=α a+β b,其中 m、n、α 、β 均为实数,m≠0, OM ON OP

n≠0,若 M、P、N 三点共线,求证: + =1. m n
解析 (1)证明:∵→=(3a+b)-(2a-b)=a+2b, AB 而→=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2→, BC AB ∴→与→共线. AB BC

α

β

又有公共端点 B, ∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线, ∴存在实数 λ ,使得(8a+kb)=λ (ka+2b) ?(8-λ k)a+(k-2λ )b=0, ∵a 与 b 不共线, ?8-λ k=0 ∴? ?8=2λ 2?λ =±2, k-2λ =0 ? ∴k=2λ =±4. (3)证明:∵M、P、N 三点共线, ∴存在实数 λ ,使得→=λ →, MP PN → → →=OM+λ ON= m a+ λ n b. ∴OP 1+λ 1+λ 1+λ

m ?α =1+λ ? ∵a、b 不共线,∴? λ n ?β =1+λ ?
α β ∴ + =

, ,

1 λ + =1. m n 1+λ 1+λ 15.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,

AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值.

→ 解析 设BM=e1,CN=e2, → → → → 则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2, → → 因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线,所以存在 λ 、μ ∈R,使AP=λ AM=-λ e1 → → -3λ e2,BP=μ BN=2μ e1+μ e2. → → → 故BA=BP-AP=(λ +2μ )e1+(3λ +μ )e2, → → → 而BA=BC+CA=2e1+3e2,



?λ +2μ =2, 所以? ?3λ +μ =3,

?λ ? 所以? ?μ ?

4 = , 5 3 = , 5

→ → → → 4 1 所以AP= AM,所以PM= AM,即 AP∶PM=4∶1. 5 5 16.已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → → (1)求GA+GB+GO; → → → (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb, 1 1 求证: + =3.

m n

→ 解析 (1)









因为GA+ GB=2GM,又 2GM=-GO,

→ → → → → 所以GA+GB+GO=-GO+GO=0. (2)证明 → → 1 2 1 因为OM= (a+b),且 G 是△ABO 的重心,所以OG= OM= (a+b). 2 3 3 → → → → →

由 P,G,Q 三点共线,得PG∥GQ,所以,有且只有一个实数 λ ,使PG=λ GQ. → → → 1 1 ?1 ? 又PG=OG-OP= (a+b)-ma=? -m?a+ b, 3 ? 3 3 ? → → → 1? 1 1 ? GQ=OQ-OG=nb- (a+b)=- a+?n- ?b, 3? 3 3 ? 1? ? 1 ? 1 ? ?1 ? 所以? -m?a+ b=λ ?- a+?n- ?b?. 3? ? 3 ? ?3 ? ? 3

又因为 a、b 不共线,

?1-m=-1λ , ?3 3 所以? 1 ? 1? ?3=λ ?n-3?, ? ? ?
1 1 故 + =3.

消去 λ ,整理得 3mn=m+n,

m n

17.如图所示,已知△ABC 的面积为 14 cm2,D,E 分别是 AB,BC 上的点,且

AD = DB

BE =2,求△APC 的面积. EC

→ → → 2 1 解析 设AB=a,BC=b,则AE=a+ b,DC= a+b. 3 3 → → 因为点 A,P,E 和点 D,P,C 均三点共线,所以存在 λ 和 μ ,使得AP=λ AE= → → 2 1 λ a+ λ b,DP=μ DC= μ a+μ b. 3 3



?λ =2+1μ , → → → ? 3 3 ?2 1 ? 又因为AP=AD+DP=? + μ ?a+μ b,所以有? ?3 3 ? 2 ?3λ =μ , ?

6 解得 λ = , 7

6? 4 4 4 ? μ = ,所以 S△PAB= S△ABC= ?14=8 (cm2),S△PBC=14??1- ?=2 (cm2), 7? 7 7 7 ? 故 S△APC=14-8-2=4(cm2). 18.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, → → → → 求证:OH=OA+OB+OC 证明 如图所示,连接 BO,并延长交圆于点 D,连接 CH,CD,AD, 则∠BCD=∠BAD=90°,所以 CD⊥BC,AD⊥AB.又 H 为△ABC 的垂心,

所以 AH⊥BC,CH⊥AB.

所以 CD∥AH,AD∥HC. 所以四边形 AHCD 为平行四边形. → → → → 所以AH=DC=OC-OD. → → 因为 O 为 BD 的中点,所以OB=-OD. → → → → → → → → → 所以OH=OA+AH=OA+OC-OD=OA+OB+OC.


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