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集合第1课时-集合的含义与表示


集合第 1 课时 集合的含义与表示 (一)教学目标 1.知识与技能 (1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法. (2)初步了解“属于”关系的意义.理解集合相等的含义. (3)初步了解有限集、无限集的意义,并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2.过程与方法 (1)通过实例,初步体会元素与集合的“属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确 地理解集合. (2)观察关于集合的

几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言 在描述客观现实和数学对象中的意义. (3)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性) . (4)通过实例体会有限集与无限集,理解列举法和描述法的含义,学会用恰当的形式表示 给定集合掌握集合表示的方法. 3.情感、态度与价值观 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. (2)在学习运用集合语言的过程中,增强学生认识事物的能力.初步培养学生实事求是、 扎实严谨的科学态度. (二)教学重点、难点 重点是集合的概念及集合的表示. 难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正 确地表示一些简单集合. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合.通过提出问题、观察实例,引导学生理解集合的概念,分析、 讨论、探究集合中元素表达的基本要求,并能依照要求举出符合条件的例子,加深对概念的 理解、性质的掌握.通过命题表示集合,培养运用数学符合的意识. 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出 问题 一个百货商店,第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计 4 个品种,第二批进货是收音 机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计 5 个品种,问一共进了多少品种的货?能否回答一共进 了 4 + 5 = 9 种呢? 学生回答(不能,应为 7 种) ,然后教师和学生共同分析原因:由于两次进货共同的品种有 两种,故应为 4 +5 – 2 = 7 种.从而指出: ??这好像涉及了另一种新的运算.?? 设疑激趣, 导入课题.

复习 引入 ①初中代数中涉及“集合”的提法. ②初中几何中涉及“集合”的提法. 引导学生回顾,初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识: 一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等 式的解集. 几何中,圆的概念是用集合描述的. 通过复习回顾,引出集合的概念. 概念 形成 第一组实例(幻灯片一) : (1) “小于 l0”的自然数 0,1,2,3,??,9. (2)满足 3x – 2 >x + 3 的全体实数. (3)所有直角三角形. (4)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点. (5)高一(1)班全体同学. (6)参与中国加入 WTO 谈判的中方成员. 1.集合: 一般地, 把一些能够确定的不同的对象看成一个整体, 就说这个整体是由这些对象的全体构 成的集合(或集) . 2.集合的元素(或成员) : 即构成集合的每个对象(或成员) , 教师提问:①以上各例(构成集合)有什么特点?请大家讨论. 学生讨论交流,得出集合概念的要点,然后教师肯定或补充. ②我们能否给出集合一个大体描述???学生思考后回答,然后教师总结. ③上述六个例子中集合的元素各是什么? ④请同学们自己举一些集合的例子. 通过实例,引导学生经历并体会集合(描 述性)概念 形成的过程,引导学 生进一步明确集合及集合元素的概念,会用自然语言描述集合. 概念 深化 第二组实例(幻灯片二) : (1)参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合. (2)方程 x2 = 1 的解的全体构成的集合. (3)平行四边形的全体构成的集合. (4)平面上与一定点 O 的距离等于 r 的点的全体构成的集合. 3.元素与集合的关系: 教师要求学生看第二组实例, 并提问: ①你能指出各个集合的元素吗?②各个集合的元

素与集合之间是什么关系?③例(2)中数 0,–2 是这个集合的元素吗? 学生讨论交流,弄清元素与集合之间是从属关系,即“属于”或“不属于”关系. 引入集合语言描述集合.

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 念 深化 集合通常用英语大写字母 A、B、C?表示,它们的元素通常用英语小写字母 a、b、c? 表示. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A, 记作 a∈A,读作“a 属于 A” . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 aA,读作“a 不属于 A” . 4.集合的元素的基本性质; (1)确定性:集合的元素必须是确定的.不能确定的对象不能构成集合. (2)互异性:集合的元素一定是互异的.相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个 元素. 第三组实例(幻灯片三) : (1)由 x2,3x + 1,2x2 – x + 5 三个式子构成的集合. (2)平面上与一个定点 O 的距离等于 1 的点的全体构成的集合. (3)方程 x2 = – 1 的全体实数解构成的集合. 5.空集:不含任何元素的集合,记作. 6.集合的分类:按所含元素的个数分为有限集和无限集. 7.常用的数集及其记号(幻灯片四) . N:非负整数集(或自然数集) . N*或 N+:正整数集(或自然数集去掉 0) . Z:整数集. Q:有理数集. R:实数集. 教师提问: “我们班中高个子的同学” 、 “年轻人” 、 “接近数 0 的数” 能否分别组成一个集合, 为什么? 学生分组讨论、交流,并在教师的引导下明确: 给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.另外,集合的元素一定是 互异的.相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素. 教师要求学生观察第三组实例,并提问:它们各有元素多少个? 学生通过观察思考并回答问题. 然后,依据元素个数的多少将集合分类. 让学生指出第三组实例中,哪些是有限集?哪些是无限集???

请同学们熟记上述符号及其意义. 通过讨论,使学生明确集合元素所具有的性质,从而进一步准确理解集合的概念. 通过观察实例,发现集合的元素个数具有不同的类别,从而使学生感受到有限集、无限集、 空集存在的客观意义.

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 应用 举例 列举法: 定义:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 例 1 用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2 = x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1~20 以内的所有质数组成的集合. 描述法: 定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是:在花括号内先 写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这 个集合中元素所具有的共同特征. 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x2 –2 = 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. 师生合作应用定义表示集合. 例 1 解答: (1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A,那么 A = {0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9}. 由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此集合 A 可以有不同的列举 法. 例如: A = {9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}. (2)设方程 x2 = x 的所有实数根组成的集合为 B,那么 B = {0,1}. (3)设由 1~20 以内的所有质数组成的集合为 C,那么 C = {2,3,5,7,11,13,17,19}. 例 2 解答: (1)设方程 x2 – 2 = 0 的实数根为 x,并且满足条件 x2 – 2 = 0,因此,用描 述法表示为 A = {x∈R| x2 –2 = 0}. 方程 x2 –2 = 0 有两个实数根, ,因此,用列举法表示为 A = {,}. (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x∈Z,且 10<x<20. 因此,用描述法表 示为 B = {x∈Z | 10<x<20}.

大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 应用 举例 例 3 已知由 l,x,x2,三个实数构成一个集合,求 x 应满足的条件. 解:根据集合元素的互异性, 得 所以 x∈R 且 x≠±1,x≠0. 课堂练习:教材第 5 页练习 A1、2、3. 例 2 用∈、填空. ① Q;② Z; ③ R;④0 N; ⑤0 N*;⑥0 Z. 学生分析求解,教师板书.

幻灯片五(练习答案) ,反馈矫正.

通过应 用,进一步 理解集合的 有关概念、 性质.

例 4:试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程 x2 – 9 = 0 的所有实数根组成的集合; (2)由小于 8 的所有素数组成的集合; (3)一次函数 y = x + 3 与 y = –2x + 6 的图象的交点组成的集合; (4)不等式 4x – 5<3 的解集. 生:独立完成;题:点评说明. 例 4 解答: (1){3,–3}; (2){2,3,5,7}; (3){(1,4)}; (4){x| x<2}.

归纳 总结 ①请同学们回顾总结,本节课学过的集合的概念等有关知识; ②通过回顾本节课的探索学习过程, 请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、 发展和完善 的. ③通过回顾学习过程比较列举法和描述法. 归纳适用题型. 师生共同总结——交流——完善. 引导学生学会自己总结;让学 生进一步(回顾)体 会知识的形成、发展、完善的过程. 课后 作业 1.1 第一课时习案 由学生独立完成. 巩固深化;预习下一节内容,培养自学能力. 备选例题 例 1(1)利用列举法表法下列集合:①{15 的正约数};②不大于 10 的非负偶数集. (2)用描述法表示下列集合:①正偶数集; ②{1,–3,5,–7,?,–39,41}. 【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用. 【解析】 (1)①{1,3,5,15} ②{0,2,4,6,8,10} (2)①{x | x = 2n,n∈N*} ②{x | x = (–1) n–1·(2n –1),n∈N*且 n≤21}. 【评析】 (1)题需把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合,多用于集合中的 元素有有限个的情况. (2)题是将元素的公共属性描述出来,多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个 数较多的有限集. 例 2 用列举法把下列集合表示出来: (1)A = {x∈N |∈N}; (2)B = {∈N | x∈N }; (3)C = { y = y = – x2 + 6,x∈N ,y∈N }; (4)D = {(x,y) | y = –x2 +6,x∈N }; (5)E = {x |= x,p + q = 5,p∈N ,q∈N*}. 【分析】 先看五个集合各自的特点: 集合 A 的元素是自然数 x, 它必须满足条件也是自然数; 集合 B 中的元素是自然数,它必须满足条件 x 也是自然数;集合 C 中的元素是自然数 y,它 实际上是二次函数 y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值;集合 D 中的元素是点,这些点必须在二 次函数 y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上;集合 E 中的元素是 x,它必须满足的条件是 x =,其中 p + q = 5,且 p∈N,q∈N*. 【解析】 (1)当 x = 0,6,8 这三个自然数时,=1,3,9 也是自然数. ∴ A = {0,6,9} (2)由(1)知,B = {1,3,9}.

(3)由 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N 知 y≤6. ∴ x = 0,1,2 时,y = 6,5,2 符合题意. ∴ C = {2,5,6}. (4)点 {x,y}满足条件 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N,则有: ∴ D = {(0,6) (1,5) (2,2) } (5)依题意知 p + q = 5,p∈N,q∈N*,则 x 要满足条件 x =, ∴E = {0, , , ,4}. 【评析】 用描述法表示的集合, 要特别注意这个集合中的元素是什么, 它应该符合什么条件, 从而准确理解集合的意义. 例 3 已知–3∈A = {a –3,2a – 1,a2 + 1},求 a 的值及对应的集合 A. –3∈A,可知–3 是集合的一个元素,则可能 a –3 = –3,或 2a – 1 = –3,求出 a,再 代入 A,求出集合 A. 【解析】由–3∈A,可知,a –3 = –3 或 2a –1 = –3,当 a –3 = –3,即 a = 0 时,A = {–3,–1,1} 当 2a – 1 = –3,即 a = –1 时,A = {– 4,–3,2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的,–3∈A,则必有一个式子的值为 –3,以此展开讨 论,便可求得 a.


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